【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 約束條件有關(guān)的修正系數(shù)。 負(fù)壓波傳播速度公式如下： 在實(shí)際的泄漏監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中，總是采集壓力傳感器送來(lái)的數(shù)據(jù)，再分析采集到的數(shù)據(jù)序列，從中尋找泄漏信息。 精確確定泄漏引發(fā)的負(fù)壓波傳播到上、下游傳感器的 時(shí)間差 ，就必須先確定瞬態(tài)負(fù)壓波傳到管道首、末端的時(shí)刻，即需要準(zhǔn)確地捕捉到泄漏負(fù)壓波傳到首、末端信號(hào)序列的 對(duì)應(yīng)特征點(diǎn) 。 而由于不可避免的工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的電磁干擾、輸油泵的振動(dòng)等因素的存在，采集到的壓力波形序列附加著大量的噪聲（如下圖所示） 。 圖 原始?jí)毫π盘?hào) 上圖為在中石化管道儲(chǔ)運(yùn)公司滄州輸油公司滄州－臨邑線長(zhǎng) 60公里的滄州－東光輸油管線的 30公里處做的一次泄漏放油實(shí)驗(yàn)時(shí)在管道一端采集到的壓力信號(hào)序列，噪聲信號(hào)很強(qiáng)，由此信號(hào)根本無(wú)法確定負(fù)壓波的邊沿，因而也就不能對(duì)泄漏點(diǎn)定位。 如何在強(qiáng)噪聲干擾中提取信號(hào)的 特征拐點(diǎn) 是泄漏檢測(cè)與定位中必須解決的問(wèn)題，下面提出采用離散小波變換確定負(fù)壓波信號(hào)的特征拐點(diǎn)，濾波器組計(jì)算小波變換的方法。 此方法在管道實(shí)際運(yùn)行中做到實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，取得了良好的效果。 離散小波變換及濾波器組 多分辨分析 1988年 ，將計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域內(nèi)的多分辨率思想率先引入小波變換，提出了多分辨分析（ MultiResolution Analysis）的概念，在空間的概念上形象地說(shuō)明了小波變換的多分辨特性，并使用多分辨分析將此之前 Meyer等提出的各種具體小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來(lái)。在 Burt and Adelson圖像分解和重構(gòu)的塔式算法的啟發(fā)下，基于多分辨率框架，提出了塔式多分辨率分解和重構(gòu)算法，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波變換的快速算法－Mallat快速小波分解和重構(gòu)算法 。 對(duì)于多分辨分析的理解，可以用一個(gè)三層的分解進(jìn)行說(shuō)明，其小波分解樹(shù)如下圖所示。 圖 三層多分辨分析小波分解樹(shù)結(jié)構(gòu)圖 多分辨分析只是對(duì)低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予考慮。 分解關(guān)系式為： S=A3+D3＋ D2＋ D1。 在圖中，只是以一個(gè)層分解進(jìn)行說(shuō)明，如果要進(jìn)行進(jìn)一步的分解，則可以把低頻部分 A3分解成低頻部分 A4和高頻部分 D4，以下再分解依此類(lèi)推。 多分辨分析分解的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近 空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。 ),( ??gF從上圖的多分辨分析樹(shù)型結(jié)構(gòu)可以看出，多分辨率分析只對(duì)低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步的分解，使頻率的分辨率變得越來(lái)越高。 下面分析多分辨分析是如何構(gòu)造正交小波基的。 空間 L2（ R）中的多分辨分析是指 中滿足如下條件的一個(gè)空間序列 ： ),( ??gF? ?ZjjV ?① 單調(diào)性： ，對(duì)任意 j∈ Z； 1?? jj VV② 逼近性： ； )(},0{ 2 RLVc los eVjjzj ?????? ??③ 伸縮性： ，伸縮性體現(xiàn)了尺度的變化、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性； 1)2()( ???? jj VtfVtf④ 平移不變性：對(duì)任意 k∈ Z，有 jjjjjj VktVt ???? ?? )2()2( 2/2/ ??⑤ Riesz基存在性： ? ? 的規(guī)范正交基，構(gòu)成使得存在 jj VktV Zk)2(,( t ) 2/0 ??? ???可以稱 φ (t)為尺度函數(shù)（ Scaling Function），并可以定義如下函數(shù)： )2(2)( 2/, ktt jjkj ?? ?? ?? Zkj ?,該 函數(shù)系 是規(guī)范正交的。 ? ?Zkjtkj ?,)(,?設(shè)以 Vj表示小波分解樹(shù)結(jié)構(gòu)圖中的低頻部分 Aj，Wj表示分解中的高頻部分 Dj，則多分辨分析的子空間 V0是一個(gè)有限個(gè)子空間的逼近，即： 121122110 ...... WWWWVWWVWVV NNN ???????????? ?上式中的空間列 具有如下性質(zhì)： ? ?ZjWj ?① jjj WntfWtf ???? )2()( Znj ?,② 1)2()( ???? jj WtfWtf Zj?③ 一樣，和對(duì)任意當(dāng)j2, V( R ) ,Lf ( t ),j,0 ????fwP設(shè)法找出一個(gè)確定的函數(shù) ，使得對(duì)每個(gè) 0)( Wt ??Zj? ，函數(shù)系 構(gòu)成空間 Wj的規(guī)范正交基， ? ?Znnj ?? ,其中， )2(2)( 2/, ntt jjnj ???? ??（ 1） 若令 代表分辨率為 2j的函數(shù) 的逼近（即函數(shù) f的低頻部分或“粗糙像”），而 jjVf ? )(2 RLf ?jj Wd ?代表逼近的誤差（即函數(shù) f的高頻部分或 “細(xì)節(jié) ” 部分），則下式 121122110 ...... WWWWVWWVWVV NNN ???????????? ?意味著： 121122110 ...... ddddfddfdff NNN ???????????? ?注意到 f=f0，所以上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為： ???? NiiN dff1（ 2） （ 3） 上式（ 3）表明，任何函數(shù) 都可以根據(jù)分辨率為 2N時(shí) f(t)的低頻部分（ “ 粗糙像 ” ）和分辨率 2j（ 1≤j≤N）下 f(t)的高頻部分（ “ 細(xì)節(jié) ” 部分）完全重構(gòu)，這也從另一側(cè)面表示 Mallat塔式重構(gòu)算法。 )()( 2 RLtf ????? NiiN dff1（ 3） 從包容關(guān)系 ，可很容易得到尺度函數(shù) ф(t)的一個(gè)極為有用的性質(zhì)。 10 ??VV注意到 ，所以 可以用 V1子空間的基函數(shù) 展開(kāi)，令展開(kāi)系數(shù)為 hk，則 100,0 )( ??? VVt? )()( 0,0 tt ?? ?)2(2)( 2/1,1 kttk ??? ??)2()(2)( ktkht ?? ??????這就是尺度函數(shù)的雙尺度方程。 （ 4） 另一方面，由于 ，故 001 WVV ???這就意味著小波基函數(shù) 可以用 V1子空間的正交基 展開(kāi)，令展開(kāi)系數(shù)為 gk，即有 )(t?)2(2)( 2/1,1 kttk ??? ??)2()(2)( ktkgt ??? ?????這就是小波函數(shù)的雙尺度方程。 100,0 )()( ?????? WWtt（ 5） 由雙尺度方程式（ 4）和式（ 5）可知，尺度函數(shù)與小波基函數(shù)的構(gòu)造歸結(jié)為系數(shù) 的設(shè)計(jì)。 ? ? ? ?)(,)( kgkh小波基函數(shù) 可由尺度函數(shù) 的平移和伸縮的線性組合獲得。 )(, tkj?)(t?若令 kjkkjkekgGekhH ?? ?? ???????????? ?? 2 )()(,2 )()(則把尺度函數(shù)和小波基函數(shù)的設(shè)計(jì)可以歸結(jié)為濾波器H(ω)， G(ω)的設(shè)計(jì)。 )2()(2)( ktkht ?? ?????? )2()(2)( ktkgt ??? ?????（ 4） （ 5） 尺度函數(shù)的雙尺度方程 : 小波函數(shù)的雙尺度方程 : 構(gòu)造正交小波時(shí)，濾波器 H(ω)， G(ω)必須滿足以下三個(gè)條件： 1)()( 22 ??? ??? HH1)()( 22 ??? ??? GG0)()()()( ** ??? ????? GHGH（ 6） （ 7） （ 8） 聯(lián)合求解式（ 6）、（ 7）、（ 8）可得 )()( * ??? ? ?? ? HeG j （ 9） 所以，要設(shè)計(jì)正交小波，只需要設(shè)計(jì)濾波器 H(ω)。 綜上分析，為了使 構(gòu)成 Vj子空間的正交基， 應(yīng)該具有下列基本性質(zhì)： )2(2)( 2/, ktt jjkj ?? ?? ??)(t?① 尺度函數(shù)的容許條件， 。 ② 能量歸一化條件： 。 ③ 尺度函數(shù) 具有正交性，即 ???? ? 1)( dtt?122 ??)(t?Zlklkktlt ?????? ,),()(),( ???⑤ 跨尺度的尺度函數(shù) 和 相關(guān)。 ④ 尺度函數(shù) 與基小波函數(shù) 正交，即 )(t? )(t?0)(),( ?? tt?)(t? )2( t?⑥ 基小波函數(shù) 和 相關(guān)。 )2( t?)(t?將尺度函數(shù)的容許條件與小波的容許條件 ???? ?? 0)( dtt作比較可知，尺度函數(shù)的傅里葉變換 具有低通濾波特性（相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器），而小波基函數(shù)的傅里葉變換 則具有高通濾波特性（相當(dāng)于一個(gè)帶通濾波器）。 )(???)(? ??多分辨分析 可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效的時(shí)頻分解，它不同于短時(shí)傅里葉變換對(duì)信號(hào)頻帶的等間隔劃分，它的尺度是按 二進(jìn)制 劃分的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時(shí)間分辨率較差，即對(duì)信號(hào)的頻帶進(jìn)行指數(shù)等間隔劃分（具有 等 Q結(jié)構(gòu) ）。 一維 Mallat算法 Burt and Adelson圖像分解和重構(gòu)的塔式算法的啟發(fā)下，基于多分辨率框架，提出了一種具有完美數(shù)學(xué)描述的塔式多分辨率離散小波分解與重構(gòu)算法，即 Mallat算法。 Mallat算法的本質(zhì)是：不需要知道小波函數(shù)和尺度函數(shù)的具體結(jié)構(gòu)，僅根據(jù)系數(shù)就可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解和重構(gòu)。 而且這種算法可以使每次小波分解后信號(hào)長(zhǎng)度減半，大大減少了小波變換的復(fù)雜度，因而它是一種快速算法。 Mallat快速算法在小波變換中的地位，與快速傅里葉變換在傅里葉變換中的地位相當(dāng)。 設(shè) Φ(t)為尺度函數(shù)， Ψ(t)為基本小波，設(shè)信號(hào) f(t) ∈ L2(R)，將信號(hào)進(jìn)行分解，用 A表示低頻， D表示高頻，下標(biāo)數(shù)字表示小波分解的尺度層數(shù)，已得到f(t)在 2j分辨率下的粗糙像 Ajf ∈ Vj，｛ Vj｝ j ∈ Z構(gòu)成 L2（ R）的多分辨分析，從而有： fDfAfA jjj 11 ?? ??式中， ???????? ?kkjkjj tCfA ),(,1,11 ????????? ?kkjkjj tDfD )(,1,11 ?（ 10） 式（ 10）可寫(xiě)成如下形式： ??? ??????????????????kkjkjkkjkjkkjkj tDtCtC )()()( ,1,1,1,1, ???由尺度函數(shù)的雙尺度方程可得： ?????? ??kkjmj tmkht )()2()( ,1 ??利用尺度函數(shù)的正交性，有： （ 12） )2(, ,1 mkhkjmj ??? ?? （ 13） )2(, ,1 mkgkjmj ??? ??同理，由小波函數(shù)的雙尺度方程可得： （