【正文】 of ways to calculate undetermined type,the most monly method is Luo H244。s rule to analyse several issues that should be pay attention to when use the theorem to calculate limit problem 。s rule to analysis of how to overe the weaknesses of Luo H244。s rule and master this method to solve limit problem , also we can use other ways to help solve problems correctly and simplify the process of problem solving. Key Words: Luo H244。 第 3章 用羅必達法則解題應注意的問題 ................... 錯誤 !未定義書簽。 第 4章 如何克服羅必達法則在解題中的弱點 ............ 錯誤 !未定義書簽。 ..... 錯誤 !未定義書簽。 附錄 ............................................................................. 錯誤 !未定義書簽。羅必達最突出的成就是對微積分學的貢獻，創(chuàng)造的羅必達法則傳至今日。羅必達所著的《無限小分析》（ 1696）一書是微積分學方面最早的教課書，在十八世紀時為一模范著作，書中詳細介紹了用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限的算法。他 亦計劃寫一本名為《圓錐曲線分析論》的書。Hospital 在微積分這個領域卓有成就，他最著名的著作是《闡明曲線的無窮小分析》，這是世界上第一本微積分的教科書，書中記載著著名的羅必達法。這種現(xiàn)象，從教學和學習方法的角度來看是值得進行分析研究的。 通過對羅必達法則的深入分析，能 夠使讀者對羅必達法則學得深，學的活，進而也培養(yǎng)學分析問題的能力。 定理 2 設 （ 1） 當 ??x 時函數(shù)飛 f(x)及 F(x)都趨于零； （ 2） 當 |x|N時與 )(xf? )(xF? 都存在，且 0)( ?? xF ； （ 3）)( )(lim xF xfx ????存在（或為無窮大） 那么 )( )(lim)( )(lim xF xfxF xf axax ??? ?? 定理的證明 以定理 1 為例 定理 2 同理可證 證： 因為求)( )(lim xFxfax?與 f(x)及 F(x)無關，所以可以假定 f(x)=F(x)=0 于是由條件（ 1）（ 2）知道， f(x)及 F(x)在點 a的某一領域內(nèi)是連續(xù)的。 例 1 求極限 xxx cos 12lim0 ?? 這個極限既不是 00 型的不定式，也不是 ?? 型的不定式。 分析羅必達法則的條件（ 3）尤其應該注意此條件只是充分條件，而不是必要條件。 這個結論是錯誤的，上式中的等號不成立。此題解法如下 解：xxx 1arctan21lim???=22111limxxx ?????（仍為 00 型，可繼續(xù)使用羅達法則） = xxx 221lim ???（同上） = xxx 22lim??（同上 ） =1 對 ?? 型極限的求解分析 例 5 求 xnx xlnlim??? （ n0) 分析：此題為 ?? 型不定式極限，其解題步驟與 00 型類似，需要注意的地方仍就是每次使用羅必達 法則之前，必須檢驗 解：原式 = nxnx x 11lim ???? = nxnx 1lim??? = 0 例 6 求 exxnx ????lim （ n為正整數(shù) ? 0) 解： 相繼應用羅必達法則 N 次，得 exxnx ????lim=enx xnx ? ?1lim ????=exnnxnx ? ?2lim)1( 2? ????=...... =enn xx ? ?!lim???=0 對 ??????? 00 100 、 不定型極限的求解分析 1. 對于 ????? 、0 不定型極限，求解的思路主要是把它們轉化為00型或??型未定式 然后應用羅必達法則解題。 只有 ??和00 不定型極限才能直接使用羅必達法則 請參考第九頁 在此不再重復論述。此極限雖然屬于 00 型，但問題在于，在繼續(xù)使用羅必達法則時沒有堅持每次使用羅必達法則之前都要進行檢查。該問題的關鍵還是討論)( )(lim xg xf??的存在性，只有它存在，才能使用羅氏定理。這也是將要討論的使用定 理的第三點需要注意的地方。但是并不等于說 xx xxx cossinlim ????不存在。 例 20: 求 xxxx sin1sinlim20? 分析： 此 極限 是 00 型不定式，將分子分母分別求導后的極限為x xxxxx c o s1c o s1s in2lim0 ?? 由于極限式子中含有 x1cos ， 該極限震蕩不能繼續(xù)求導，但是不能說原極限不存在。 例 22: ee eexxxxx ????? ??lim 這是一個 ?? 型未定式，如果連續(xù)使用羅必達法則就得 原式 = ee eexxxxx ????? ??lim = ee eexxxxx ????? ??lim = ee eexxxxx ????? ??lim 出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象。 例 23： 求 xxx 5secseclim2?? 此題如果不先化簡，則相當繁，導致難得出結論 xxx 5secseclim2??（ ?? ） =)5(sec )(seclim2 ??? xxx ? =xxtg xtgxx 5sec55 seclim2??（ ?? ） =)5s ec55( )s ec(lim2 ??? xxtg xtgxx ? =)5s e c555s e c55( s e c5 s e cs e clim 22232 xxtgxxxxtgxx ?????? ? = ?????? 例 24： 求極限xx xexx c o s11lim0 ????? 分析：此極限雖然是 00 型未定式，但是分子，分母各自求導以后，由于分母中含有 x?1 和 xcos 這樣 的復雜式子，求導后所得的極限式會變得更加復雜。 第 4章 羅必達法則在解題中的弱點克服 結合極限四則運算簡化解題過 程 有些人學了羅必達法則后，常常習慣于一遇到不定型就直接使用羅必達法則，而不是先觀察式子能否化簡，能否將某些確定型因式提出單獨求極限（即不參與求導運算）。 例 29： 求極限 W=xx xxx tanarc tan s inarc s in0lim ??? 解： W=xxxxx222c o s111c o s1 10lim ????? =2221 c os)1(0lim x xxx ??? )1(c o s c o s110lim 222xx xxx ????? =222s in c o s110lim xx xxx ???? =xxxx xxx c os11 1s in c os)1(10lim 22222??????? =2122222s in c oss in0lim xx xxxx ??? =211s inc o ss in0lim22222???xxxx xx =21 評析： 此題結合恒等變形與極限四則運算法則大大簡化了解題過程，如果只采用羅必達法則計算將非常復雜難以得出正確結果。 解 ：xaaxxx 3sinsin0lim ??=3sinsin )1(0lim xaaxxxx??? = xxxxx axa s in03s in lim)1(0lim ???? = aln3sin0lim x xxx ?? = aln23cos10lim x xx ?? = aln61 例 35： 求極限 )1(lim ??? xx xx 解： 因為 1lim ??? xx x，故該極限為 ??o 型未定式，可化為零比零型未定式并結合等價無窮小量替換，最后用羅必達法則求極限。于此同時我對其它的一些求極限的方法也進行了研究學習，通過將其他求極限方法與羅必達法則的對比加強了自己求極限問題的能力。從而讓讀者更明白用羅必達法則解題的思路，步驟。在第四章中我分析了如何克服羅必達法則的弱點。當然并不是每個題目都必須要使用羅必達法則來解答，但是為了加深讀者對羅必達法則的理解，我在所有例題中都引進了羅必達法則。付出總會有回報的。無論在理論上還是在實踐中，他都給予我很大的幫助，使我得到了很大的提高，這對于我以后的工作和學習來說都是一種寶貴的財富，在此感謝他耐心的輔導。 附錄 附錄 A 英文原文 附錄 B 英文翻譯 附錄 C 關鍵代碼