【文章內(nèi)容簡介】 合我們稱之為主元，線性組合的維數(shù)稱之為主元個數(shù)。 沈陽化工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應(yīng)過程故障診斷中的應(yīng)用 7 主元分析的基本原理 前面已經(jīng)提到， PCA 的目的就是“降噪”和“去冗余”?！敖翟搿钡哪康木褪鞘贡Ａ粝聛淼木S度間的相關(guān)性盡可能小，而“去冗余”的目的就是使保留下來的維度含有的“能量”即方差盡可能大。首先，要知道各維度間的相關(guān)性以及個維度上的方差，能同時表現(xiàn)不同維度間的相關(guān)性以及各個維度上的方差的數(shù) 據(jù)結(jié)構(gòu)就是非協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣度量的是維度與維度之間的關(guān)系，而非樣本與樣本之間。協(xié)方差矩陣的主對角線上的元素是各個維度上的方差 (可以稱之為能量 )元素是兩兩維度間的協(xié)方差 (即相關(guān)性 )。通過矩陣對角化進(jìn)行降噪，消除各變量間相關(guān)性，而對角化后得到的矩陣，其對角線上是協(xié)方差矩陣的特征值，它有兩個身份：首先，它還是各個維度上的新方差；其次，它是各個維度本身應(yīng)該擁有的能量 (能量的概念伴隨特征值而來 )。通過對角化后，剩余維度間的相關(guān)性已經(jīng)減到最弱，已經(jīng)不會再受“噪聲”的影響?！敖翟搿焙箝_始“去冗余”。對角化后的協(xié)方差 矩陣，對角線上較小的新方差對應(yīng)的就是那些該去掉的維度 [12]。 現(xiàn)在只取那些含有較大能量 (特征值 )的維度，其余的就舍掉即可。 PCA 的本質(zhì)其實就是對角化協(xié)方差矩陣。 主元個數(shù)的提取 累計方差貢獻(xiàn)率法作為一種可適應(yīng)于所有的情況方法，成為確定主元個數(shù)的通用方法。主元貢獻(xiàn)率法因其簡單、直觀、方便等特點，在很多文章中得到了采用，在本文中也主要采用這種方法，用來確定主元個數(shù)。 累計方差貢獻(xiàn)率（ Cumulative Percent Variance, CPV）法是根據(jù)主元方差的累計和百分比來確定主元個數(shù)。累計 方差貢獻(xiàn)率反映了所確定的主元模型反映原數(shù)據(jù)信息的程度。由于數(shù)據(jù)矩陣主元方差等價于協(xié)方差矩陣的特征值，所以也把矩陣 X 的協(xié)方差矩陣的前 k 個特征值的和除以它的所有特征值的和稱為 X 的前k 個主元的累計貢獻(xiàn)率，它表示了前 k 個主元所解釋的數(shù)據(jù)變化占全部數(shù)據(jù)變化的比例。因此前 k個主元的累計貢獻(xiàn)率 CPV 可以表示為 [1]： 沈陽化工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應(yīng)過程故障診斷中的應(yīng)用 8 ?????niiiCPV1k1i?? () 其中 i? 為第 i 個特征值。 當(dāng) k 個主成分的累積貢獻(xiàn)率超過一定的指標(biāo)后（一般85%足夠），我們就可以認(rèn)為已求的主元個數(shù) k 可以綜合原數(shù)據(jù)足夠多的信息。 主元模型 假設(shè) X 是一個 nm? 的數(shù)據(jù)矩陣，其中的每一列對應(yīng)于一個變量，每一行對應(yīng)于一個樣本。矩陣 X 可以分解為 n 個向量的外積之和，即 1 1 2 2 nnX t p t p t p? ? ?? ? ? () 在式 ()中， mi Rt? 被稱為得分 (score)向量， ni Rp? 稱為負(fù)荷 (Loading)向量。 X 的得分向量也叫做 X 的主元。式 ()也可寫為下列矩陣形式： X TP?? () 其中 ? ?12, , , mt t t?? 稱為得分矩陣， ? ?np,p,pP ?21? 稱為負(fù)荷矩陣。 各個得分 向量之間是正交的，即對任何 i 和 j ，當(dāng) ij? 時，滿足 0ijtt? ? 。各個負(fù)荷向量之間也是互相正交的，同時每個負(fù)荷向量的長度都為 1，即 0?jTi pp ji? () 1?jTi pp ji? () 當(dāng)矩陣 X 中的變量間存在一定程度的線性相關(guān)時，數(shù)據(jù) X 的變化將主要體現(xiàn)在最前面的幾個負(fù)荷向量方向上，數(shù)據(jù)矩陣 X 在最后面的幾個負(fù)荷向量上的投影將會很小，它們主要是由于測量噪聲引起的。這樣就可以將矩陣 X 進(jìn)行主元分解后寫成下式 [3]： 1 1 2 2 kkX t p t p t p E? ? ?? ? ? ? ? () 式中 E 為誤差矩陣，代表 X 在 1?ap 到 np 等負(fù)荷向量方向上的變化。 所謂的主元模型，指的是對來自正常穩(wěn)態(tài)工況下的訓(xùn)練集進(jìn)行主元分析后得到的一系列統(tǒng)計信息，主要包括：變量均值向量、變量方差矩陣 ?D 、協(xié)方差矩陣? 、主元方差矩陣 ?D 、負(fù)荷矩陣 P 以及主元數(shù) k 等。將反映過程正常運行的歷史沈陽化工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應(yīng)過程故障診斷中的應(yīng)用 9 數(shù)據(jù)收集起來，對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行主元分析，建立主元模型。由于主元分析的結(jié)果受數(shù)據(jù)尺度的影響，因此在進(jìn)行主元分析時，需要先將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，即將每個變量的均值減掉然 后除以它的標(biāo)準(zhǔn)差。即 [6]： ，ｎ???? ,2,1,))(( )( 2/1* iXV a r XEXX i iii () 這樣原數(shù)據(jù)集就變換為均值為 0, 方差為 1的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集。 對標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)進(jìn)行主元分析，如果只取前 k 個主元，那么可以得到下面的主元模型 [14]： 1 1 2 2 k k pX t p t p t p E X E? ? ?? ? ? ? ? ? ? () 式中 1 1 2 2p k kX t p t p t p? ? ?? ? ? ? () 1ATTA A i iiX T P t p???? () 原測量數(shù)據(jù)集可表示為 X X E?? () 從式 () 可以看出原正常工況下的歷史數(shù)據(jù)集可分解為兩部分 , 即一部分信息投影到主元子空間中 , 另一部分則投影到殘差子空間。這樣 , 如果原系統(tǒng)中存在著大量的冗余 , 那么利用 A 個方向向量確定的子空間 , 即 PCA 空間 , 就能對系統(tǒng)進(jìn)行很好的描述 , 而 PCA 子空間代表 X的特征空間 , X 是 X 很好的估計。 基于 MPCA 的故障檢測方法 MPCA 理論 MPCA 是主元分析法（ PCA）在三維數(shù)據(jù)陣的擴(kuò)展上的應(yīng)用 [1]。對于間歇反應(yīng)過程來說，其數(shù)據(jù)樣本通?？梢钥醋鳛橐粋€三維的立體數(shù)據(jù)塊 , 節(jié)中介紹的主元分析法（ PCA）只能用來處理二維數(shù)據(jù)，而處理一個這樣的三維立體數(shù)據(jù)塊，一個有效的想法就是對其進(jìn)行重新排列。 MPCA 的基本思想是將一個三維的立體數(shù)據(jù)塊X 沿著時間軸方向進(jìn)行切分，然后將切分得到的數(shù)據(jù)時間片依次向右水平排 列，如此構(gòu)成了一個新的二維數(shù)據(jù)陣，然后使用主元分析方法進(jìn)行分析 [6]。 不同于連續(xù)生沈陽化工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應(yīng)過程故障診斷中的應(yīng)用 10 產(chǎn)過程，間歇過程的歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)以批次為單位構(gòu)成三維數(shù)據(jù)矩陣，批次 (I)? 變量 (J)? 時間 (K)，如圖 [8]。 圖 MPCA 數(shù)據(jù)矩陣沿時間軸分解圖 如圖 所示 ,每一時間點上都是二維數(shù)據(jù) ,如果大量采集正常批次的數(shù)據(jù)樣本 ,那么它們代表了在不同的時間序列中不同的批次的相同變量的統(tǒng)計特性。通常統(tǒng)計控制指標(biāo)有以下 3 種 ,它包括預(yù) Q 統(tǒng)計量 ,得分 Score 和 HotellingT2統(tǒng)計量。 基于 MPCA故障檢測的統(tǒng)計量及其控制限 故障檢測是多元統(tǒng)計過程監(jiān)控的第一步，通常用 2T 統(tǒng)計量和 Q 統(tǒng)計量以及得分 Score 來進(jìn)行故障檢測 [1]。 (1)Score imi iji xp??? 1t () (2)Q 統(tǒng)計量（預(yù)測誤差平方和 SPE） Q 統(tǒng)計量衡量樣本向量在殘差空間投影的變化， Q 統(tǒng)計量通常也稱為 SPE 統(tǒng)計量，其計算式為 ? ? xPPIxPPIQ TTT )()( ??? () Q 統(tǒng)計量的閾值計算式可以近似為 X(1) X(2) X(3) X(K) 變量 (J) 1 J 2J KJ 時間 (K) 批次 (I) 沈陽化工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應(yīng)過程故障診斷中的應(yīng)用 11 220 02 1/2 2 0 01 211( 1 )1)ch hhh? ????? ?? ?? ? ?（ () 其中， 20 1 11 ( 1 , 2 , 3 ) , 1 2 3 / 3m iijjA ih? ? ? ? ???? ? ? ??， ? 為 X 的協(xié)方差矩陣 ? 的特征值， A為 PCA 模型的主元個數(shù)， m為樣本的維數(shù)。 統(tǒng)計量 SPE 在第 i 時刻的值 ie 是一個標(biāo)量 ,它刻畫了此時刻測量值 XI 對主元模型的偏離程度 ,由于由多個變量的綜合作用而成 ,因而 SPE 圖可以同時對多變量工況進(jìn)行監(jiān)控 [6]。 (3)Hotelling 的 2T 統(tǒng)計量 [7] Hotelling 的 2T 統(tǒng)計量由下式給出： 2 1 2x TTT P P x T??? ? ? () 其中 ? ?1 , Adiag ???? ，表示置信度為 ? 的控制限。假設(shè)過程正常運行時的樣本服從多元正態(tài)分布，那么可以按下式計算控制限 : ?? 。,22)( )1n( AnAFAnnAT ???? () 其中 ,。An AF ?? 是指自由度帶為 A 和 nA 的 F 分布 的置信水平為 1? 的分位點。 分值向量 Score、 Q 統(tǒng)計量、 2T 統(tǒng)計量均可以對過程中的故障進(jìn)行檢測。當(dāng) Q統(tǒng)計量 (即 SPE)發(fā)生較大變化時，說明 MPCA 統(tǒng)計模型所代表的正常工況下的變量關(guān)系被破壞，即該過程有故障發(fā)生；當(dāng) 2T 統(tǒng)計量發(fā)生較大變化而 Q 統(tǒng)計量相對變化不明顯時，說明變量間的關(guān)系基本滿足，但過程工況發(fā)生了變換，即該過程有故障發(fā)生。 基于 MPCA的故障診斷方法 將采樣信息的分 值向量 Score、預(yù)測誤差 SPE、 Hotelling 2T 與正常工況下建立的統(tǒng)計數(shù)學(xué)模型比較 ,判斷其是否在置信區(qū)間或控制限內(nèi) ,是則為正常 ,否則為有故障存在 [14]；在各自的時間序列上建立統(tǒng)計模型 ,將新批次的數(shù)據(jù)向模型空間投影 ,通過判斷與模型的擬和程度即可以診斷出反應(yīng)過程是否有故障發(fā)生 [1]。由 可以看出， MPCA 將每一批完整的數(shù)據(jù)看作間歇處理過程的一次采樣，多批數(shù)據(jù)構(gòu)成沈陽化工大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 第 二 章 MPCA 在間歇反應(yīng)過程故障診斷中的應(yīng)用 12 樣本集合 ,并在此樣本集合上進(jìn)行 PCA 分析。以上特點決定了 MPCA 在應(yīng)用于實際監(jiān)控 時會出現(xiàn)采樣數(shù)據(jù)不完善的問題；因為在批處理進(jìn)行過程中，只有當(dāng)前時刻及以前的數(shù)據(jù)是已知的，這些數(shù)據(jù)不足以構(gòu)成對間歇過程的一次完整采樣。Nomikos 提出了解決該問題的數(shù)種方法，基本思想均是設(shè)法預(yù)測過程變量的未來輸出。常用的方法包括： 1) 補充數(shù)據(jù)為全 0，即認(rèn)為以后的數(shù)據(jù)不偏離平均軌跡，這種方法的缺點是對故障不夠敏感，將延遲發(fā)現(xiàn)故障的時間。 2) 補充數(shù)據(jù)為當(dāng)前歸一化采樣值，即認(rèn)為以后的數(shù)據(jù)偏離平均軌跡的程度和當(dāng)前時刻相同，這種方法的缺點是對故障會過于敏感，增加誤報的概率。 本章小結(jié) 本章的內(nèi)容主 要包括兩大部分，第一部分是對 PCA 方法的基本介紹；第二部分 介紹了 MPCA 理論，并對該理論進(jìn)行了一定的分析，以及 MPCA 方法在 故障診斷的應(yīng)用。 在第 一部分中，簡單介紹了主元分析方法的意義、基本原理以及主元個數(shù)的提取方法。在第二部分內(nèi)容中，介紹了基于 MPCA 進(jìn)行故障診斷的基本方法，建立統(tǒng)計模型，計算統(tǒng)計量以及控制限的方法。