20xx高中數(shù)學(xué)人教a必修1第二章222-對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-10-10 14:33 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)，可利用換元法，設(shè)logax＝t，則函數(shù)f(t)(tR)的值域就是函數(shù)f(logax)(a＞0，且a≠1)的值域．注意：(1)若對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)是含字母的代數(shù)式(或單獨(dú)一個(gè)字母)，要考查其單調(diào)性，就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論．(2)求對(duì)數(shù)函數(shù)的值域時(shí)，一定要注意定義域?qū)λ挠绊懀?dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，有時(shí)需討論參數(shù)的取值范圍．【例6－1】求下列函數(shù)的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝．解：(1)∵x2＋4≥4，∴l(xiāng)og2(x2＋4)≥log24＝2．∴函數(shù)y＝log2(x2＋4)的值域?yàn)閇2，＋∞)．(2)設(shè)u＝3＋2x－x2，則u＝－(x－1)2＋4≤4．∵u＞0，∴0＜u≤4．又y＝在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴≥－2．∴函數(shù)y＝的值域?yàn)閇－2，＋∞)．【例6－2】已知f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及相應(yīng)的x的值．分析：先確定y＝[f(x)]2＋f(x2)的定義域，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于log3x的一個(gè)一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)求最值．解：∵f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6且定義域?yàn)閇1,3]．令t＝log3x(x[1,3])．∵t＝log3x在區(qū)間[1,3]上是增函數(shù)，∴0≤t≤1．從而要求y＝[f(x)]2＋f(x2)在區(qū)間[1,3]上的最大值，只需求y＝t2＋6t＋6在區(qū)間[0,1]上的最大值即可．∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞)上是增函數(shù)，∴當(dāng)t＝1，即x＝3時(shí)，ymax＝1＋6＋6＝13．綜上可知，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值為13．7．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換及定點(diǎn)問(wèn)題(1)與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即對(duì)任意的a＞0，且a≠1都有l(wèi)oga1＝0．這是解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問(wèn)題的關(guān)鍵．對(duì)于函數(shù)y＝b＋klogaf(x)(k，b均為常數(shù)，且k≠0)，令f(x)＝1，解方程得x＝m，則該函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)(m，b)．方程f(x)＝0的解的個(gè)數(shù)等于該函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換的問(wèn)題①函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)函數(shù)y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)②函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)函數(shù)y＝logax＋b(a＞0，且a≠1)③函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)函數(shù)y＝loga|x|(a＞0，且a≠1)④函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)函數(shù)y＝|logax|(a＞0，且a≠1)【例7－1】若函數(shù)y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(3,2)，則實(shí)數(shù)b，c的值分別為_(kāi)_________．解析：∵函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(3,2)，∴將(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)，得2＝loga(3＋b)＋c．又∵當(dāng)a＞0，且a≠1時(shí)，loga1＝0恒成立，∴c＝2．∴l(xiāng)oga(3＋b)＝0．∴b＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函數(shù)y＝|log2(x＋1)|＋2的圖象．解：(第一步)作函數(shù)y＝log2x的圖象，如圖①；(第二步)將函數(shù)y＝log2x的圖象沿x軸向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象，如圖②；(第三步)將函數(shù)y＝log2(x＋1)在x軸下方的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，得函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖③；(第四步)將函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，沿y軸方向向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，便得到所求函數(shù)的圖象，如圖④．8．利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小比較有以下幾種情況：(1)底數(shù)相同，真數(shù)不同．比較同底數(shù)(是具體的數(shù)值)的對(duì)數(shù)大小，構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大?。⒁猓好鞔_所給的兩個(gè)值是哪個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值；明確對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系；最后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大?。?2)底數(shù)不同，真數(shù)相同．若對(duì)數(shù)式的底數(shù)不同而真數(shù)相同時(shí)，可以利用順時(shí)針?lè)较虻讛?shù)增大畫出函數(shù)的圖象，再進(jìn)行比較，也可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較．(3)底數(shù)不同，真數(shù)也不同．對(duì)數(shù)式的底數(shù)不同且指數(shù)也不同時(shí)，常借助中間量0,1進(jìn)行比較．(4)對(duì)于多個(gè)對(duì)數(shù)式的大小比較，應(yīng)先根據(jù)每個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，以及它們與“0”和
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