【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 換只在頻域中具有較好的局部化能力，而小波變換在時(shí)頻域同時(shí)具有較好的局部化能力。在小波分析中，尺度 a 越大相當(dāng)于傅立葉變換中的 w 的值越小。(2)小波變換與短時(shí)傅立葉變換的比較：在短時(shí)傅立葉變換中，窗函數(shù)一旦確定，無(wú)論 w 的值再如何變化，窗寬都是相同的，其分辨率也固定不變了。而在小波變換中， 具有適應(yīng)頻率變??,abt?化的可變窗寬。高頻時(shí)時(shí)窗較窄，頻窗較寬；低頻時(shí)時(shí)窗較寬，頻窗較窄，所以小波變換具有時(shí)頻局部化能力。 若用信號(hào)通過(guò)濾波器來(lái)解釋，二者的區(qū)別在于：對(duì)短時(shí)傅立葉變換來(lái)說(shuō)，帶通濾波器的帶寬△w 與中心頻率 a 無(wú)關(guān)；而對(duì)于小波變換來(lái)說(shuō)，帶通濾波器的帶寬△w 則正比于中心頻率 w，即 c 為常數(shù) ()wQ??也就是說(shuō)，濾波器有一個(gè)恒定的相對(duì)帶寬，稱之為等 Q 結(jié)構(gòu)（Q 為濾波器的品質(zhì)因數(shù)） 。 多分辨分析 多分辨分析( MuftiResolution Analysis)，又稱多尺度分析(MultiScale Analysis)，其定義為空間 L2(R)中滿足一致單調(diào)性、漸近完全性（逼近性） 、伸縮規(guī)則性、平移不變性、Riesz 基存在性和類似性時(shí)的一系列閉子空間。小波的多分辨分析保證了其在故障診斷中所提取到的信號(hào)的獨(dú)立性，也使信號(hào)在分析時(shí)無(wú)冗余、無(wú)疏漏，這樣分解后的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的相互獨(dú)立性就能夠得到保證，而且即使進(jìn)行多次分解也依然可以保持獨(dú)立。小波的多分辨分析是通過(guò) Mallat 算法實(shí)現(xiàn)的，Mallat 算法在小波分析中的地位與 FFT 在經(jīng)典傅立葉變換中的地位相當(dāng)。多分辨率分析的基本思想是把信號(hào)投影到一組互相正交的由小波函數(shù)所構(gòu)成的子空間上，從而形成了信號(hào)在不同尺度上的展開(kāi)，在提取信號(hào)不同頻帶上的特征的同時(shí)保留了信號(hào)在各尺度上的時(shí)域特征。雖然多分辨率分析是一種有效的時(shí)頻分析方法，但它每次只對(duì)信號(hào)的低頻部分進(jìn)行分解，高頻部分保留不動(dòng)，而且由于其尺度是按二進(jìn)制變化的，所以在高頻段其頻率分辨率較差，而在低頻段其時(shí)間分辨率較差。小波包分析( Wavelet Packet Analysis)是多分辨分析的推廣，對(duì)信號(hào)進(jìn)行更加精細(xì)的分析。它將頻帶進(jìn)行多層次劃分，在繼承了小波變換所具有的良好的時(shí)頻局部化優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，對(duì)多分辨分析沒(méi)有細(xì)分的高頻部分進(jìn)行進(jìn)一步的分解，從而具有更好的時(shí)頻特性。關(guān)于小波分析和小波包分析的理解，我們?cè)谶@里以一個(gè)三層的小波分解進(jìn)行說(shuō)明，其小波分解樹(shù)和小波包分解樹(shù)分別如圖 和圖 所示： 圖 信號(hào)的小波分解 圖 信號(hào)的小波包分解在圖 中，A 表示低頻，D 表示高頻，末尾的下標(biāo)序號(hào)表示小波和小波包分解的層數(shù)（即尺度數(shù)） 。從圖中可以明顯的看出，小波分解只是對(duì)上次分解的低頻部分進(jìn)行再分解，而小波包分解則是對(duì)低頻和高頻兩部分都進(jìn)行再分解。由于是正交分解，每一個(gè)分解頻帶分解后的兩個(gè)頻帶都不相互交疊，所以對(duì)圖 中的三層小波分解的關(guān)系為： S=A3+D3+D2+Dl ()對(duì)圖 中的三層小波包分解的關(guān)系為：S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3 ()在理論上，圖 和圖 中的分解都可以無(wú)限地進(jìn)行下去，直到最底層的細(xì)節(jié)中只有一個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)為止。但是在實(shí)際應(yīng)用中，都是根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)和實(shí)際的需要來(lái)決定分解的層數(shù)的。對(duì)信號(hào)進(jìn)行多分辨率分析的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近 L2 空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于不同帶寬的帶通濾波器。 常用小波介紹由于小波函數(shù)具有不唯一性，而且選用不同的小波基分析同一問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果，所以小波函數(shù)的選擇十分重要。目前主要是通過(guò)用小波分析方法處理信號(hào)的結(jié)果與理論結(jié)果的誤差來(lái)判定小波基的好壞，并由此選定小波基。因此，了解小波函數(shù)（系）的一些基本性質(zhì)，對(duì)正確選擇小波基是十分有利的。下面列出幾種常用的小波函數(shù)（系）及其性質(zhì)。為了便于更好地理解，先介紹幾個(gè)定義。 定義： 設(shè) f (t)為在 R 上定義的函數(shù)，我們稱集合 為函數(shù)，(t)的支集{()0}tf?(即， 的點(diǎn)所構(gòu)成的集合的閉包)。0t? 定義 2:具有緊支集的函數(shù)就是在有限區(qū)間外恒等于零的函數(shù)。Haar 小波函數(shù)Haar 函數(shù)是一組相互正交歸一的函數(shù)集，是小波分析中最早用到的也是最簡(jiǎn)單的一個(gè)具有緊支的正交小波函數(shù)，其定義為： ()102()tt????????????其 它Haar 小波是一個(gè)最簡(jiǎn)單的二進(jìn)小波函數(shù)，它的時(shí)域不連續(xù)，其形狀如圖24 所示。 Haa,小波的主要特性有：計(jì)算簡(jiǎn)單，具有正交性、雙正交性和緊支集，該小波可以進(jìn)行連續(xù)小波變換、離散小被變換，它還具有對(duì)稱性，其支集寬度為l。 圖 Haar 小波 Mexican Hat 小波該小波又叫 Marr 小波，因?yàn)樗男螤钕衲鞲缑钡慕孛?，所以這個(gè)函數(shù)也叫做墨西哥帽函數(shù)，波形見(jiàn)圖 。它是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（加負(fù)號(hào)） 。其形式為： ()2142()(t)3tte?????第三章 用于機(jī)械診斷的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)介小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是小波分析與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的產(chǎn)物。小波分析(waveletsAnalysis)是 80 年代中期發(fā)展起來(lái)的一門新技術(shù)，它被公認(rèn)為是傅立葉發(fā)展史上的一個(gè)新的里程碑。小波變換具有良好的時(shí)頻局部特性和變焦特性，而且其時(shí)頻窗自適應(yīng)可調(diào)，已經(jīng)成功地應(yīng)用于逼近論，微分方程，分形識(shí)別，計(jì)算機(jī)視覺(jué)，非線性科學(xué)等方面。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是在現(xiàn)代神經(jīng)學(xué)的研究成果的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種模仿人腦信息處理機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，它具有自組織、自學(xué)習(xí)和極強(qiáng)的非線性能力等，能夠完成學(xué)習(xí)，記憶，識(shí)別和推理等功能。如何把二者的優(yōu)勢(shì)結(jié)合起來(lái)一直是人們所關(guān)心的問(wèn)題。目前主要有兩種結(jié)合方式：一種是“松散型” ，即先用小波分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，然后再送入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理；另一種是“緊支型” ，即所謂的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(wavelet neural work)或小波網(wǎng)絡(luò)，它是結(jié)合小波變換理論與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的思想而構(gòu)造的一種新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。其方法是將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層中神經(jīng)元的傳統(tǒng)激發(fā)函數(shù)（S 函數(shù)）用小波函數(shù)來(lái)代替，充分繼承了小波變換良好的時(shí)頻局部化性質(zhì)及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)功能的優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)開(kāi)始有效的應(yīng)用于信號(hào)處理、數(shù)據(jù)壓縮、模式識(shí)別和故障診斷等領(lǐng)域。因?yàn)椤熬o支型’小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更好的數(shù)據(jù)處理能力，是小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究的主要方向，所以本論文主要討論該類小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)由于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，所以下面介紹一下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)內(nèi)容。 1 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Network，簡(jiǎn)稱 A．N．M)又稱為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(NeuralNetwork)，是在充分地認(rèn)識(shí)和理解人腦的組織結(jié)構(gòu)和運(yùn)行機(jī)制的基礎(chǔ)之上對(duì)人腦進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，并模擬人腦的結(jié)構(gòu)和智能行為的一種工程系統(tǒng)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由大量的神經(jīng)元廣泛連接而構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，具有很強(qiáng)的知識(shí)獲取能力、聯(lián)想記憶能力、自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)能力和知識(shí)表示分布性、推理過(guò)程并行性及良好的信息保持性等特點(diǎn)。我們可以簡(jiǎn)單地認(rèn)為，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)可以用電子線路來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可以用計(jì)算機(jī)程序來(lái)模擬的數(shù)學(xué)模型，是人工智能研究的一種方法。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與人腦的相似之處可以概括為以下兩個(gè)方面：一是學(xué)習(xí)過(guò)程，即利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從外部環(huán)境中通過(guò)學(xué)習(xí)來(lái)獲取知識(shí)；二是存儲(chǔ)過(guò)程，即利用內(nèi)部神經(jīng)元（突觸權(quán)值）存儲(chǔ)獲取的知識(shí)信息。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)有限次迭代，就能夠獲得一個(gè)反映試驗(yàn)數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律性的參數(shù)組，尤其是對(duì)于參數(shù)眾多，規(guī)律性不明顯的生產(chǎn)過(guò)程，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更能發(fā)揮其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。目前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)在信號(hào)處理、模式識(shí)別、目標(biāo)跟蹤、控制領(lǐng)域、病理學(xué)、農(nóng)業(yè)工程等眾多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。目前已經(jīng)提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型多達(dá)上百種，在信號(hào)分析和模式識(shí)別領(lǐng)域，應(yīng)用最多的有多層感知器(BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))、Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、徑向基函數(shù)(RBF)網(wǎng)絡(luò)、自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和概率神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)(1)神經(jīng)元模型人工神經(jīng)元模型是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本處理單元，它是對(duì)生物神經(jīng)元的抽象和模擬。生物神經(jīng)元由樹(shù)突、細(xì)胞體和軸突三部分組成。樹(shù)突是細(xì)胞的輸入端，通過(guò)細(xì)胞體間連接 的節(jié)點(diǎn)“突觸”接受四周細(xì)胞傳出的神經(jīng)沖動(dòng)；而軸突相當(dāng)于細(xì)胞的輸出端，其端部的眾多神經(jīng)末梢為信號(hào)的輸出端子，用于傳出神經(jīng)沖動(dòng)。人工神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)和原理與其類似，它是一個(gè)多輸入單輸出的非線性閩值元件，其模型結(jié)構(gòu)如圖 所示。圖 人工神經(jīng)元模型其中，X1 X2，…而表示某一神經(jīng)元的 n 個(gè)輸入，Wf 的值叫做權(quán)值，表示第 j 個(gè)神經(jīng)元與第 i 個(gè)神經(jīng)元的突觸連接強(qiáng)度，其值可以是正，也可以是負(fù)，分別表示為興奮性突觸和抑制性突觸。Ai 表示第 i 個(gè)神經(jīng)元的輸入總和，Yi 表示第 i 個(gè)神經(jīng)元的輸出，h 表示神經(jīng)元的閾值，則人工神經(jīng)元的數(shù)學(xué)模型為 ()式中朋 f(A)是表示神經(jīng)元輸入一輸出關(guān)系的函數(shù)，稱為作用函數(shù)、傳遞函數(shù)或激發(fā)函數(shù)。常用的激發(fā)函數(shù)有：閾值函數(shù)，限幅線性函數(shù)，Sigmoid 函數(shù)，高斯型函數(shù)，概率神經(jīng)元模型等。 常見(jiàn)的激發(fā)函數(shù)的圖形有以下幾種，如圖 所示。(2)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由大量神經(jīng)元相互連接而構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)其連接方式的不同，通常將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)分為層狀結(jié)構(gòu)和網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)這兩大類。層狀結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一般包含輸入層、輸出層和隱含層，每一層都包括一定數(shù)量的神經(jīng)元，各層中神經(jīng)元的個(gè)數(shù)可以各不相同。層狀結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)是在相鄰層中神經(jīng)元單元單向連接，而同層內(nèi)的神經(jīng)元之間不相互連接。根據(jù)層與層之間有無(wú)反饋連接，層狀結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)又進(jìn)一步分為“前饋網(wǎng)絡(luò)”與“反饋網(wǎng)絡(luò)”兩種類型。前饋網(wǎng)絡(luò)又稱為前向網(wǎng)絡(luò)，BP 網(wǎng)絡(luò)就屬于典型的前饋網(wǎng)絡(luò)。其結(jié)構(gòu)圖如圖 所示： 圖 前饋網(wǎng)絡(luò)圖 為一個(gè)反饋網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。Hopfield 網(wǎng)絡(luò)就是一種最典型的反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它簡(jiǎn)單而且應(yīng)用廣泛，具有聯(lián)想記憶的功能。 圖 反饋網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)又稱為互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，其特點(diǎn)是任何兩個(gè)神經(jīng)元之間都可能存在雙向的連接關(guān)系，所有的神經(jīng)元既作為輸入節(jié)點(diǎn)，又作為輸出節(jié)點(diǎn)。輸入信號(hào)要在所有神經(jīng)兀之；H 反復(fù)傳遞，從某一初始狀態(tài)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)若干次的變化，直到收斂于某一穩(wěn)定狀態(tài)或進(jìn)入周期振蕩等狀態(tài)為止。隨著神經(jīng)元數(shù)目的增加，網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)也迅速?gòu)?fù)雜化，其網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算量也大大增加，因此網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在實(shí)際工程中應(yīng)用不多。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)因?yàn)槿斯ど窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬了生物神經(jīng)系統(tǒng)，因此具有大腦的一些基本特征，例如，就像人們可以不斷地摸索規(guī)律、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)一樣，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠通過(guò)相應(yīng)的學(xué)習(xí)算法進(jìn)行訓(xùn)練，將蘊(yùn)含在一個(gè)較大數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)聯(lián)系的規(guī)律性抽象出來(lái)，從先前得到的例子中按照要求產(chǎn)生出新的實(shí)例，在一定程度上實(shí)現(xiàn)了“舉一反三”的功能。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的主要特點(diǎn)如下：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在應(yīng)用中已經(jīng)表現(xiàn)了如下有用的特征及能力：(1)非線性映射能力 一個(gè)神經(jīng)元從根本上來(lái)說(shuō)就是一個(gè)非線性元件，因此，由這些神經(jīng)元互相連接組成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也是非線性的，而且這種非線性是分布在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，可以解決許多非線性問(wèn)題。通過(guò)學(xué)習(xí)，輸入與輸出的映射關(guān)系就可以使實(shí)際輸出與期望輸出之間的誤差達(dá)到滿意的程度。(2)并行分布性處理能力 傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)是以串行的方式來(lái)處理信息的，這樣，處理速度再快，處理的信息也是有限的，而人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)信息的處理卻是并行計(jì)算的。因?yàn)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)中的神經(jīng)元之間有著大量的相互連接，這樣信息輸入之后信號(hào)就可以同時(shí)到達(dá)一批神經(jīng)元的輸入端并進(jìn)行同時(shí)（并行）處理，這樣就避免了以往的“匹配沖突” ， “組合爆炸”和“無(wú)窮遞歸”等難題，推理速度非?？?。(3)學(xué)習(xí)能力 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以根據(jù)所在環(huán)境去改變它的行為。也就是說(shuō)，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以接受用戶提交的樣本集合，依照系統(tǒng)給定的算法，或者利用樣本指導(dǎo)系統(tǒng)來(lái)模擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境（稱為有教師學(xué)習(xí)） ，或者對(duì)輸入進(jìn)行自適應(yīng)學(xué)習(xí)（稱為無(wú)教師學(xué)習(xí)） ，不斷地修正用來(lái)確定系統(tǒng)行為的神經(jīng)元之間的連接強(qiáng)度，從而不斷地自動(dòng)學(xué)習(xí)，完善知識(shí)的存儲(chǔ)。(4)魯棒性 信息的分布存放給人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供了另一種特殊的功能。由于信息被分布存放在網(wǎng)絡(luò)中，所以，當(dāng)少量的神經(jīng)元受到損壞或者輸入的信息不完整或者受到噪聲干擾時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的整體功能不會(huì)受到嚴(yán)重的影響，這說(shuō)明人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好的性能，具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和魯棒性。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)卓越的信息處理能力主要是通過(guò)學(xué)習(xí)來(lái)獲得的。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)也叫做訓(xùn)練，其學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是調(diào)整各神經(jīng)元之間的連接權(quán)值，而如何調(diào)整連接權(quán)值就構(gòu)成了不同的學(xué)習(xí)算法。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本的學(xué)習(xí)規(guī)則有以下幾種：（1）誤差糾正學(xué)習(xí)規(guī)則誤差糾正學(xué)習(xí)的最終目的是使某一目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小，以使網(wǎng)絡(luò)中每一輸出單元的實(shí)際輸出在某種統(tǒng)計(jì)意義上最逼近于應(yīng)有輸出。一旦選定了目標(biāo)函數(shù)的形式，誤差糾正學(xué)習(xí)就成為一個(gè)典型的最優(yōu)化問(wèn)題。當(dāng)單元的激活函數(shù)為線性函數(shù)時(shí)，此規(guī)則與自適應(yīng)濾波器中的 Widrow Hoff 學(xué)習(xí)規(guī)則一致。在自適應(yīng)濾波理論中對(duì)這種學(xué)習(xí)的收斂性及其統(tǒng)計(jì)特性有較深入的分析。(2) Hebb 學(xué)習(xí)規(guī)則 Hebb 學(xué)習(xí)規(guī)則可