【文章內容簡介】 交 AC于點 D，連接 BD，下列結論錯誤的是（ ） A． ∠C=2∠A B． BD平分 ∠ABC C． S△BCD =S△BOD D．點 D為線段 AC的黃金分割點 【考點】 線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；黃金分割． 【分析】 求出 ∠C 的度數即可判斷 A；求出 ∠ABC 和 ∠ABD 的度數 ，求出 ∠DBC 的度數，即可判斷 B；根據三角形面積即可判斷 C；求出 △DBC∽△CAB ，得出 BC2=BC?AC，求出 AD=BC，即可判斷 D． 【解答】 解： A、 ∵∠A=36176。 ， AB=AC， ∴∠C=∠ABC=72176。 ， ∴∠C=2∠A ，正確， B、 ∵DO 是 AB垂直平分線， ∴AD=BD ， ∴∠A=∠ABD=36176。 ， ∴∠DBC=72176。 ﹣ 36176。=36176。=∠ABD ， ∴BD 是 ∠ABC 的角平分線，正確， C，根據已知不能推出 △BCD 的面積和 △BOD 面積相等，錯誤， D、 ∵∠C=∠C ， ∠DBC=∠A=36176。 ， ∴△DBC∽ △CAB ， ∴ = ， ∴BC 2=CD?AC， ∵∠C=72176。 ， ∠DBC=36176。 ， ∴∠BDC=72176。=∠C ， ∴BC=BD ， ∵AD=BD ， ∴AD=BC ， ∴AD 2=CD?AC， 即點 D是 AC的黃金分割點，正確， 故選 C． 【點評】 本題考查了相似三角形的性質和判定，等腰三角形性質，黃金分割點，線段垂直平分線性質的應用，主要考查學生的推理能力． 10．（ 2021?仙桃）如圖，在 △ABC 中， AB=AC， ∠A=120176。 ， BC=6cm， AB 的垂直平分線交 BC于點 M，交 AB于點 E， AC的垂直平分線交 BC 于點 N，交 AC于點 F，則 MN的長為（ ） A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm 【考點】 線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質． 【專題】 壓軸題． 【分析】 連接 AM、 AN、過 A作 AD⊥BC 于 D，求出 AB、 AC值，求出 BE、 CF值，求出 BM、 CN值，代入 MN=BC﹣ BM﹣ CN 求出即可． 【解答】 解： 連接 AM、 AN、過 A作 AD⊥BC 于 D， ∵ 在 △ABC 中， AB=AC， ∠A=120176。 ， BC=6cm， ∴∠B=∠C=30176。 ， BD=CD=3cm， ∴AB= =2 cm=AC， ∵AB 的垂直平分線 EM， ∴BE= AB= cm 同理 CF= cm， ∴BM= =2cm， 同理 CN=2cm， ∴MN=BC ﹣ BM﹣ CN=2cm， 故選 C． 【點評】 本題考查了線段垂直平分線性質，等腰三角形的性質，含 30 度角的直角三角形性質，解直角三角形等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力． 11．（ 2021?丹東）如圖，在 △ABC 中， AB=AC， ∠A=40176。 ， AB的垂直平分線交 AB于點 D，交AC于點 E，連接 BE，則 ∠CBE 的度數為（ ） A． 70176。 B． 80176。 C． 40176。 D． 30176。 【考點 】 線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質． 【專題】 幾何圖形問題． 【分析】 由等腰 △ABC 中， AB=AC， ∠A=40176。 ，即可求得 ∠ABC 的度數，又由線段 AB 的垂直平分線交 AB于 D，交 AC于 E，可得 AE=BE，繼而求得 ∠ABE 的度數，則可求得答案． 【解答】 解： ∵ 等腰 △ABC 中， AB=AC， ∠A=40176。 ， ∴∠ABC=∠C= =70176。 ， ∵ 線段 AB的垂直平分線交 AB 于 D，交 AC于 E， ∴AE=BE ， ∴∠ABE=∠A=40176。 ， ∴∠CBE=∠ABC ﹣ ∠ABE=30176。 ． 故選： D． 【點評】 此題考查了線段垂直平 分線的性質以及等腰三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用． 12．（ 2021?遂寧）如圖，在 △ABC 中， AC=4cm，線段 AB 的垂直平分線交 AC 于點 N， △BCN的周長是 7cm，則 BC的長為（ ） A． 1cm B． 2cm C． 3cm D． 4cm 【考點】 線段垂直平分線的性質． 【分析】 首先根據 MN是線段 AB的垂直平分線，可得 AN=BN，然后根據 △BCN 的周長是 7cm，以及 AN+NC=AC，求出 BC的長為多少即可． 【解答】 解： ∵MN 是線段 AB的垂直平分線， ∴AN=BN ， ∵△BCN 的周長是 7cm， ∴BN+NC+BC=7 （ cm）， ∴AN+NC+BC=7 （ cm）， ∵AN+NC=AC ， ∴AC+BC=7 （ cm）， 又 ∵AC=4cm ， ∴BC=7 ﹣ 4=3（ cm）． 故選： C． 【點評】 此題主要考查了線段垂直平分線的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確： ① 垂直平分線垂直且平分其所在線段． ② 垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等． ③ 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等． 13．（ 2021?張家界）如圖，在 Rt△ABC 中， ∠ACB =60176。 ， DE是斜邊 AC的中垂線，分別交 AB、AC于 D、 E兩點．若 BD=2，則 AC的長是（ ） A． 4 B． 4 C． 8 D． 8 【考點】 線段垂直平分線的性質；含 30度角的直角三角形；勾股定理． 【分析】 求出 ∠ACB ，根據線段垂直平分線求出 AD=CD，求出 ∠ACD 、 ∠DCB ，求出 CD、 AD、AB，由勾股定理求出 BC，再求出 AC 即可． 【解答】 解：如圖， ∵ 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=60176。 ， ∴∠A=30176。 ． ∵DE 垂直平分斜邊 AC， ∴AD=CD ， ∴∠A=∠ACD=30176。 ， ∴∠DCB=60176。 ﹣ 30176。=30176。 ， ∵BD=2 ， ∴CD=AD=4 ， ∴AB=2+4=6 ， 在 △BCD 中，由勾股定理得： CB=2 ， 在 △ABC 中，由勾股定理得： AC= =4 ， 故選： B． 【點評】 本題考查了線段垂直平分線，含 30度角的直角三角形，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理等知識點的應用，主要考查學生運用這些定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，難度適中． 14．（ 2021?臺灣）如圖，銳角三角形 ABC 中，直線 L為 BC的中垂線，直線 M為 ∠ABC 的角平分線， L與 M相交于 P點．若 ∠A=60176。 ， ∠ACP=24176。 ，則 ∠ABP 的度數為何？（ ） A． 24176。 B． 30176。 C． 32176。 D． 36176。 【考點】 線段垂直平分線的性質． 【分析】 根據角平分線的定義可得 ∠ABP=∠CBP ，根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得 BP=CP，再根據等邊對等角可得 ∠CBP=∠BCP ，然后利用三角形的內角和等于180176。 列出方程求解即可． 【解答】 解： ∵ 直線 M為 ∠ABC 的角平分線， ∴∠ABP=∠CBP ． ∵ 直線 L為 BC的中 垂線， ∴BP=CP ， ∴∠CBP=∠BCP ， ∴∠ABP=∠CBP=∠BCP ， 在 △ABC 中， 3∠AB P+∠A+∠ACP=180176。 ， 即 3∠ABP+60176。+24176。=180176。 ， 解得 ∠ABP=32176。 ． 故選： C． 【點評】 本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，熟記各性質并列出關于 ∠ABP 的方程是解題的關鍵． 二、填空題（共 15小題） 15．（ 2021?廣州）點 P在線段 AB的垂直平分線上， PA=7，則 PB= 7 ． 【考點】 線段垂直平分線的性質． 【分析】 根據線段垂直平分線的性質得出 PA=PB，代入即可求出答案． 【解答】 解： ∵ 點 P在線段 AB的垂直平分線 上， PA=7， ∴PB=PA=7 ， 故答案為： 7． 【點評】 本題考查了對線段垂直平分線性質的應用