【文章內(nèi)容簡介】 案為： 520． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查列方程組解決問題，會(huì)根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)列方程并正確求解是解題的關(guān)鍵． 15．如圖，等邊 △ ABC中， D是邊 BC上的一點(diǎn)，且 BD： DC=1： 3，把 △ ABC折疊，使點(diǎn) A落在邊 BC上的點(diǎn) D處，那么 的值為 ． 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】由 BD： DC=1： 3， 可設(shè) BD=a，則 CD=3a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得：BM+MD+BD=5a， DN+NC+DC=7a，再通過證明 △ BMD∽△ CDN即可證明 AM： AN 的值． 【解答】解： ∵ BD： DC=1： 3， ∴ 設(shè) BD=a，則 CD=3a， ∵△ ABC是等邊三角形， ∴ AB=BC=AC=4a， ∠ ABC=∠ ACB=∠ BAC=60176。 ， 由折疊的性質(zhì)可知： MN是線段 AD的垂直平分線， ∴ AM=DM， AN=DN， ∴ BM+MD+BD=5a， DN+NC+DC=7a， ∵∠ MDN=∠ BAC=∠ ABC=60176。 ， ∴∠ NDC+∠ MDB=∠ BMD+∠ MBD=120176。 ， ∴∠ NDC=∠ BMD， ∵∠ ABC=∠ ACB=60176。 ， ∴△ BMD∽△ CDN， ∴ （ BM+MD+BD）：（ DN+NC+CD） =AM： AN， 即 AM： AN=5： 7， ∴ MD： ND=5： 7 ∴ = =（ ） = ， 故答案為： ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，熟記這一性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． 16．已知：在 △ ABC中， AC=， BC=2， AB=， E、 F均在直線 AB上，且 AE=AC， ∠ ECF=45176。 ，則 AF的長為 ． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；同角三角函數(shù)的關(guān)系． 【分析】分兩種情況： ① 當(dāng) E 在 BA 的延長線上時(shí)，如圖 1，作輔助線，構(gòu)建 直角三角形，先根據(jù)勾股定理列等式求 AH的長，從而繼續(xù)求 CH、 BH的長，根據(jù)同角的三角函數(shù)設(shè) AT=y，則 ET=2y，列方程可得AT= ， ET= = ，同理可求 FN= ， EN= ，由此求 EF的長，得出 AF的長； ② 當(dāng) E在線段 AB上時(shí)，如圖 2，同樣 的方法可求得 AF 的長． 【解答】解：分兩種情況： ① 當(dāng) E在 BA的延長線上時(shí)，如圖 1， 過 C作 CH⊥ AB于 H， 設(shè) AH=x，則 BH=﹣ x， 由勾股定理得： CH2=AC2﹣ AH2=﹣ x2， CH2=BC2﹣ BH2=22﹣（ ﹣ x） 2， ∴ ﹣ x2=22﹣（ ﹣ x） 2， x=， ∴ AH=， ∴ HE=AH+AE=+=， CH= = =， 過 A作 FN⊥ EC于 N，過 A作 AT⊥ EC 于 T， 由 tan∠ E= = ， 設(shè) AT=y，則 ET=2y， ∴ AE2=y2+（ 2y） 2， 5y2=， y= ， ∴ AT= ， ET= = ， ∵ AC=AE， ∴ EC=2ET= ， 設(shè) FN=a，則 EN=2a， ∵∠ ECF=45176。 ， ∴△ FCN是等腰直角三角形， ∴ FN=NC=a， ∴ EC=EN+CN=2a+a= ， a= ， 在 △ EFN中， FN= ， EN= ， ∴ EF= =2， ∴ AF=EF﹣ AE=2﹣ =； ② 當(dāng) E在線段 AB上時(shí)，如圖 2， 過 C作 CH⊥ AB于 H， 同理得： AH=， CH=， ∵ AC=AE=， ∴ EH=AE﹣ AH=﹣ =， 由勾股定理得： CE= = ， ∴ tan∠ ECH= ， 過 F作 FN⊥ EC于 N， ∵∠ ECF=45176。 ， ∴△ FCN是等腰直角三角形， ∴ FN=CN， ∵∠ FNC=∠ EHC=90176。 ， ∠ NEF=∠ HEC， ∴∠ NFE=∠ ECH， ∴ tan∠ NFE= ， ∴ FN=CN=2EN， ∴ CE=EN= ， 由勾股定理得： EF= = =3， ∴ AF=AE+EF=+3=， 綜上所述， AF的長為 ； 故答案為： ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、同角的三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理列方程是關(guān)鍵，恰當(dāng)?shù)刈鬏o助線是本題的突破口，有難度，同時(shí)要注意 “E 、 F 均在直線 AB上 ” ，根據(jù)數(shù)形結(jié)合采用分類討論的思想解決問題． 三、解答題 17．（ 1）計(jì)算：﹣ 14+（ π ﹣ 2） 0﹣（ tan60176。 ） 2+2﹣ 1； （ 2）先化簡，再求值： ，其中 ． 【考點(diǎn)】分式的化簡求值；有理數(shù)的乘方；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】（ 1）先根據(jù)數(shù)的乘方法則、 0 指數(shù)及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、特殊角的三角函數(shù)值分別計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可； （ 2）先算括號(hào)里面的，再算除法，最后把 x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：（ 1）原式 =﹣ 1+1﹣（ ） 2+ =﹣ 3+ =﹣ ； （ 2）原式 = ? = ? = ， 當(dāng) x= ﹣ 2時(shí)，原式 = = = =1﹣ 2 ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡求值，分式中的一些特殊求值題并非是一味的化簡，代入，求值．許多問題還需運(yùn)用到常見的數(shù)學(xué)思想，如化歸思想（即轉(zhuǎn)化）、整體思想等，了解這些數(shù)學(xué)解題思想對(duì)于解題技巧的豐富與提高有一定幫助． 18．為了推動(dòng)陽光體育運(yùn)動(dòng)的廣泛 開展，引導(dǎo)學(xué)生積極參加體育鍛煉，某校九年級(jí)準(zhǔn)備購買一批運(yùn)動(dòng)鞋供學(xué)生借用，現(xiàn)從九年級(jí)各班隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的鞋號(hào)，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖① 和圖 ② ，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題： （ 1）接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 40 ，圖 ① 中 m的值為 15 ； （ 2）在本次調(diào)查中，學(xué)生鞋號(hào)的眾數(shù)為 35 號(hào)，中位數(shù)為 36 號(hào)； （ 3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，若該年級(jí)計(jì)劃購買 100雙運(yùn)動(dòng)鞋，建議購買 35號(hào)運(yùn)動(dòng)鞋多少雙？ 【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本估計(jì)總體；扇形統(tǒng)計(jì)圖；中位數(shù)；眾數(shù) ． 【分析】（ 1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖求出總?cè)藬?shù)即可；由扇形統(tǒng)計(jì)圖以及單位 1，求出 m 的值即可； （ 2）找出出現(xiàn)次數(shù)最多的即為眾數(shù)，將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列，求出中位數(shù)即可； （ 3）根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可得到結(jié)果． 【解答】解：（ Ⅰ ）本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 6+12+10+8+4=40，圖 ① 中 m 的值為 100﹣ 30﹣ 25﹣ 20﹣ 10=15； 故答案為： 40； 15； （ 2） ∵ 在這組樣本數(shù)據(jù)中， 35 出現(xiàn)了 12次，出現(xiàn)次數(shù)最多， ∴ 這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 35； ∵ 將這組樣本數(shù)據(jù)從小到大得順序排列，其中處于中間的 兩個(gè)數(shù)都為 36， ∴ 中位數(shù)為 =36； 故答案為： 35， 36． （ 3） ∵ 在 40名學(xué)生中，鞋號(hào)為 35的學(xué)生人數(shù)比例為 30%， ∴ 由樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)學(xué)校各年級(jí)中學(xué)生鞋號(hào)為 35的人數(shù)比例約為 30%， 則計(jì)劃購買 100雙運(yùn)動(dòng)鞋，有 100 30%=30雙為 35 號(hào)． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，以及用樣本估計(jì)總體，弄清題意是解本題的關(guān)鍵． 19．在一個(gè)不透明的袋子中，放入除顏色外其余都相同的 1個(gè)白球、 2個(gè)黑球、 3個(gè)紅球．?dāng)噭蚝?，從中隨機(jī)摸出 2個(gè)球． （ 1）請列出所有可能的結(jié)果： （ 2）求每一種不同結(jié)果的概率． 【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法． 【分析】（ 1）用枚舉法將所有等可能的結(jié)果列舉出來即可，也可采用列表或樹形圖的方法將所有等可能的結(jié)果列舉出來； （ 2）確定每一種不同結(jié)果的數(shù)量，利用概率公式求解即可． 【解答】解：（ 1）攪勻后，從中隨機(jī)摸出 2個(gè)球，所有可能的結(jié)果有 15個(gè)，即： （白，黑 1），（白，黑 2），（白，紅 1），（白，紅 2），