【正文】 xxx 5secseclim2??（ ?? ） =xxx cos5coslim2??（ 00 ） =xxx sin5sin5lim2?? =2sin25sin5 ???? =5 例 27： 求極限 xxx sinln 2sinln0lim??（ ?? ） =xxxxxsincos2sin2cos20lim??（ ?? ）先化簡 =xxxxx 2s ins inc o s2c o s20lim ???? （ 先將確定型因式 2 xxcos2cos? 提出單獨 求極限） =2xxxx xx 2s ins in0limc os2c os0lim ?? ?? ? =2? 1?xxx 2sinsin0lim??（ 00 ）用羅必達法則 = 2112 ?? =1 例 28： 求極限 x xtgxtgx 3)s in( s in)(0lim ??? 原式 = x xxxt gxt gxt gxtgx 3)s i n( s i ns i ns i n)(0l i m ??????? = x tgxtgxtgx 3)(0lim ???+ x xtgxx 3sin0lim ???+ x xxx 3)s in( s ins in0lim ??? =xtg tgxtgxtgx 3)(0lim ???+ x xtgxx 3sin0lim ???+ x xtgxx sin 3sin0lim ??? =30lim t ttgtx ???+ x xtgxx 3sin0lim ???+ t ttx 3sin0lim ??? =223 1sec0lim ttx ???+ x xxx 3 22 c ossec0lim ???+ t tx 3 2cos10lim ??? =tttgtx 2c os10lim31 ???+ x xxx 6s inc os30lim 2 ???+ t txsin0lim61?? = 612131 ?? =1 評析： 此例先用了加項，減項，等價無窮小替換，再運用羅 必達法則和重要極限，結合極限四則運算法則大大簡化了計算。這里先分離出非未定式因子，再用無窮小量替換；若 a0 則 )0(ln~1 ?? yaya y ，最后用羅必達法則求解。在寫這篇文章的過程中我又 學到了很多以前還沒掌握好的知識，對使用羅必達法則解題更加熟練了。接著我對各種類型未定式極限從不同角度選取了正反方面的典型例題進行了詳細的 解析，并在每道題目的開始進行了思路分析，在每道題目的末尾進行了總結評析。只有解決了這些問題才能真正的熟練掌握羅必達法則并且靈活運用它來解題而第四章正是對第三章的補充解答。也有一些題目主要是用其他求極限方法來解題，通過化簡最后再使用了羅必達法則解題。我相信一份耕耘，一份收獲。 他認真負責的工作態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W精神和深厚的理論水平都使我受益匪淺。同時，在大學期間學習中還有很多同學也給了我不少幫助，這里一并表示感謝。如果沒有他指導，我們就不能較好的完成論文設計的任務。 參考文獻 [1] 高等數(shù)學（第 5 版） [M]．同濟大學應用數(shù)學系 主編 [2] 數(shù)學復習全書 （數(shù)三） 李永樂，李正元 主編 [3] 數(shù)學考試參考書 高等教育出版社 [4] 學習羅必達法則應注意的問題 吳堅 [5] 羅必達法則應用 李克勤 [6] 羅必達法分析 程家國 [7] 例說等價無窮小替換求極限 馮月 [8] 淺談求函數(shù)極限的方法 . 馮燕奎 [9] 新發(fā)現(xiàn) 科技信息快報社編輯出版 [10]科學家和科學家的故事 人民郵電出版社 [11] 一類極限的求解 宋金堂 朱喜福等編 . [13] 利用中值定理和泰勒公式求函數(shù)極限 王路群 [14] 用泰勒公 式巧解一類未定式極限 趙毅主編 [15] 柳西玲 .許斌編著 .求極限方法全集 [M].北京：清華大學出版社， 20xx. [16] [美 ]Herbert Schidt 著 .高等數(shù)學參考大全 .鄢愛蘭 .鹿江春譯 [M].北京：清華大學出版社，20xx. [17] [18] [19] [20 [21] Mark O. intelligent Web spiders[A]. 致 謝 在論文即將完成之際，回顧緊張但又充實的學習過程，本人在此向所有關心我的及幫助我的老師和同學們致以最真誠的感謝。 回顧整個寫作過程，我也遇到了很多困難，花了不少時間，走了一些彎路。主要的思路是結合各種求極限的方法來解答有一定難度的題目。 最后，這篇文章的重點是第三章和第四章，在第三章中我分析了羅必達法則求不定式極限失效的幾種情況，指出了羅必達法則解題的局限性。 這篇文章從羅必達法則的定理出發(fā)，采用層層深入的方法來解析如何用好羅必達法則解題，首先詳細的敘述了定理的內容，并給出了定理的證明過程。 原式 =211 1lim ??? ?xxxx =21ln 1lim ??? ?xe xxx =21lnlim??? ?xxxx =xxx lnlim?? =xx 2lim?? =0 例 36： 求極限 W= ])1ln( 1)1ln( 1[0lim 2 xxxx ????? 解： 將 分 母 先 作 等 價 無 窮 小 替 換 后 再 用 羅 必 達 法 則 ， 其 中)0(~)1ln (,~)1ln ( 2 ???? xxxxxx W= ])1ln ()1ln ( )1ln ()1ln ([0lim 22xxx xxxx ??? ????? =22 )1ln ()1ln (0lim x xxxx ????? = x xxx 211110lim2???? =21)1(1210lim xxx ??? xxxx)1(10lim 2 ???? =21x xxx )1(10lim2 ???? =2121110lim 2 ???? x xx =21 結合泰勒公式簡化解題過程 例 37： 求極限xx exxx sincos0lim 322??? 解 ：將復雜式子 22xe? 和 cosx 用泰勒公式展開 22xe? =1+（ 22x? ） +21 22)2( x? + )( 4xo （ X 0? ） cosx=1 )(24121 442 xoxx ?? 則 cosx 22xe? = )(121 44 xox ?? 因此xx exxx sincos0lim 322??? = xx xoxx s in)(1210lim 344 ??? =121 xxx s in0lim? =121 xx c o s10lim? =121 例 38： 求極限xxxexx xx s in1)21(0lim32?????? 解 ：因為 )(61211 332 xoxxxe x ????? )(211 333 xoxx ???? 將其代人得： xxxexx xx s in1)21(0lim32?????? =xxxoxxoxx s in)(21)(610lim3333??????? = 31?xx xoxx x xx s in)(lim31s in0lim303??? ?? = 31?xx xoxx xx s in)(lim31c o s1 30lim302??? ?? = 31?xx xoxx xx s in)(lim31s in60lim30 ?? ?? =2+0 =2 例 39 求極限)1( sin0lim 2 ??? xx ex xx 解：將 )(!31s in 43 xoxxx ??? 代人極限式 原式 = 61?)1( )(0lim 243???? xx ex xox = 61? ])1( )(lim)1(0lim[ 240 ?????? xxxx exxoe x = 61? 01lim0 ??? xx e=61 結合拉格朗日中值定理簡化解題過程 例 40 求極限3sin220lim xxxx?? 分析 ：此極限若直接用羅必達法則求解很繁瑣，但是先用拉格朗日中值定理轉換分子，再用羅必達法則求解就簡單多了。 例 30： 求極限 W=22t a n)t a n()t a n(0lim x axaxax ???? 分析： 極限式子中含有 tan(a+x)tan(ax)這樣的復雜三角函數(shù)式，如果直接使用羅必達法則求解將會很棘手，因此必須利用三角函數(shù)恒等變形和極限四則運算法則來解答此題。應當指出，這樣做有時是相當繁瑣的起到事倍功半的效果，甚至難以求出結果。為克服這一弱點，可考慮利用泰勒公式適當展開后在計算。這說明羅氏法則失效，應當使用其它方法，求解如下 ee eexxxxx ????? ??lim = eexxx 2211lim ????? ?? = 0101?? =1 或者通過適當變形后，再使用羅必達法則求解 ee eexxxxx ????? ??lim = 11lim22????? ee xxx= eexxx 22lim???=1 評析： 羅必達