【正文】 可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。若不是未定式，則不能再使用羅必達(dá)法則。 例 16： 求 xxxx 2cos1 sinlim0 ?? 分析：此式為 00 型未定式，符合羅必達(dá)法則 解：原式 = x xxxx 2sin2 c ossinlim0 ?? = = = = 這個(gè)結(jié)果是 錯(cuò)誤 的 。 又 如 ：xx xexx sincoslim0??= xxx xexx c ossinsinlim0 ???=? ，如果不檢驗(yàn)，盲目地繼續(xù)使用羅必達(dá)法則，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果： xxx xexx c ossinsinlim0 ???= xxx xe xx c os2s inc oslim0 ????=分而非必要條件，也就是說，當(dāng)遇到)( )(lim xg xf??不存在時(shí)（ ? 除外），不能斷定 )( )(lim xg xf 不存在。但是使用適當(dāng)變形由極限運(yùn)算法則有 xxxx sin1sinlim2??=xxxxx sin1sinlim?? =xxxxxx sin1sinlimlim00?? =0 故 xxxx sin1sinlim2??存在 羅氏定理在某些情況下失效 當(dāng) 0?X 時(shí) ,函數(shù)式中包含 x1sin 或 x1cos 和當(dāng) ??X 時(shí)，函數(shù)式中包含 sinx或 cosx 羅必達(dá)法則失效。 對(duì)于某些題目 使用羅必達(dá)法則解題過程繁瑣。 例 26：xxx 5secseclim2??（ ?? ） =xxx cos5coslim2??（ 00 ） =xxx sin5sin5lim2?? =2sin25sin5 ???? =5 例 27： 求極限 xxx sinln 2sinln0lim??（ ?? ） =xxxxxsincos2sin2cos20lim??（ ?? ）先化簡(jiǎn) =xxxxx 2s ins inc o s2c o s20lim ???? （ 先將確定型因式 2 xxcos2cos? 提出單獨(dú) 求極限） =2xxxx xx 2s ins in0limc os2c os0lim ?? ?? ? =2? 1?xxx 2sinsin0lim??（ 00 ）用羅必達(dá)法則 = 2112 ?? =1 例 28： 求極限 x xtgxtgx 3)s in( s in)(0lim ??? 原式 = x xxxt gxt gxt gxtgx 3)s i n( s i ns i ns i n)(0l i m ??????? = x tgxtgxtgx 3)(0lim ???+ x xtgxx 3sin0lim ???+ x xxx 3)s in( s ins in0lim ??? =xtg tgxtgxtgx 3)(0lim ???+ x xtgxx 3sin0lim ???+ x xtgxx sin 3sin0lim ??? =30lim t ttgtx ???+ x xtgxx 3sin0lim ???+ t ttx 3sin0lim ??? =223 1sec0lim ttx ???+ x xxx 3 22 c ossec0lim ???+ t tx 3 2cos10lim ??? =tttgtx 2c os10lim31 ???+ x xxx 6s inc os30lim 2 ???+ t txsin0lim61?? = 612131 ?? =1 評(píng)析： 此例先用了加項(xiàng)，減項(xiàng)，等價(jià)無窮小替換，再運(yùn)用羅 必達(dá)法則和重要極限，結(jié)合極限四則運(yùn)算法則大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。在寫這篇文章的過程中我又 學(xué)到了很多以前還沒掌握好的知識(shí)，對(duì)使用羅必達(dá)法則解題更加熟練了。只有解決了這些問題才能真正的熟練掌握羅必達(dá)法則并且靈活運(yùn)用它來解題而第四章正是對(duì)第三章的補(bǔ)充解答。我相信一份耕耘，一份收獲。同時(shí)，在大學(xué)期間學(xué)習(xí)中還有很多同學(xué)也給了我不少幫助，這里一并表示感謝。 參考文獻(xiàn) [1] 高等數(shù)學(xué)（第 5 版） [M]．同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 主編 [2] 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書 （數(shù)三） 李永樂，李正元 主編 [3] 數(shù)學(xué)考試參考書 高等教育出版社 [4] 學(xué)習(xí)羅必達(dá)法則應(yīng)注意的問題 吳堅(jiān) [5] 羅必達(dá)法則應(yīng)用 李克勤 [6] 羅必達(dá)法分析 程家國(guó) [7] 例說等價(jià)無窮小替換求極限 馮月 [8] 淺談求函數(shù)極限的方法 . 馮燕奎 [9] 新發(fā)現(xiàn) 科技信息快報(bào)社編輯出版 [10]科學(xué)家和科學(xué)家的故事 人民郵電出版社 [11] 一類極限的求解 宋金堂 朱喜福等編 . [13] 利用中值定理和泰勒公式求函數(shù)極限 王路群 [14] 用泰勒公 式巧解一類未定式極限 趙毅主編 [15] 柳西玲 .許斌編著 .求極限方法全集 [M].北京：清華大學(xué)出版社， 20xx. [16] [美 ]Herbert Schidt 著 .高等數(shù)學(xué)參考大全 .鄢愛蘭 .鹿江春譯 [M].北京：清華大學(xué)出版社，20xx. [17] [18] [19] [20 [21] Mark O. intelligent Web spiders[A]. 致 謝 在論文即將完成之際，回顧緊張但又充實(shí)的學(xué)習(xí)過程，本人在此向所有關(guān)心我的及幫助我的老師和同學(xué)們致以最真誠(chéng)的感謝。主要的思路是結(jié)合各種求極限的方法來解答有一定難度的題目。 這篇文章從羅必達(dá)法則的定理出發(fā)，采用層層深入的方法來解析如何用好羅必達(dá)法則解題，首先詳細(xì)的敘述了定理的內(nèi)容，并給出了定理的證明過程。 例 30： 求極限 W=22t a n)t a n()t a n(0lim x axaxax ???? 分析： 極限式子中含有 tan(a+x)tan(ax)這樣的復(fù)雜三角函數(shù)式，如果直接使用羅必達(dá)法則求解將會(huì)很棘手，因此必須利用三角函數(shù)恒等變形和極限四則運(yùn)算法則來解答此題。為克服這一弱點(diǎn)，可考慮利用泰勒公式適當(dāng)展開后在計(jì)算。此時(shí)只能說羅必達(dá)法則對(duì)此題失效 . 例 21： 證明極限 xx xxx sinsinlim ????存在，但是不能用羅必達(dá)法則計(jì)算 證： 因?yàn)?xx xxx sinsinlim ????=xxxxx sin1sin1lim???? =xxxxxx sinlim1sin1 lim?????? =1 但是)sin( )sin(lim ?? ???? xx xxx= xxx cos1 cos1lim ???? = 2lim 2xctgx ?? 不存在 因此，不能用羅必達(dá)法則來求解 評(píng)析： 此題雖然當(dāng) ??X 時(shí)xx xxx sinsinlim ????是??型，但是分子分母導(dǎo)數(shù)之比的極限屬于震蕩型不存在，由此而斷定原極限不存在時(shí)錯(cuò)誤的。 當(dāng)遇到)( )(lim xg xf??不存在時(shí)（ ? 除外），不能斷定 )( )(lim xg xf 不存在。 事實(shí)上，在連續(xù)使用兩次羅必達(dá)法則后，原極限已經(jīng)轉(zhuǎn)化成確定型了，因此正確解法是： （ 00 型）（用羅氏法則） = （ 00 型） = （確定型） =21 例 17： 問 a,b 取何值時(shí)， }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???=1成立（ a0) 解（ 1） }s in1{lim 020 dttaxbxxx t? ???（ 00 ） = xb xaxx coslim20 ???=1? 0（ **） 而xaxx ??20lim=0，由此得到 )cos(lim0 xbx ??=0，于是 b=1，所以 xxaxx cos1lim20 ???= )1c o s1(lim20 xaxxx ???? =a1 xxx cos1lim20 ?? =a1 xxx sin2lim0? =a2=1即 a=4 根據(jù)以上從左到右的推導(dǎo)，問題出在（ **）式，即 xxaxx cos1lim20 ???的存在性并沒有論證。 例 7：求 xxnx ln0lim?? 解 這是未定式 ??0 因?yàn)? xxnln =nxx1ln 當(dāng) x? 0? 時(shí)，上式右端是未定式 ?? ，應(yīng)用羅必達(dá)法則，得 xxnx ln0lim??=nx xx???ln0lim=110lim ??? ?? nx nxx =0 例 8： 求 )0,0)((lim 11 ????? babaxxxx 解：此極限屬于 ??0 型可化為 00 型未定式 )(lim 11 xxx bax ???= t ba ttt??0lim )1( xt? = )lnln(lim0 bbaa t