【正文】 tt ?? = baln 例 9： 求 )tan(seclim2xxx ??? 解 這是未定式 ??? 應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為00型，再應(yīng)用羅必達法則 因為 xx tansec ? = xxcossin1? 當 X? 2? 時，上式右端為 00 型未定式，由羅必達法則求得 )tan(seclim2xxx ??? = xxx cossin1lim2???=xxx sincoslim2 ????=0 例 10： 求極限 )s in1)1ln ( 1(lim0 xxx ??? 分析： 所求極限為 ??? 應(yīng)將其轉(zhuǎn)換為 00 型，再應(yīng)用羅必達法則 解： )s in1)1ln ( 1(lim0 xxx ???=xx xxx s in)1ln ( )1ln (s inlim0 ? ??? =20 )1ln (s inlim x xxx ??? = x xxx 21 1coslim0??? = xx xxxx ???? ?? 1 1lim1c o s)1(lim21 00 = )c o s1( c o slim210 x xxx ??? =21 例 11：求極限 ))1((lim 1 xxex xxx ?? ??? ? 分析：所求極限是 ??? 型未定式，但是無法直接化為 00 型或 ?? 型的未定式。因此，當極限)( )(lim xF xfax ???不存在也不是 ? 時，就不能肯定原極限)( )(lim xFxfax?也不存在。設(shè) x 是這個領(lǐng)域內(nèi)的一點，那么在以 x及 a為端點的區(qū)間上，柯西中值定理的條件均滿足，因此有)( )()()( )()()( )( ??FfaFxF afxfxF xf ??????(? 在 x 與 a之間 ) 令 x?a,并對兩端求極限，注意到 x?a 時 a?? ，再根據(jù)條件（ 3）便得證 如果 )()(xFxf?? 當 x?a時仍是零比零型，且這時 )(xF? )(xf? 能滿足定理中 f(x)及 F(x)滿足的條件，那么可以極限使用羅必達法則先確定)( )(lim xF xfax ???從而確定)( )(lim xFxfax?即 ???? ?? )( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax ))lim xF xfax ????? 且可以依次類推。 首先，學生在學習一個定理時往往習慣于記公式，套結(jié)論，不善于去分析公式中的條件。但因天嫉英才，英雄早 逝 而未完成。羅必達早年曾在軍隊里擔任騎兵軍官職位，后來因為視力聽 不佳而不得不退出軍隊。 總 結(jié) ........................................................................... 錯誤 !未定義書簽。 定理條件的限定性 ................... 錯誤 !未定義書簽。pital39。pital39。 關(guān)鍵詞 ： 羅必達法則；未定式；解題方法；極限 ABSTRACT Limit problem is one of the basic problems of higher mathematics, While how to calculate limit is the core of the limit are a large number of ways to calculate undetermined type,the most monly method is Luo H244。s rule to analysis of how to overe the weaknesses of Luo H244。 第 3章 用羅必達法則解題應(yīng)注意的問題 ................... 錯誤 !未定義書簽。 ..... 錯誤 !未定義書簽。羅必達最突出的成就是對微積分學的貢獻，創(chuàng)造的羅必達法則傳至今日。他 亦計劃寫一本名為《圓錐曲線分析論》的書。這種現(xiàn)象，從教學和學習方法的角度來看是值得進行分析研究的。 定理 2 設(shè) （ 1） 當 ??x 時函數(shù)飛 f(x)及 F(x)都趨于零； （ 2） 當 |x|N時與 )(xf? )(xF? 都存在，且 0)( ?? xF ； （ 3）)( )(lim xF xfx ????存在（或為無窮大） 那么 )( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax ??? ?? 定理的證明 以定理 1 為例 定理 2 同理可證 證： 因為求)( )(lim xFxfax?與 f(x)及 F(x)無關(guān)，所以可以假定 f(x)=F(x)=0 于是由條件（ 1）（ 2）知道， f(x)及 F(x)在點 a的某一領(lǐng)域內(nèi)是連續(xù)的。 分析羅必達法則的條件（ 3）尤其應(yīng)該注意此條件只是充分條件，而不是必要條件。此題解法如下 解：xxx 1arctan21lim???=22111limxxx ?????（仍為 00 型，可繼續(xù)使用羅達法則） = xxx 221lim ???（同上） = xxx 22lim??（同上 ） =1 對 ?? 型極限的求解分析 例 5 求 xnx xlnlim??? （ n0) 分析：此題為 ?? 型不定式極限，其解題步驟與 00 型類似，需要注意的地方仍就是每次使用羅必達 法則之前，必須檢驗 解：原式 = nxnx x 11lim ???? = nxnx 1lim??? = 0 例 6 求 exxnx ????lim （ n為正整數(shù) ? 0) 解： 相繼應(yīng)用羅必達法則 N 次，得 exxnx ????lim=enx xnx ? ?1lim ????=exnnxnx ? ?2lim)1( 2? ????=...... =enn xx ? ?!lim???=0 對 ??????? 00 100 、 不定型極限的求解分析 1. 對于 ????? 、0 不定型極限，求解的思路主要是把它們轉(zhuǎn)化為00型或??型未定式 然后應(yīng)用羅必達法則解題。此極限雖然屬于 00 型，但問題在于，在繼續(xù)使用羅必達法則時沒有堅持每次使用羅必達法則之前都要進行檢查。這也是將要討論的使用定 理的第三點需要注意的地方。 例 20: 求 xxxx sin1sinlim20? 分析： 此 極限 是 00 型不定式，將分子分母分別求導后的極限為x xxxxx c o s1c o s1s in2lim0 ?? 由于極限式子中含有 x1cos ， 該極限震蕩不能繼續(xù)求導，但是不能說原極限不存在。 例 23： 求 xxx 5secseclim2?? 此題如果不先化簡，則相當繁，導致難得出結(jié)論 xxx 5secseclim2??（ ?? ） =)5(sec )(seclim2 ??? xxx ? =xxtg xtgxx 5sec55 seclim2??（ ?? ） =)5s ec55( )s ec(lim2 ??? xxtg xtgxx ? =)5s e c555s e c55( s e c5 s e cs e clim 22232 xxtgxxxxtgxx ?????? ? = ?????? 例 24： 求極限xx xexx c o s11lim0 ????? 分析：此極限雖然是 00 型未定式，但是分子，分母各自求導以后，由于分母中含有 x?1 和 xcos 這樣 的復雜式子，求導后所得的極限式會變得更加復雜。 例 29： 求極限 W=xx xxx tanarc tan s inarc s in0lim ??? 解： W=xxxxx222c o s111c o s1 10lim ????? =2221 c os)1(0lim x xxx ??? )1(c o s c o s110lim 222xx xxx ????? =222s in c o s110lim xx xxx ???? =xxxx xxx c os11 1s in c os)1(10lim 22222??????? =2122222s in c oss in0lim xx xxxx ??? =211s inc o ss in0lim22222???xxxx xx =21 評析： 此題結(jié)合恒等變形與極限四則運算法則大大簡化了解題過程，如果只采用羅必達法則計算將非常復雜難以得出正確結(jié)果。于此同時我對其它的一些求極限的方法也進行了研究學習，通過將其他求極限方法與羅必達法則的對比加強了自己求極限問題的能力。在第四章中我分析了如何克服羅必達法則的弱點。付出總會有回報的。 附錄 附錄 A 英文原文 附錄 B 英文翻譯 附錄 C 關(guān)鍵代碼