【文章內容簡介】 換只在頻域中具有較好的局部化能力，而小波變換在時頻域同時具有較好的局部化能力。在小波分析中，尺度 a 越大相當于傅立葉變換中的 w 的值越小。(2)小波變換與短時傅立葉變換的比較：在短時傅立葉變換中，窗函數一旦確定，無論 w 的值再如何變化，窗寬都是相同的，其分辨率也固定不變了。而在小波變換中， 具有適應頻率變??,abt?化的可變窗寬。高頻時時窗較窄，頻窗較寬；低頻時時窗較寬，頻窗較窄，所以小波變換具有時頻局部化能力。 若用信號通過濾波器來解釋，二者的區(qū)別在于：對短時傅立葉變換來說，帶通濾波器的帶寬△w 與中心頻率 a 無關；而對于小波變換來說，帶通濾波器的帶寬△w 則正比于中心頻率 w，即 c 為常數 ()wQ??也就是說，濾波器有一個恒定的相對帶寬，稱之為等 Q 結構（Q 為濾波器的品質因數） 。 多分辨分析 多分辨分析( MuftiResolution Analysis)，又稱多尺度分析(MultiScale Analysis)，其定義為空間 L2(R)中滿足一致單調性、漸近完全性（逼近性） 、伸縮規(guī)則性、平移不變性、Riesz 基存在性和類似性時的一系列閉子空間。小波的多分辨分析保證了其在故障診斷中所提取到的信號的獨立性，也使信號在分析時無冗余、無疏漏，這樣分解后的逼近信號和細節(jié)信號的相互獨立性就能夠得到保證，而且即使進行多次分解也依然可以保持獨立。小波的多分辨分析是通過 Mallat 算法實現的，Mallat 算法在小波分析中的地位與 FFT 在經典傅立葉變換中的地位相當。多分辨率分析的基本思想是把信號投影到一組互相正交的由小波函數所構成的子空間上，從而形成了信號在不同尺度上的展開，在提取信號不同頻帶上的特征的同時保留了信號在各尺度上的時域特征。雖然多分辨率分析是一種有效的時頻分析方法，但它每次只對信號的低頻部分進行分解，高頻部分保留不動，而且由于其尺度是按二進制變化的，所以在高頻段其頻率分辨率較差，而在低頻段其時間分辨率較差。小波包分析( Wavelet Packet Analysis)是多分辨分析的推廣，對信號進行更加精細的分析。它將頻帶進行多層次劃分，在繼承了小波變換所具有的良好的時頻局部化優(yōu)點的同時，對多分辨分析沒有細分的高頻部分進行進一步的分解，從而具有更好的時頻特性。關于小波分析和小波包分析的理解，我們在這里以一個三層的小波分解進行說明，其小波分解樹和小波包分解樹分別如圖 和圖 所示： 圖 信號的小波分解 圖 信號的小波包分解在圖 中，A 表示低頻，D 表示高頻，末尾的下標序號表示小波和小波包分解的層數（即尺度數） 。從圖中可以明顯的看出，小波分解只是對上次分解的低頻部分進行再分解，而小波包分解則是對低頻和高頻兩部分都進行再分解。由于是正交分解，每一個分解頻帶分解后的兩個頻帶都不相互交疊，所以對圖 中的三層小波分解的關系為： S=A3+D3+D2+Dl ()對圖 中的三層小波包分解的關系為：S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3 ()在理論上，圖 和圖 中的分解都可以無限地進行下去，直到最底層的細節(jié)中只有一個點的數據為止。但是在實際應用中，都是根據信號的特點和實際的需要來決定分解的層數的。對信號進行多分辨率分析的最終目的是力求構造一個在頻率上高度逼近 L2 空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于不同帶寬的帶通濾波器。 常用小波介紹由于小波函數具有不唯一性，而且選用不同的小波基分析同一問題會產生不同的結果，所以小波函數的選擇十分重要。目前主要是通過用小波分析方法處理信號的結果與理論結果的誤差來判定小波基的好壞，并由此選定小波基。因此，了解小波函數（系）的一些基本性質，對正確選擇小波基是十分有利的。下面列出幾種常用的小波函數（系）及其性質。為了便于更好地理解，先介紹幾個定義。 定義： 設 f (t)為在 R 上定義的函數，我們稱集合 為函數，(t)的支集{()0}tf?(即， 的點所構成的集合的閉包)。0t? 定義 2:具有緊支集的函數就是在有限區(qū)間外恒等于零的函數。Haar 小波函數Haar 函數是一組相互正交歸一的函數集，是小波分析中最早用到的也是最簡單的一個具有緊支的正交小波函數，其定義為： ()102()tt????????????其 它Haar 小波是一個最簡單的二進小波函數，它的時域不連續(xù)，其形狀如圖24 所示。 Haa,小波的主要特性有：計算簡單，具有正交性、雙正交性和緊支集，該小波可以進行連續(xù)小波變換、離散小被變換，它還具有對稱性，其支集寬度為l。 圖 Haar 小波 Mexican Hat 小波該小波又叫 Marr 小波，因為它的形狀像墨西哥帽的截面，所以這個函數也叫做墨西哥帽函數，波形見圖 。它是高斯函數的二階導數（加負號） 。其形式為： ()2142()(t)3tte?????第三章 用于機械診斷的小波神經網絡的構造 小波神經網絡簡介小波神經網絡是小波分析與神經網絡相結合的產物。小波分析(waveletsAnalysis)是 80 年代中期發(fā)展起來的一門新技術，它被公認為是傅立葉發(fā)展史上的一個新的里程碑。小波變換具有良好的時頻局部特性和變焦特性，而且其時頻窗自適應可調，已經成功地應用于逼近論，微分方程，分形識別，計算機視覺，非線性科學等方面。神經網絡是在現代神經學的研究成果的基礎上發(fā)展起來的一種模仿人腦信息處理機制的網絡系統(tǒng)，它具有自組織、自學習和極強的非線性能力等，能夠完成學習，記憶，識別和推理等功能。如何把二者的優(yōu)勢結合起來一直是人們所關心的問題。目前主要有兩種結合方式：一種是“松散型” ，即先用小波分析對信號進行預處理，然后再送入神經網絡處理；另一種是“緊支型” ，即所謂的小波神經網絡(wavelet neural work)或小波網絡，它是結合小波變換理論與人工神經網絡的思想而構造的一種新的神經網絡模型。其方法是將神經網絡隱含層中神經元的傳統(tǒng)激發(fā)函數（S 函數）用小波函數來代替，充分繼承了小波變換良好的時頻局部化性質及神經網絡的自學習功能的優(yōu)點，已經開始有效的應用于信號處理、數據壓縮、模式識別和故障診斷等領域。因為“緊支型’小波神經網絡具有更好的數據處理能力，是小波神經網絡研究的主要方向，所以本論文主要討論該類小波神經網絡。 小波神經網絡基礎由于小波神經網絡是在神經網絡的基礎上發(fā)展起來的，所以下面介紹一下神經網絡的相關內容。 1 人工神經網絡 人工神經網絡(Artificial Neural Network，簡稱 A．N．M)又稱為神經網絡(NeuralNetwork)，是在充分地認識和理解人腦的組織結構和運行機制的基礎之上對人腦進行抽象和簡化，并模擬人腦的結構和智能行為的一種工程系統(tǒng)。神經網絡是由大量的神經元廣泛連接而構成的復雜網絡，具有很強的知識獲取能力、聯(lián)想記憶能力、自學習、自適應能力和知識表示分布性、推理過程并行性及良好的信息保持性等特點。我們可以簡單地認為，神經網絡是一個可以用電子線路來實現，也可以用計算機程序來模擬的數學模型，是人工智能研究的一種方法。人工神經網絡與人腦的相似之處可以概括為以下兩個方面：一是學習過程，即利用神經網絡從外部環(huán)境中通過學習來獲取知識；二是存儲過程，即利用內部神經元（突觸權值）存儲獲取的知識信息。人工神經網絡以實驗數據為基礎，經過有限次迭代，就能夠獲得一個反映試驗數據內在規(guī)律性的參數組，尤其是對于參數眾多，規(guī)律性不明顯的生產過程，神經網絡更能發(fā)揮其獨特的優(yōu)勢。目前，神經網絡已經在信號處理、模式識別、目標跟蹤、控制領域、病理學、農業(yè)工程等眾多領域都得到了廣泛的應用。目前已經提出的神經網絡模型多達上百種，在信號分析和模式識別領域，應用最多的有多層感知器(BP 神經網絡)、Hopfield 神經網絡、徑向基函數(RBF)網絡、自組織神經網絡和概率神經網絡等。人工神經網絡的結構(1)神經元模型人工神經元模型是神經網絡的基本處理單元，它是對生物神經元的抽象和模擬。生物神經元由樹突、細胞體和軸突三部分組成。樹突是細胞的輸入端，通過細胞體間連接 的節(jié)點“突觸”接受四周細胞傳出的神經沖動；而軸突相當于細胞的輸出端，其端部的眾多神經末梢為信號的輸出端子，用于傳出神經沖動。人工神經元的結構和原理與其類似，它是一個多輸入單輸出的非線性閩值元件，其模型結構如圖 所示。圖 人工神經元模型其中，X1 X2，…而表示某一神經元的 n 個輸入，Wf 的值叫做權值，表示第 j 個神經元與第 i 個神經元的突觸連接強度，其值可以是正，也可以是負，分別表示為興奮性突觸和抑制性突觸。Ai 表示第 i 個神經元的輸入總和，Yi 表示第 i 個神經元的輸出，h 表示神經元的閾值，則人工神經元的數學模型為 ()式中朋 f(A)是表示神經元輸入一輸出關系的函數，稱為作用函數、傳遞函數或激發(fā)函數。常用的激發(fā)函數有：閾值函數，限幅線性函數，Sigmoid 函數，高斯型函數，概率神經元模型等。 常見的激發(fā)函數的圖形有以下幾種，如圖 所示。(2)神經網絡結構神經網絡是由大量神經元相互連接而構成的網絡。根據其連接方式的不同，通常將神經網絡的結構分為層狀結構和網狀結構這兩大類。層狀結構的神經網絡一般包含輸入層、輸出層和隱含層，每一層都包括一定數量的神經元，各層中神經元的個數可以各不相同。層狀結構網絡的特點是在相鄰層中神經元單元單向連接，而同層內的神經元之間不相互連接。根據層與層之間有無反饋連接，層狀結構的神經網絡又進一步分為“前饋網絡”與“反饋網絡”兩種類型。前饋網絡又稱為前向網絡，BP 網絡就屬于典型的前饋網絡。其結構圖如圖 所示： 圖 前饋網絡圖 為一個反饋網絡的結構圖。Hopfield 網絡就是一種最典型的反饋神經網絡，它簡單而且應用廣泛，具有聯(lián)想記憶的功能。 圖 反饋網絡網狀結構的神經網絡又稱為互聯(lián)網絡，其特點是任何兩個神經元之間都可能存在雙向的連接關系，所有的神經元既作為輸入節(jié)點，又作為輸出節(jié)點。輸入信號要在所有神經兀之；H 反復傳遞，從某一初始狀態(tài)開始，經過若干次的變化，直到收斂于某一穩(wěn)定狀態(tài)或進入周期振蕩等狀態(tài)為止。隨著神經元數目的增加，網狀結構的神經網絡的結構也迅速復雜化，其網絡的計算量也大大增加，因此網狀結構的神經網絡在實際工程中應用不多。人工神經網絡的特點因為人工神經網絡模擬了生物神經系統(tǒng)，因此具有大腦的一些基本特征，例如，就像人們可以不斷地摸索規(guī)律、總結經驗一樣，神經網絡能夠通過相應的學習算法進行訓練，將蘊含在一個較大數據集中的數據聯(lián)系的規(guī)律性抽象出來，從先前得到的例子中按照要求產生出新的實例，在一定程度上實現了“舉一反三”的功能。神經網絡的主要特點如下：神經網絡在應用中已經表現了如下有用的特征及能力：(1)非線性映射能力 一個神經元從根本上來說就是一個非線性元件，因此，由這些神經元互相連接組成的神經網絡也是非線性的，而且這種非線性是分布在整個網絡中，可以解決許多非線性問題。通過學習，輸入與輸出的映射關系就可以使實際輸出與期望輸出之間的誤差達到滿意的程度。(2)并行分布性處理能力 傳統(tǒng)的計算機是以串行的方式來處理信息的，這樣，處理速度再快，處理的信息也是有限的，而人工神經網絡對信息的處理卻是并行計算的。因為神經網絡中的神經元之間有著大量的相互連接，這樣信息輸入之后信號就可以同時到達一批神經元的輸入端并進行同時（并行）處理，這樣就避免了以往的“匹配沖突” ， “組合爆炸”和“無窮遞歸”等難題，推理速度非?？?。(3)學習能力 人工神經網絡可以根據所在環(huán)境去改變它的行為。也就是說，人工神經網絡可以接受用戶提交的樣本集合，依照系統(tǒng)給定的算法，或者利用樣本指導系統(tǒng)來模擬現實環(huán)境（稱為有教師學習） ，或者對輸入進行自適應學習（稱為無教師學習） ，不斷地修正用來確定系統(tǒng)行為的神經元之間的連接強度，從而不斷地自動學習，完善知識的存儲。(4)魯棒性 信息的分布存放給人工神經網絡提供了另一種特殊的功能。由于信息被分布存放在網絡中，所以，當少量的神經元受到損壞或者輸入的信息不完整或者受到噪聲干擾時，網絡的整體功能不會受到嚴重的影響，這說明人工神經網絡具有良好的性能，具有較強的穩(wěn)定性和魯棒性。人工神經網絡的學習 神經網絡卓越的信息處理能力主要是通過學習來獲得的。神經網絡的學習也叫做訓練，其學習的本質就是調整各神經元之間的連接權值，而如何調整連接權值就構成了不同的學習算法。人工神經網絡的基本的學習規(guī)則有以下幾種：（1）誤差糾正學習規(guī)則誤差糾正學習的最終目的是使某一目標函數達到最小，以使網絡中每一輸出單元的實際輸出在某種統(tǒng)計意義上最逼近于應有輸出。一旦選定了目標函數的形式，誤差糾正學習就成為一個典型的最優(yōu)化問題。當單元的激活函數為線性函數時，此規(guī)則與自適應濾波器中的 Widrow Hoff 學習規(guī)則一致。在自適應濾波理論中對這種學習的收斂性及其統(tǒng)計特性有較深入的分析。(2) Hebb 學習規(guī)則 Hebb 學習規(guī)則可