圓切線(xiàn)長(zhǎng)定理及弦切角練習(xí)題(編輯修改稿)
2024-10-13 11:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 因?yàn)锽C=BA，所以∠A=（∠C=）∠D；又∠CED=∠DBF（BF是AB的延長(zhǎng)線(xiàn)），所以它們的補(bǔ)角∠DEA=∠ABD．從而四邊形ABDE是平行四邊形．50．提示：連接DE，則∠BDE=∠1=∠2=∠FED．所以EF//BC．51．提示：連接BC，則∠ACB=90176。=∠FCB．因?yàn)镃E⊥BE，所以∠F=∠ECB．因?yàn)镋C切半圓于C，所以∠ECB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF．52．提示：連接AC，BC并延長(zhǎng)BC交AP延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N．首先所以CM=MD．第二篇：郭氏數(shù)學(xué) 圓的切線(xiàn)長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線(xiàn)定理、相交弦定理郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料切線(xiàn)長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線(xiàn)定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段切線(xiàn)長(zhǎng)是在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，“切線(xiàn)長(zhǎng)”是切線(xiàn)上一條線(xiàn)段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而“切線(xiàn)”是一條直線(xiàn)，它不可以度量長(zhǎng)度。對(duì)于切線(xiàn)長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線(xiàn)相交，則切線(xiàn)長(zhǎng)相等；（2）若已知兩條切線(xiàn)平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線(xiàn)為直徑；（3）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，切線(xiàn)的夾角與過(guò)切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)，平分過(guò)這點(diǎn)向圓引的兩條切線(xiàn)所夾的角。：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。直線(xiàn)AB切⊙O于P，PC、PD為弦，圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)）：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。，可聯(lián)想“角”弦切角，“線(xiàn)”切線(xiàn)的性質(zhì)定理及切線(xiàn)長(zhǎng)定理。 定理 圖形 已知結(jié)論 證法 相交弦定⊙O中，AB、CD為弦，交PAPB＝PC、BD，理于P.△APC∽△⊙O中，AB為直徑，CD⊥ABPC2＝PA：郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料切割線(xiàn)定理⊙O中，PT切⊙O于T，PT2＝PAPB 割線(xiàn)PB交⊙O于A連結(jié)TA、TB，證：△PTB∽△PAT切割線(xiàn)定理推論P(yáng)B、PD為⊙O的兩條割線(xiàn)，PAPB＝PCPD 交⊙O于A、C過(guò)P作PT切⊙O于T，用兩次切割線(xiàn)定理圓冪定理⊙O中，割線(xiàn)PB交⊙O于P39。CP39。D＝r2－延長(zhǎng)P39。O交⊙O于M，延A，CD為弦 OP39。2 長(zhǎng)OP39。交⊙O于N，用相交PAPB＝OP2－r2 弦定理證；過(guò)P作切線(xiàn)用r為⊙O的半徑切割線(xiàn)定理勾股定理證：過(guò)一定點(diǎn)P向⊙O作任一直線(xiàn)，交⊙O于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段之積為常數(shù)|圓冪定理。【典型例題】，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過(guò)A作半圓切線(xiàn)，切點(diǎn)為F，交CD于E，求DE：AE的值。|（R為圓半徑），因?yàn)榻凶鳇c(diǎn)對(duì)于⊙O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱(chēng)為圖1 解：由切線(xiàn)長(zhǎng)定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 設(shè)CE為x，在Rt△ADE中，由勾股定理∴，郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料例2.⊙O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。圖2 解：由相交弦定理，得AEBE＝CEDE∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，∴，即∴CE＝3cm或CE＝4cm。故應(yīng)填3或4。點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。，PCB是圓的割線(xiàn)，則 解：∵∠P＝∠P∠PAC＝∠B，∴△PAC∽△PBA，∴，________?！唷Ｓ帧逷A是圓的切線(xiàn)，PCB是圓的割線(xiàn)，由切割線(xiàn)定理，得∴，即，故應(yīng)填PC。點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。，P是⊙O外一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，PAB是⊙O的割線(xiàn)，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是___________cm。郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料圖3 解：∵PC是⊙O的切線(xiàn)，PAB是⊙O的割線(xiàn)，且PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割線(xiàn)定理，得 ∴ ∴，∴∴PB＝46＝24（cm）∴AB＝24－6＝18（cm）設(shè)圓心O到AB距離為d cm，由勾股定理，得故應(yīng)填。，AB為⊙O的直徑，過(guò)B點(diǎn)作⊙O的切線(xiàn)BC，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，（1）求證：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的長(zhǎng)。圖4 點(diǎn)悟：要證 證明：（1）連結(jié)BE，即要證△CED∽△CBE。（2）。又∵，∴厘米。點(diǎn)撥：有切線(xiàn)，并需尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線(xiàn)，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料，AB為⊙O的直徑，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E。圖5 求證：證明：連結(jié)BD，∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD∵AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD∵AB為⊙O的直徑∴∠ADB＝90176?！唷螮＝∠ADB＝90176?！唷鰽DE∽△BAD∴∴∵CD∥AB∴AD＝BC，∴，PA、PC切⊙O于A、C，PDB為割線(xiàn)。求證：ADBC＝CDAB圖6 點(diǎn)悟：由結(jié)論ADBC＝CDAB得，顯然要證△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC 證明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAD＝∠PBA又∠APD＝∠BPA，∴△PAD∽△PBA∴同理可證△PCD∽△PBC∴∵PA、PC分別切⊙O于A、C ∴PA＝PC ∴郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料∴ADBC＝DCAB，在直角三角形ABC中，∠A＝90176。，以AB邊為直徑作⊙O，交斜邊BC于點(diǎn)D，過(guò)D點(diǎn)作⊙O的切線(xiàn)交AC于E。圖7 求證：BC＝2OE。點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是△ABC的中位線(xiàn)。而OA＝OB，只須證AE＝CE。證明：連結(jié)OD?！逜C⊥AB，AB為直徑∴AC為⊙O的切線(xiàn)，又DE切⊙O于D ∴EA＝ED，OD⊥DE∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB在Rt△ABC中，∠C＝90176。－∠B ∵∠ODE＝90176。∴ ∴∠C＝∠EDC∴ED＝EC ∴AE＝EC ∴OE是△ABC的中位線(xiàn)∴BC＝2OE一、選擇題：PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，連結(jié)AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，則PA＝（） （） ：如圖1直線(xiàn)MN與⊙O相切于C，AB為直徑，∠CAB＝40176。，則∠MCA的度數(shù)（）圖1 176。 176。 176。 176。 ，一弦長(zhǎng)8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1：4，則另一
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