【正文】 差模型中，觀測(cè)值只包含參數(shù)分量，表現(xiàn)為參數(shù)分量的線性形式，但是這種平差模型求解有一個(gè)前提條件：觀測(cè)值只含 有偶然誤差。 對(duì)于較為復(fù)雜的測(cè)量數(shù)據(jù)，一般情況下影響觀測(cè)量 的因素可分為兩方面：一部分影響因素與 的關(guān)系表現(xiàn)為是己知的線性關(guān)系，并且是觀測(cè)值的主要影響項(xiàng)，最終可以用參數(shù)通過(guò)數(shù)學(xué)關(guān)系式或者經(jīng)驗(yàn)來(lái)表達(dá)；而另一部分影響因素與 的關(guān)系完全是未知的，某些學(xué)者將這些因素作為觀測(cè)量的干擾項(xiàng)來(lái)處理，并不是誤差項(xiàng)的一部分。在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中， 目前有研究的主要是基于補(bǔ)償最小二乘準(zhǔn)則的光滑樣條估計(jì)，而近鄰估計(jì)、小波估計(jì)、二階段估計(jì)、分塊多項(xiàng)式估計(jì)、核估計(jì)、三角級(jí)數(shù)估計(jì)等其他估計(jì)方法卻沒(méi)有進(jìn)行深入探討。 167。在小樣 本的情況下，選取不同的核權(quán)函數(shù)，不同的核函數(shù)，估計(jì)結(jié)果也就不一樣，不同的核估計(jì)方法有不同的特點(diǎn)，因而兩種半?yún)?shù)核估計(jì)方法也有各自的適用范圍。()( 1 nkiki tttWtW ?? 是選定的 n 個(gè)依賴(lài)于 t 的 Borel 函 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 7 數(shù)， )(iWtS 總是 iL 的線性組合，一個(gè) iL 對(duì)應(yīng)一個(gè) iW ， iW 與 it 一般無(wú)對(duì)應(yīng)關(guān)系， iW 的構(gòu)造可能與全體｛ it ｝或部分的 { it } 有關(guān)，視具體函數(shù)而定，故 iW 一般寫(xiě)為),。 核權(quán)函數(shù)是一種最重要的權(quán)函數(shù)，對(duì)于如何選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)以用于特定的問(wèn)題中，對(duì)這個(gè)問(wèn)題可以從大樣本理論的觀點(diǎn)得出一些一般性的指導(dǎo)原則。而核函數(shù)決定 “碰撞”的形狀，而窗寬參數(shù) nh 則決定的則決定這些“碰撞”的寬度，估計(jì)量都是這些“碰撞”的和。為了與上一節(jié)的最小二乘估計(jì)結(jié)果進(jìn)行區(qū)分，因此在本文中對(duì)于偏核光滑估計(jì)中的光滑矩陣用 gS 來(lái)代替，所以其解可記作為： ? ? 1TTggX B P B B P L s??? ???????? （ 229） 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 11 g g gs H S L B X?? ? ???? ? ????? （ 230） 由式（ 229）和式（ 230）可得： ? ?? ? ? ?1TTg g gX B P I S B B P I S L? ?? ? ? （ 231） g g gs S L B X?????????? （ 232） 假設(shè)取 ? ? ? ?? ?。半?yún)?shù)核估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要包括半?yún)?shù)非參數(shù)和參數(shù)分量的估值偏差、估值期望、估值均方誤差以及估值方差。 根據(jù)式（ 32）、式（ 34）和 方差計(jì)算式（ 38）解得最小二乘核估計(jì)非參數(shù)分量的方差為： ? ?? ?1k k k k k k kE s s S I B J B J s S L B X? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?11k k k k k kS I B J B J s S L B J B J L??? ? ? ? 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 14 ? ?? ? ? ?? ? ? ?11k k k k k kS I B J B J s S I B J B J BX s??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?k k k k k kS I B J B J BX S I B J B J? ? ? ? ? ? ? ?? ?1k k kS I B J B J?? ? ? ? （ 311） Tk k k k kD s E s s E s s? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?11 Tk k k k k kS I B J B J S I B J B J??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?11 TTTk k k k k kS I B J B J I B J B J S??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1120 T Tk k k k k kS I B J B J Q I B J B J S? ??? ? ? （ 312） 四、估計(jì)量的均方誤差 設(shè) X? 為未知參數(shù) X 的估值，則定義均方誤差 MSE 為 TM S E X E X X X X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? （ 313） 上式（ 313）可分解為 2M S E X tr D X E X X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? Ttr D X tr E X X E X X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? （ 314） 由式（ 33）可得， ? ?? ? ? ?? ?11T Tk k k k k kE X X E X X X J B J s X X J B J s X?? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?11TTk k k kJ B J ss J J B??? （ 315） 根據(jù)式（ 310）和式（ 315），然后再通過(guò)均方誤差定義式（ 313），可得半?yún)?shù)最小二乘核估計(jì)參數(shù)分量的均方誤差為： Tk k k kM S E X tr D X tr E X X E X X? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 1 120 T T Tk k k k k k k ktr J B J QJ J B tr J B J ss J J B? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?1120 TTk k k ktr J B J Q ss J J B??????? （ 316） 由式（ 34），可得： 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 15 TkkE s s E s s??? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?11 Tk k k k k kS I B J B J s s S I B J B J s s??? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? TTk k k k k kS I B J B J I ss S I B J B J I? ? ? ? ? （ 317） 根據(jù)式（ 312）和式（ 317），然后再通過(guò)均方誤差公式（ 358），可得半?yún)?shù)最小二乘核估計(jì)非參數(shù)分量的均方誤差為： Tk k k kM S E s tr D s tr E s s E s s? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ?1120 T Tk k k k k ktr S I B J B J Q I B J B J S? ????? ? ????? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? TTk k k k k ktr S I B J B J I s s S I B J B J I? ? ? ? ? （ 318） 167。但是在模型誤差或者系統(tǒng)誤差存在且不可避免的情況下，只能選擇恰當(dāng)?shù)墓烙?jì)方法使得在具有較少條件數(shù)時(shí)最終估計(jì)值的均方誤差也較小，所以在有偏估計(jì)在一定情況下是一種更為準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)方法。, , , Th h hg n n n n gs W W W L B X?????? ???? （ 233） 這種估計(jì)方法是由 GreenJennnisonSeheult()（ 1985）提出來(lái)的，因此 gx? 與 gs? 又稱(chēng)為 估計(jì)。首先根據(jù)本章第一 節(jié)內(nèi)容，半?yún)?shù)平差模型的具體形式為（ 19），其中核權(quán)函數(shù)為（ 23），首先按照某一特定方法確定窗寬參數(shù)? ?0hh? ，選定 R 上的核函數(shù) ??K? ，對(duì)于某一特定點(diǎn) kt ，定義核權(quán)函數(shù) ? ?ikWt為： ? ? ? ?? ?? ?? ?111kiik nkjjK t t hWtK t t h??????? , , 1, ,i j k n? （ 216） 第一步設(shè)參數(shù)分量 X 已知 ，基于 ? ?1, nTi i i it L b X ?? ，作出非參數(shù)分量 ? ?kst 的核估計(jì)為： ? ?? ?1n Tk i k i iis W t L b X????? （ 217） 第二步再以 ks? 代替 ks ，由 ks? 計(jì)算觀測(cè)值的殘差為： kkV BX s L?? ? ? = )) ) (((1 BXLtWI kni i ??? ?? （ 218） 令 ? ?? ?k i j nnS W t ??，則公式（ 213）的向量形式為： ? ?? ?kV I S BX L? ? ? （ 219） 式中 I 為單位矩陣，然后依據(jù)最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則，可得 ? ? ? ? ? ? ? ? m i nTT kkB X L I S P I S B X L? ? ? ? ? （ 220） 則上式可以轉(zhuǎn)化為如下方程 ? ? ? ? ? ? ? ?TTk k k kB I S P I S B X B I S P I S L? ? ? ? ? （ 221） 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 10 若 ? ?R B p? ，即矩陣 B 滿(mǎn)秩，則 ? ? ? ?TT kkB I S P I S B??可逆，假設(shè) kX? 是 X 的估計(jì)值，則 X 的最小二乘估計(jì)值為： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1TTTTk k k k kX B I S P I S B B I S P I S L? ?? ? ? ? ? （ 222） 將 kX? 代入 ks? ，得到 ks? 的估計(jì)值 ? ?1n Tk i k i i k k kis W t L b X S L B X? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? （ 223） 因此， 式（ 222）和式（ 223）即為半?yún)?shù)最小二乘核估計(jì)的參數(shù)分量和非參數(shù)分量的估計(jì)值。 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 9 可以看出，在半?yún)?shù)核估計(jì)中隨著核權(quán)函數(shù) )(ki tW 和核函數(shù) ??K? 的變化會(huì)產(chǎn)生不同的估計(jì)結(jié)果，因此在解決實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行核估計(jì)時(shí)，我們要根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)。 1( ) ( : , ... )hhn i n i nW t W t t t? ( 1,2,..., )in? ，權(quán)函數(shù)其滿(mǎn)足下面的條件： 。因此，稱(chēng)這樣的一組 nf 為未知函數(shù) ()fx的核估計(jì)。 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 6 第二章 半?yún)?shù)核估計(jì)方法 167。 ()iis st? ， ??st 為某一函數(shù)空間上的關(guān)系未知函數(shù)；12[ , ,..., ]T T T TnB b b b? 為代表了參數(shù)關(guān)系，是一個(gè) 1n? 維列滿(mǎn)秩矩陣；觀測(cè)誤差向量12[ , ,..., ]Tn? ? ? ? ?為 1n? 維向量。 因此，我們可以將半?yún)?shù)模型與測(cè)量中許多方面結(jié)合進(jìn)行系統(tǒng)誤差提取等。一是因?yàn)橛绊懹^測(cè)值的因素眾多，往往無(wú)法全面得