【文章內容簡介】 于最小二乘準則下對線性半參數模型的一系列估計理論做了系統(tǒng)分析，同時也研究了非線性半參數模型中對參數分量的估計值的求解和推導了參數分量的統(tǒng)計性質，并將非線性模型運用到實際問題中 — 提取和分離 GPS 定位中包含的系統(tǒng)誤差；胡宏昌（ 20xx） [28]對于半參數模型中的附有系統(tǒng)參數的平差模型做了深入研究，解算出半參數模型中非參數分量的結果并推導其統(tǒng)計性質，對半參數補償最小二乘法中的關鍵 問題 — 如何選取正則矩陣 R 和光滑因子 ? 用做了較為系統(tǒng)的研究；潘雄（ 20xx） [27]主要研究了半參數補償最小二乘法，計算出半參數模型中各估計量的結果并推導出估計量統(tǒng)計性質的計算公式，最后根據其統(tǒng)計性質判斷出不同平差模型的適用范圍；丁士俊 [25]（ 20xx）在參數回歸診斷方法的基礎上研究了半參數模型的數據診斷方法，提出了穩(wěn)健估計方法并推算出估計量的基本公式，同時探討了半參數平差模型中的廣義最小二乘估計，提出了抗差廣義補償最小二乘估計方法，最后將半參數平差模型應用到 GPS 變形分析等問題中；王振杰 (2006)[29]基于不同的正則化參數和正則化矩陣，對半參數補償最小二乘法中的不適定問題做了研究。 觀測數據是我們進行測繪研究和分析的基礎，然而人們運用各種測量手段得到測量數據，由于觀測條件、系統(tǒng)誤差、偶然誤差等原因，觀測結果與被觀測量的真實值產生了差異，這就是測量中產生的各種誤差，如何提高觀測數據的質量和有效地減小測量中的誤差，最終得到觀測數據的最佳平差值，這是測量平差中即測量數據處理中，我們所要解決的最重要問題。而我們所用的經典平差模型是高斯一馬爾柯夫模型，具體形式如下： 函數模型： （ 11） 中國地質大學（武漢）學士學位論文 3 隨機模型： （ 12） 在上述平差模型中，觀測值只包含參數分量，表現為參數分量的線性形式，但是這種平差模型求解有一個前提條件：觀測值只含 有偶然誤差。在這種理想情況下，偶然誤差的數學期望為零，運用最小二乘準則，最終解得參數分量的解，根據其統(tǒng)計性質可以驗證參數解的偏差為零，即為無偏估計量。但是隨著科學技術的不斷進步與發(fā)展，先進的觀測技術、精度更高的儀器已經應用到測量數據采集中，這樣使得所測數據不含有系統(tǒng)誤差或者模型誤差這種理想的情況不存在。總而言之，隨著測量數據的復雜性增加和解算精度要求增高，使得經典的平差模型已經難以處理現代測繪數據。一是因為影響觀測值的因素眾多，往往無法全面得考慮到所有的影響因素；其二是由于參數與觀測量的函數關系較為復雜，只 是用簡單的線性模型來對實際問題進行近似描述往往也是不精確的。最后是隨機模型也會產生難以消除的誤差。所以，經典的高斯平差模型并沒有從根本上消除觀測數據中的誤差，也沒有從本質上區(qū)分系統(tǒng)誤差與粗差，當平差模型存在系統(tǒng)誤差或者粗差時，經典平差模型就會失去處理數據的能力。綜上所述，對不同的平差模型進行深入研究，更加精確地解算觀測量的最佳估值是現代測量數據處理中的基本首要內容。 對于較為復雜的測量數據，一般情況下影響觀測量 的因素可分為兩方面：一部分影響因素與 的關系表現為是己知的線性關系，并且是觀測值的主要影響項，最終可以用參數通過數學關系式或者經驗來表達；而另一部分影響因素與 的關系完全是未知的，某些學者將這些因素作為觀測量的干擾項來處理，并不是誤差項的一部分。如果運用參數模型處理，則忽略了干擾項；但是若采用非參數模型處理，又會失去觀測值的主要影響項，模型對實際問題的描述能力也明顯降低。為了彌補參數和非參數模型的各自不足，測繪學界又將統(tǒng)計領域中的偏線性回歸模型引入到測量數據處理中，這就是現在的半參數平差模型，并取得了顯著的研究成果。 半參數回歸模型是統(tǒng)計領域的 一種重要的估計模型，形式如下，給我們解決上述問題提供了思路： 1111 ????? ???? nnttnn SXBL （ 13） 上式中： S 是表示觀測值 L 函數關系中的系統(tǒng)誤差量或者是模型誤差，是關于參數個數 t 的函數，由于數據來源的復雜性，造成了作為模型誤差或系統(tǒng)誤差的 S 的形態(tài)難以用單一的回歸模型進行模擬，不能僅僅只用少數的參數表示，所以在這個 n 因個觀測方程中都添加一個未知量 ( 1, 2 , )iS i n? ，這 n 個未知量組成的 n 維列向量就是半參數模型中的非參數分量，這樣的形式比一般的平差模型具有更強的求解最佳估計量的特性：一是因為半參數回歸模型克服 了傳統(tǒng)平差模型在處理復雜數據時的不適應性；二是半參數模型與客觀實際 中國地質大學（武漢）學士學位論文 4 更加趨近；三是在已知觀測值 L 和參數關系 B 的情況下再運用一定準則對半參數模型進行求解可以分別求出模型中的估計量即參數分量 X 、非參數分量 S 、 ? ，它們分別代表觀測中的真值、系統(tǒng)誤差、偶然誤差。 因此，我們可以將半參數模型與測量中許多方面結合進行系統(tǒng)誤差提取等。 當今統(tǒng)計界對半參數模型的估計方法研究得較多的主要有樣條估計，最小二乘核估計，三角級數估計和分塊多項式估計，而且參數部分的模型只適用于線性函數模型，對于非線性模型研究得較少。在統(tǒng)計領域，關于半參數模型的估計問題被認為是一個帶有無窮維多余形狀參數的歐氏空間的點估計問題。半參數模型的估計途徑歸納起來有三種：第一種是對函數空間施加一定的限制；第二是兩步估計，本文主要研究的最小二乘核估計就是典型的兩步估計；第三是兩階段估計。在測量數據處理中， 目前有研究的主要是基于補償最小二乘準則的光滑樣條估計，而近鄰估計、小波估計、二階段估計、分塊多項式估計、核估計、三角級數估計等其他估計方法卻沒有進行深入探討。 到目前為止，在測繪界中對半參數平差模型研究具體主要分為以下兩種： （ 1）附加系統(tǒng)參數的半參數平差模型： L Bx S? ? ?? （ 14） 上式中，觀測值 L 為 n 維列向量，參數向量 x 為 t 維列向量， t 為是經典平差模型中求得唯一解的必需觀測數， B 代表了參數分量的關系，是一個列滿秩矩陣，觀測誤差向量 ?為 n 維列向量， n 維未知向量 12[ , ,..., ]TnS S S S? 是描述了模型誤差或者觀測中的系統(tǒng)誤差。其誤差方程的形式為： V Bx S L??? ? ? （ 15） 根據最小二乘準則 minTV PV ? ，求得法方程為： T T TB P B x B P S B P L???? （ 16） 在上式中 P 為觀測值 L 的權陣，是一個對稱正定方陣； x? 和 S? 是待求參數分量（ t 個）和非參數分量（ n 個），但是觀測值方程只有 t 個，因而無法求得唯一解。這時就必須引入新的平 差準則對結果進行約束：定義一個光滑因子 ? 和矩陣 R ，它們在 V 和 S 之間起平衡作用，通過改變 ? 和 R 得出最佳值，具體形式如下： m inTTV P V S R S? ???? （ 17）（ 2）基于外延預測的半參數平差模型，其具體表達形式為： L BX s? ? ?? 210? ? ? ?? ? ??? ? （ 19） 在上式中：觀測向量 12[ , ,..., ]TnL L L L? 為 1n? 維向量；待估參數 12[ , ,..., ]TtX X X X? 為1t? 維向量；模型非參數部分 12[ , ,..., ]Tns s s s? 為 1n? 維向量，由于它可以表達出與觀測值函數關系不確定的因素部分，對觀測值進行部分調整，其擬合程度更加精確，使得最終平差值與真實值很接近。 ()iis st? ， ??st 為某一函數空間上的關系未知函數；12[ , ,..., ]T T T TnB b b b? 為代表了參數關系，是一個 1n? 維列滿秩矩陣；觀測誤差向量12[ , ,..., ]Tn? ? ? ? ?為 1n? 維向量。 中國地質大學（武漢）學士學位論文 5 上面這兩種模型的主要區(qū)別是在于解算的過程中：模型（ 14）是先計算非參數分量 S再計算參數分量 x ；模型（ 19）是先計算參數分量 X 再計算非參數分量 s 。 參數平差模型中的函數形式是已知的，而非參數平差模型中的回歸函數是未知的，所以參數模型只是需求解待定參數。由以上內容分析可知，半參數平差模型的兩個特例是參數平差模型與非參數平差模型，當 0B? 時為非參數平差模型，將 S 歸入誤差項則為參數平差模型 。 167。 半參數核估計理論應用研究現狀 目前國內外對于核估計已經做了很多研究：在國外， Silverman（ 1986） 對自適應核估計做了研究； （ 20xx） 對非對稱核密度估計進行了研究，并深入討論了如何偏差校正； Scott（ 1992） 、 Jones（ 1995） 研究了核光滑估計 ； Peter （ 20xx）對高階核半參數估計做了研究； 、 （ 20xx） 對如何運用核密度估計來消除半參數邊界誤差以及交替的核混合密度估計做了研究； Sebastiano Manzan（ 20xx） 對基于偏線性相加模型下的核密度估計做了研究； Eva Ferreira（ 1997） 對在不穩(wěn)定情況下的相關誤差，討論了核回歸估計中的曲線 如何增長； Tae Yoon Kim（ 1995）對較強混合過程中的核密度估計做了研究； （ 1996） 對數據驅動密度估計及其相關應用做了研究； Nils Lid Hjort（ 20xx） 對核密度估計中的最佳窗寬選取做了研究； Bert van Es（ 1997）對非光滑核密度估計中的積分均方誤差進行了分析； Yuri Goegebeur（ 20xx） 對極值統(tǒng)計中的參數核估計做了研究； . Karunamuni（ 20xx） 對有限混合模型核估計的漸進正態(tài)自適應性做了研究； Fateh Chebana（ 20xx）， Michel Carbon， Carlos Tenreiro， Abdelkader Mokkadem， Delaigle 等學者均深入研究了核估計。 在國內， 洪圣巖對如何在核估計中選取最佳窗寬做了研究；薛留根對密度函數核估計進行了相關問題的研究； 趙林城（ 1984）將核估計同近鄰估計進行了對比，并且通過 ? 的自適應估計最終可以得到最優(yōu)收斂速度； 秦更生對隨機刪失場合中的部分線性模型的核光滑方法進行了研究；王啟華對隨機刪失情況下概率密度核估計中的光滑 Bootstrap 逼近進行了分析； 朱仲義、李朝暉對最小二乘估計與半參數函數模型的核進行了研究 。 將半參數回歸模型同核估計理論相結合并應用到測繪領域，是一種全新的測量平差方法，雖然目前不管在理論研究還是實際應用方面都研究得較少，但是也取得了許多的成就：丁士俊 [25]將詳細分析了偏核光滑估計和偏殘差核估計方法，并對兩種方法的估計性能和效果進行了對比分析；張松林 [26]解算出最小二乘核估計的非參數分量和參數分量的公式，對參數分量的估計結果的有偏性和漸近正態(tài)性進行了證明；潘雄 [32]用半參數模型中的非參數分量來 模擬 系統(tǒng)誤差 ， 提 出 了處理 測量中系統(tǒng)誤差 的一種新方法 等等。 中國地質大學（武漢）學士學位論文 6 第二章 半參數核估計方法 167。 半參數核估計理論 目前，研究半參數平差模型的主要方法有偏樣條估計、最小二乘估計、分塊多項式估計、二階段估計、多項式估計、三角級數估計、小波估計等，但是目前只有張松林 [26]、丁士俊 [25]等對于半參數平差模型中的核估計進行了研究。 本文所要研究的半參數核估計理論方法，其模型形式為式 (19)。在本章，主要研究的核估計理論，包括核函數和核權函數的定義與選取；介紹了偏核光滑估計和最小二乘核估計兩種估計方法。在小樣 本的情況下，選取不同的核權函數，不同的核函數，估計結果也就不一樣，不同的核估計方法有不同的特點，因而兩種半參數核估計方法也有各自的適用范圍。 在數理統(tǒng)計學中，我們在判斷和估計一個數學模型的主要思想就是用從總體樣本中所隨機抽取的部分樣本來對總體進行估計，而本文研究的核估計就是來源于這種思想。在此基礎上，數理界定義了核估計： 設 12, ,... nX X X 為己知給定樣本空間中獨立同分布的一維隨機變量，且 ( 1,..., )iX i n? 的密度函數 ()fx未知，則可以得到一組形式如下的函數： 11( ) ( )n ininnxXf x Knh h??? ? （ 21） 其中 ()K? 為定義在（ ???? ,