【正文】 x p 22 xKx ??? ???????? （ 29） ? ? 124 ( ) 1K x x? ??????? （ 210） ? ?253 1() 40xKx ? ??? ??? ? ?? ?11xx?? （ 211） ? ?22615 1() 160xKx ? ??? ??? ? ?? ?11xx?? （ 212） ? ?32735 1() 320xKx ? ??? ??? ? ?? ?11xx?? （ 213） 8c o s() 420xKx ??? ??? ??? ????? ? ?? ?11xx?? （ 214） ? ? ? ?? ?21 / 291 / 2s in / 22/2()2xxKx ????? ??????? ? ????? ? ?? ?00xx?? （ 215） 觀察這九個(gè)核函數(shù)的定義式可以分析出核函數(shù)所具有的一般性質(zhì)：一是核函數(shù)是定義在 R 上的可測(cè)實(shí)函數(shù)，且有上確界；二是核函數(shù)一般為某個(gè)隨機(jī)變量的關(guān)于 y 軸對(duì)稱的概率密度函數(shù)；三是核函數(shù) ()K? 都滿足積分和為 1。 最小二乘核估計(jì) 兩步估計(jì)的典型例子是最小二乘核估計(jì)。 2 。 最小二乘核估計(jì)估計(jì)量的性質(zhì) 一、估計(jì)量的期望 根據(jù)第二章最小二乘核估計(jì)結(jié)果（ 217）和式（ 218），設(shè) ? ? ? ?TTk k kJ B I S P I S? ? ?，此時(shí)最小二乘核估計(jì)非參數(shù)分量和參數(shù)分量的結(jié)果可以分別簡(jiǎn)化為： ? ? 1k k kX J B J L? ?? （ 31） k k ks S L B X?????????? （ 32） 則式（ 31）和式（ 32）的數(shù)學(xué)期望為，由于 ? ?E L BX s??，則有： ? ? ? ? ? ? ? ?11k k k k kE X J B J E L J B J B X s? ???? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?1 1 1k k k k k kJ B J B X J B J s X J B J s? ? ?? ? ? ? （ 33） ? ?k k k k kE s S E L B X S E L B E X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11k k k k k kS I B J B J BX s S I B J B J s??? ? ? ? ? （ 34） ? ? ? ?k k k k kE V B E X E s E L B E X E s B X s? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1k k kS I I B J B J s?? ? ? （ 35） 二、估計(jì)量的偏差 有偏估計(jì)是針對(duì)無(wú)偏估計(jì)來(lái)說(shuō)的，就是指未知參數(shù) X 與其估值 X? 的數(shù)學(xué)期望不滿足 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 13 ^()E X X? ；而經(jīng)典平差模型的結(jié)果都是無(wú)偏估計(jì)。 半?yún)?shù)偏核光滑估計(jì)量的性質(zhì) 一、估計(jì)量的方差 根據(jù)第二章半?yún)?shù)偏核光滑估計(jì)。這些統(tǒng)計(jì)性質(zhì)是平差模型的精度評(píng)定，模型的適用范圍確定等問(wèn)題的依據(jù)和基礎(chǔ)。hg n i i nnS S h W t ???，則稱（ 231）式的估計(jì)為偏核光滑估計(jì)，則此時(shí)的非參數(shù)分量 ??st 的估計(jì)為： ? ?。如果選擇窗寬參數(shù) nh 太小，核估計(jì)會(huì)出現(xiàn)比較大的干擾尤其是圖像尾部，這 時(shí)就會(huì)有增大方差的趨勢(shì)；相反，如果選擇窗寬參數(shù) nh 太大， x 經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)壓縮變換 inxXh? 之后平均化作用就會(huì)顯得突出，結(jié)果是密度的細(xì)節(jié)部分便就淹沒(méi)了，我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況來(lái)適當(dāng)?shù)倪x擇窗寬參數(shù) nh ，來(lái)平衡前述討論的兩種不同情況。 Watson 與 Nadaraja(1964)提出了一種適合非參數(shù)模型的核函數(shù) ，即選定 R 空間上的核函數(shù) ()K? (一般為概率密度 )，核權(quán)函數(shù)的定義為： ? ? ? ?? ?? ?? ?111kiik nkjjK t t hWtK t t h??????? , , 1, ,i j k n? （ 23） 則 )(its 的權(quán)函數(shù)估計(jì) )(iWtS 可表示為： )(iWtS = ikni i LtW )(?= 11()()nkiiinkjjttKh LttKh?????? （ 24） 這種核估計(jì)被稱為 WastonNadaraja 核估計(jì)，上式中窗寬參數(shù) h 是一個(gè)重要的光滑參數(shù)，當(dāng)()K? 以 [1,1]為其范圍，且 )(?K 是單峰、對(duì)稱， )(iWtS 是集中在 t 附近一個(gè)鄰域的樣本的加權(quán)平均值，而 h 正好是該鄰域的寬度。()( 1 nkiki tttWtW ?? ，是整個(gè)樣本相對(duì)于點(diǎn) kt 的權(quán)，它反映了在估計(jì) )(its 時(shí)，樣本作用的大小。 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們?cè)谂袛嗪凸烙?jì)一個(gè)數(shù)學(xué)模型的主要思想就是用從總體樣本中所隨機(jī)抽取的部分樣本來(lái)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，而本文研究的核估計(jì)就是來(lái)源于這種思想。 半?yún)?shù)核估計(jì)理論應(yīng)用研究現(xiàn)狀 目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于核估計(jì)已經(jīng)做了很多研究：在國(guó)外， Silverman（ 1986） 對(duì)自適應(yīng)核估計(jì)做了研究； （ 20xx） 對(duì)非對(duì)稱核密度估計(jì)進(jìn)行了研究，并深入討論了如何偏差校正； Scott（ 1992） 、 Jones（ 1995） 研究了核光滑估計(jì) ； Peter （ 20xx）對(duì)高階核半?yún)?shù)估計(jì)做了研究； 、 （ 20xx） 對(duì)如何運(yùn)用核密度估計(jì)來(lái)消除半?yún)?shù)邊界誤差以及交替的核混合密度估計(jì)做了研究； Sebastiano Manzan（ 20xx） 對(duì)基于偏線性相加模型下的核密度估計(jì)做了研究； Eva Ferreira（ 1997） 對(duì)在不穩(wěn)定情況下的相關(guān)誤差，討論了核回歸估計(jì)中的曲線 如何增長(zhǎng)； Tae Yoon Kim（ 1995）對(duì)較強(qiáng)混合過(guò)程中的核密度估計(jì)做了研究； （ 1996） 對(duì)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)密度估計(jì)及其相關(guān)應(yīng)用做了研究； Nils Lid Hjort（ 20xx） 對(duì)核密度估計(jì)中的最佳窗寬選取做了研究； Bert van Es（ 1997）對(duì)非光滑核密度估計(jì)中的積分均方誤差進(jìn)行了分析； Yuri Goegebeur（ 20xx） 對(duì)極值統(tǒng)計(jì)中的參數(shù)核估計(jì)做了研究； . Karunamuni（ 20xx） 對(duì)有限混合模型核估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)自適應(yīng)性做了研究； Fateh Chebana（ 20xx）， Michel Carbon， Carlos Tenreiro， Abdelkader Mokkadem， Delaigle 等學(xué)者均深入研究了核估計(jì)。 到目前為止，在測(cè)繪界中對(duì)半?yún)?shù)平差模型研究具體主要分為以下兩種： （ 1）附加系統(tǒng)參數(shù)的半?yún)?shù)平差模型： L Bx S? ? ?? （ 14） 上式中，觀測(cè)值 L 為 n 維列向量，參數(shù)向量 x 為 t 維列向量， t 為是經(jīng)典平差模型中求得唯一解的必需觀測(cè)數(shù)， B 代表了參數(shù)分量的關(guān)系，是一個(gè)列滿秩矩陣，觀測(cè)誤差向量 ?為 n 維列向量， n 維未知向量 12[ , ,..., ]TnS S S S? 是描述了模型誤差或者觀測(cè)中的系統(tǒng)誤差。如果運(yùn)用參數(shù)模型處理，則忽略了干擾項(xiàng)；但是若采用非參數(shù)模型處理，又會(huì)失去觀測(cè)值的主要影響項(xiàng)，模型對(duì)實(shí)際問(wèn)題的描述能力也明顯降低。在這種理想情況下，偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，運(yùn)用最小二乘準(zhǔn)則，最終解得參數(shù)分量的解，根據(jù)其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可以驗(yàn)證參數(shù)解的偏差為零，即為無(wú)偏估計(jì)量。ller（ 1998） [5]等學(xué)者對(duì)廣義的半?yún)?shù)回歸模型做了研究； Eubank（ 1990） [7]對(duì)于 半?yún)?shù)模型中的 三角級(jí)數(shù)估計(jì)法做了研究；由 David 等學(xué)者編著的書(shū) 《 Semiparemetric Regression》對(duì)半?yún)?shù)回歸模型做了詳細(xì)介紹；還有一些學(xué)者對(duì)基于大樣本的半?yún)?shù)模型中的分量性質(zhì)做了深入研究。 在坐標(biāo)系換算中的應(yīng)用 .................................................................................. 24 第五章 結(jié)論與展望 ...................................................................................................... 26 致謝 ............................................................................................................................. 27 參考文獻(xiàn) ...................................................................................................................... 28 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 1 第一章 緒論 167。 半?yún)?shù)核估計(jì)理論應(yīng)用研究現(xiàn)狀 ...................................................................... 5 第二章 半?yún)?shù)核估計(jì)方 法 ............................................................................................. 6 167。 第四章對(duì)測(cè)量誤差進(jìn)行了概述，介紹了系統(tǒng)誤差相關(guān)特性。半?yún)?shù)核估計(jì)包括偏核光滑估計(jì)、偏殘差估計(jì)、近鄰核估計(jì)、最小二乘核估計(jì)以及 NW 核估計(jì)等，本文主要研究半?yún)?shù)最小二乘法和偏核光滑估計(jì)法。 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題目： 半?yún)?shù)核估計(jì)理論及應(yīng)用 摘 要 現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，為測(cè)繪科學(xué)提供了一個(gè)良好的發(fā)展機(jī)遇，同時(shí)也對(duì)測(cè)繪科學(xué)提出了更高的要求。 本論文共分為五章，第一章緒論主要闡述了半?yún)?shù)模型在統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀及半?yún)?shù)回歸模型在測(cè)量數(shù)據(jù)處理應(yīng)用的兩種主要方法：補(bǔ)償最小二乘法和基于外延預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)的核估計(jì)；著重介紹了半?yún)?shù)核估計(jì)理論方面的國(guó)內(nèi)國(guó)外研究現(xiàn)以及本文研究的內(nèi)容。因此，最佳窗寬選擇的標(biāo)準(zhǔn)必須在核估計(jì)的偏 差和方差之間進(jìn)行權(quán)衡。 引言 ................................................................................................................ 1 167。 模擬算例 ....................................................................................................... 21 167。M252。而我們所用的經(jīng)典平差模型是高斯一馬爾柯夫模型，具體形式如下： 函數(shù)模型： （ 11） 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 3 隨機(jī)模型： （ 12） 在上述平