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正文內(nèi)容

20xx高中數(shù)學(xué)人教a必修1第二章222-對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(編輯修改稿)

2024-10-10 14:33 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)y=f(logax)(a>0,且a≠1),可利用換元法,設(shè)logax=t,則函數(shù)f(t)(tR)的值域就是函數(shù)f(logax)(a>0,且a≠1)的值域.注意:(1)若對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)是含字母的代數(shù)式(或單獨(dú)一個(gè)字母),要考查其單調(diào)性,就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.(2)求對(duì)數(shù)函數(shù)的值域時(shí),一定要注意定義域?qū)λ挠绊懀?dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí),有時(shí)需討論參數(shù)的取值范圍.【例6-1】求下列函數(shù)的值域:(1)y=log2(x2+4);(2)y=.解:(1)∵x2+4≥4,∴l(xiāng)og2(x2+4)≥log24=2.∴函數(shù)y=log2(x2+4)的值域?yàn)閇2,+∞).(2)設(shè)u=3+2x-x2,則u=-(x-1)2+4≤4.∵u>0,∴0<u≤4.又y=在(0,+∞)上為減函數(shù),∴≥-2.∴函數(shù)y=的值域?yàn)閇-2,+∞).【例6-2】已知f(x)=2+log3x,x[1,3],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及相應(yīng)的x的值.分析:先確定y=[f(x)]2+f(x2)的定義域,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于log3x的一個(gè)一元二次函數(shù),利用一元二次函數(shù)求最值.解:∵f(x)=2+log3x,x[1,3],∴y=[f(x)]2+f(x2)=(log3x)2+6log3x+6且定義域?yàn)閇1,3].令t=log3x(x[1,3]).∵t=log3x在區(qū)間[1,3]上是增函數(shù),∴0≤t≤1.從而要求y=[f(x)]2+f(x2)在區(qū)間[1,3]上的最大值,只需求y=t2+6t+6在區(qū)間[0,1]上的最大值即可.∵y=t2+6t+6在[-3,+∞)上是增函數(shù),∴當(dāng)t=1,即x=3時(shí),ymax=1+6+6=13.綜上可知,當(dāng)x=3時(shí),y=[f(x)]2+f(x2)的最大值為13.7.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換及定點(diǎn)問(wèn)題(1)與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)過(guò)定點(diǎn)(1,0),即對(duì)任意的a>0,且a≠1都有l(wèi)oga1=0.這是解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問(wèn)題的關(guān)鍵.對(duì)于函數(shù)y=b+klogaf(x)(k,b均為常數(shù),且k≠0),令f(x)=1,解方程得x=m,則該函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)(m,b).方程f(x)=0的解的個(gè)數(shù)等于該函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換的問(wèn)題①函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)函數(shù)y=loga(x+b)(a>0,且a≠1)②函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)函數(shù)y=logax+b(a>0,且a≠1)③函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)函數(shù)y=loga|x|(a>0,且a≠1)④函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)函數(shù)y=|logax|(a>0,且a≠1)【例7-1】若函數(shù)y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(3,2),則實(shí)數(shù)b,c的值分別為_(kāi)_________.解析:∵函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(3,2),∴將(3,2)代入y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1),得2=loga(3+b)+c.又∵當(dāng)a>0,且a≠1時(shí),loga1=0恒成立,∴c=2.∴l(xiāng)oga(3+b)=0.∴b=-2.答案:-2,2【例7-2】作出函數(shù)y=|log2(x+1)|+2的圖象.解:(第一步)作函數(shù)y=log2x的圖象,如圖①;(第二步)將函數(shù)y=log2x的圖象沿x軸向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得函數(shù)y=log2(x+1)的圖象,如圖②;(第三步)將函數(shù)y=log2(x+1)在x軸下方的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換,得函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象,如圖③;(第四步)將函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象,沿y軸方向向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,便得到所求函數(shù)的圖象,如圖④.8.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小比較有以下幾種情況:(1)底數(shù)相同,真數(shù)不同.比較同底數(shù)(是具體的數(shù)值)的對(duì)數(shù)大小,構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù),利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大?。⒁猓好鞔_所給的兩個(gè)值是哪個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值;明確對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系;最后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大?。?2)底數(shù)不同,真數(shù)相同.若對(duì)數(shù)式的底數(shù)不同而真數(shù)相同時(shí),可以利用順時(shí)針?lè)较虻讛?shù)增大畫出函數(shù)的圖象,再進(jìn)行比較,也可以先用換底公式化為同底后,再進(jìn)行比較.(3)底數(shù)不同,真數(shù)也不同.對(duì)數(shù)式的底數(shù)不同且指數(shù)也不同時(shí),常借助中間量0,1進(jìn)行比較.(4)對(duì)于多個(gè)對(duì)數(shù)式的大小比較,應(yīng)先根據(jù)每個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,以及它們與“0”和
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