【正文】 xxx 5secseclim2??（ ?? ） =xxx cos5coslim2??（ 00 ） =xxx sin5sin5lim2?? =2sin25sin5 ???? =5 例 27： 求極限 xxx sinln 2sinln0lim??（ ?? ） =xxxxxsincos2sin2cos20lim??（ ?? ）先化簡(jiǎn) =xxxxx 2s ins inc o s2c o s20lim ???? （ 先將確定型因式 2 xxcos2cos? 提出單獨(dú) 求極限） =2xxxx xx 2s ins in0limc os2c os0lim ?? ?? ? =2? 1?xxx 2sinsin0lim??（ 00 ）用羅必達(dá)法則 = 2112 ?? =1 例 28： 求極限 x xtgxtgx 3)s in( s in)(0lim ??? 原式 = x xxxt gxt gxt gxtgx 3)s i n( s i ns i ns i n)(0l i m ??????? = x tgxtgxtgx 3)(0lim ???+ x xtgxx 3sin0lim ???+ x xxx 3)s in( s ins in0lim ??? =xtg tgxtgxtgx 3)(0lim ???+ x xtgxx 3sin0lim ???+ x xtgxx sin 3sin0lim ??? =30lim t ttgtx ???+ x xtgxx 3sin0lim ???+ t ttx 3sin0lim ??? =223 1sec0lim ttx ???+ x xxx 3 22 c ossec0lim ???+ t tx 3 2cos10lim ??? =tttgtx 2c os10lim31 ???+ x xxx 6s inc os30lim 2 ???+ t txsin0lim61?? = 612131 ?? =1 評(píng)析： 此例先用了加項(xiàng)，減項(xiàng)，等價(jià)無(wú)窮小替換，再運(yùn)用羅 必達(dá)法則和重要極限，結(jié)合極限四則運(yùn)算法則大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。這里先分離出非未定式因子，再用無(wú)窮小量替換；若 a0 則 )0(ln~1 ?? yaya y ，最后用羅必達(dá)法則求解。在寫(xiě)這篇文章的過(guò)程中我又 學(xué)到了很多以前還沒(méi)掌握好的知識(shí)，對(duì)使用羅必達(dá)法則解題更加熟練了。接著我對(duì)各種類(lèi)型未定式極限從不同角度選取了正反方面的典型例題進(jìn)行了詳細(xì)的 解析，并在每道題目的開(kāi)始進(jìn)行了思路分析，在每道題目的末尾進(jìn)行了總結(jié)評(píng)析。只有解決了這些問(wèn)題才能真正的熟練掌握羅必達(dá)法則并且靈活運(yùn)用它來(lái)解題而第四章正是對(duì)第三章的補(bǔ)充解答。也有一些題目主要是用其他求極限方法來(lái)解題，通過(guò)化簡(jiǎn)最后再使用了羅必達(dá)法則解題。我相信一份耕耘，一份收獲。 他認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和深厚的理論水平都使我受益匪淺。同時(shí)，在大學(xué)期間學(xué)習(xí)中還有很多同學(xué)也給了我不少幫助，這里一并表示感謝。如果沒(méi)有他指導(dǎo)，我們就不能較好的完成論文設(shè)計(jì)的任務(wù)。 參考文獻(xiàn) [1] 高等數(shù)學(xué)（第 5 版） [M]．同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 主編 [2] 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū) （數(shù)三） 李永樂(lè)，李正元 主編 [3] 數(shù)學(xué)考試參考書(shū) 高等教育出版社 [4] 學(xué)習(xí)羅必達(dá)法則應(yīng)注意的問(wèn)題 吳堅(jiān) [5] 羅必達(dá)法則應(yīng)用 李克勤 [6] 羅必達(dá)法分析 程家國(guó) [7] 例說(shuō)等價(jià)無(wú)窮小替換求極限 馮月 [8] 淺談求函數(shù)極限的方法 . 馮燕奎 [9] 新發(fā)現(xiàn) 科技信息快報(bào)社編輯出版 [10]科學(xué)家和科學(xué)家的故事 人民郵電出版社 [11] 一類(lèi)極限的求解 宋金堂 朱喜福等編 . [13] 利用中值定理和泰勒公式求函數(shù)極限 王路群 [14] 用泰勒公 式巧解一類(lèi)未定式極限 趙毅主編 [15] 柳西玲 .許斌編著 .求極限方法全集 [M].北京：清華大學(xué)出版社， 20xx. [16] [美 ]Herbert Schidt 著 .高等數(shù)學(xué)參考大全 .鄢愛(ài)蘭 .鹿江春譯 [M].北京：清華大學(xué)出版社，20xx. [17] [18] [19] [20 [21] Mark O. intelligent Web spiders[A]. 致 謝 在論文即將完成之際，回顧緊張但又充實(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，本人在此向所有關(guān)心我的及幫助我的老師和同學(xué)們致以最真誠(chéng)的感謝。 回顧整個(gè)寫(xiě)作過(guò)程，我也遇到了很多困難，花了不少時(shí)間，走了一些彎路。主要的思路是結(jié)合各種求極限的方法來(lái)解答有一定難度的題目。 最后，這篇文章的重點(diǎn)是第三章和第四章，在第三章中我分析了羅必達(dá)法則求不定式極限失效的幾種情況，指出了羅必達(dá)法則解題的局限性。 這篇文章從羅必達(dá)法則的定理出發(fā)，采用層層深入的方法來(lái)解析如何用好羅必達(dá)法則解題，首先詳細(xì)的敘述了定理的內(nèi)容，并給出了定理的證明過(guò)程。 原式 =211 1lim ??? ?xxxx =21ln 1lim ??? ?xe xxx =21lnlim??? ?xxxx =xxx lnlim?? =xx 2lim?? =0 例 36： 求極限 W= ])1ln( 1)1ln( 1[0lim 2 xxxx ????? 解： 將 分 母 先 作 等 價(jià) 無(wú) 窮 小 替 換 后 再 用 羅 必 達(dá) 法 則 ， 其 中)0(~)1ln (,~)1ln ( 2 ???? xxxxxx W= ])1ln ()1ln ( )1ln ()1ln ([0lim 22xxx xxxx ??? ????? =22 )1ln ()1ln (0lim x xxxx ????? = x xxx 211110lim2???? =21)1(1210lim xxx ??? xxxx)1(10lim 2 ???? =21x xxx )1(10lim2 ???? =2121110lim 2 ???? x xx =21 結(jié)合泰勒公式簡(jiǎn)化解題過(guò)程 例 37： 求極限xx exxx sincos0lim 322??? 解 ：將復(fù)雜式子 22xe? 和 cosx 用泰勒公式展開(kāi) 22xe? =1+（ 22x? ） +21 22)2( x? + )( 4xo （ X 0? ） cosx=1 )(24121 442 xoxx ?? 則 cosx 22xe? = )(121 44 xox ?? 因此xx exxx sincos0lim 322??? = xx xoxx s in)(1210lim 344 ??? =121 xxx s in0lim? =121 xx c o s10lim? =121 例 38： 求極限xxxexx xx s in1)21(0lim32?????? 解 ：因?yàn)?)(61211 332 xoxxxe x ????? )(211 333 xoxx ???? 將其代人得： xxxexx xx s in1)21(0lim32?????? =xxxoxxoxx s in)(21)(610lim3333??????? = 31?xx xoxx x xx s in)(lim31s in0lim303??? ?? = 31?xx xoxx xx s in)(lim31c o s1 30lim302??? ?? = 31?xx xoxx xx s in)(lim31s in60lim30 ?? ?? =2+0 =2 例 39 求極限)1( sin0lim 2 ??? xx ex xx 解：將 )(!31s in 43 xoxxx ??? 代人極限式 原式 = 61?)1( )(0lim 243???? xx ex xox = 61? ])1( )(lim)1(0lim[ 240 ?????? xxxx exxoe x = 61? 01lim0 ??? xx e=61 結(jié)合拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化解題過(guò)程 例 40 求極限3sin220lim xxxx?? 分析 ：此極限若直接用羅必達(dá)法則求解很繁瑣，但是先用拉格朗日中值定理轉(zhuǎn)換分子，再用羅必達(dá)法則求解就簡(jiǎn)單多了。 例 30： 求極限 W=22t a n)t a n()t a n(0lim x axaxax ???? 分析： 極限式子中含有 tan(a+x)tan(ax)這樣的復(fù)雜三角函數(shù)式，如果直接使用羅必達(dá)法則求解將會(huì)很棘手，因此必須利用三角函數(shù)恒等變形和極限四則運(yùn)算法則來(lái)解答此題。應(yīng)當(dāng)指出，這樣做有時(shí)是相當(dāng)繁瑣的起到事倍功半的效果，甚至難以求出結(jié)果。為克服這一弱點(diǎn)，可考慮利用泰勒公式適當(dāng)展開(kāi)后在計(jì)算。這說(shuō)明羅氏法則失效，應(yīng)當(dāng)使用其它方法，求解如下 ee eexxxxx ????? ??lim = eexxx 2211lim ????? ?? = 0101?? =1 或者通過(guò)適當(dāng)變形后，再使用羅必達(dá)法則求解 ee eexxxxx ????? ??lim = 11lim22????? ee xxx= eexxx 22lim???=1 評(píng)析： 羅必達(dá)