【正文】 )(t? )(t?0)(),( ?? tt?)(t? )2( t?⑥ 基小波函數(shù) 和 相關(guān)。 ② 能量歸一化條件： 。 )2()(2)( ktkht ?? ?????? )2()(2)( ktkgt ??? ?????（ 4） （ 5） 尺度函數(shù)的雙尺度方程 : 小波函數(shù)的雙尺度方程 : 構(gòu)造正交小波時(shí)，濾波器 H(ω)， G(ω)必須滿足以下三個(gè)條件： 1)()( 22 ??? ??? HH1)()( 22 ??? ??? GG0)()()()( ** ??? ????? GHGH（ 6） （ 7） （ 8） 聯(lián)合求解式（ 6）、（ 7）、（ 8）可得 )()( * ??? ? ?? ? HeG j （ 9） 所以，要設(shè)計(jì)正交小波，只需要設(shè)計(jì)濾波器 H(ω)。 ? ? ? ?)(,)( kgkh小波基函數(shù) 可由尺度函數(shù) 的平移和伸縮的線性組合獲得。 （ 4） 另一方面，由于 ，故 001 WVV ???這就意味著小波基函數(shù) 可以用 V1子空間的正交基 展開(kāi)，令展開(kāi)系數(shù)為 gk，即有 )(t?)2(2)( 2/1,1 kttk ??? ??)2()(2)( ktkgt ??? ?????這就是小波函數(shù)的雙尺度方程。 )()( 2 RLtf ????? NiiN dff1（ 3） 從包容關(guān)系 ，可很容易得到尺度函數(shù) ф(t)的一個(gè)極為有用的性質(zhì)。 空間 L2（ R）中的多分辨分析是指 中滿足如下條件的一個(gè)空間序列 ： ),( ??gF? ?ZjjV ?① 單調(diào)性： ，對(duì)任意 j∈ Z； 1?? jj VV② 逼近性： ； )(},0{ 2 RLVc los eVjjzj ?????? ??③ 伸縮性： ，伸縮性體現(xiàn)了尺度的變化、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性； 1)2()( ???? jj VtfVtf④ 平移不變性：對(duì)任意 k∈ Z，有 jjjjjj VktVt ???? ?? )2()2( 2/2/ ??⑤ Riesz基存在性： ? ? 的規(guī)范正交基，構(gòu)成使得存在 jj VktV Zk)2(,( t ) 2/0 ??? ???可以稱 φ (t)為尺度函數(shù)（ Scaling Function），并可以定義如下函數(shù)： )2(2)( 2/, ktt jjkj ?? ?? ?? Zkj ?,該 函數(shù)系 是規(guī)范正交的。 ),( ??gF從上圖的多分辨分析樹(shù)型結(jié)構(gòu)可以看出，多分辨率分析只對(duì)低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步的分解，使頻率的分辨率變得越來(lái)越高。 在圖中，只是以一個(gè)層分解進(jìn)行說(shuō)明，如果要進(jìn)行進(jìn)一步的分解，則可以把低頻部分 A3分解成低頻部分 A4和高頻部分 D4，以下再分解依此類推。 圖 三層多分辨分析小波分解樹(shù)結(jié)構(gòu)圖 多分辨分析只是對(duì)低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高頻部分則不予考慮。在 Burt and Adelson圖像分解和重構(gòu)的塔式算法的啟發(fā)下，基于多分辨率框架，提出了塔式多分辨率分解和重構(gòu)算法，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波變換的快速算法－Mallat快速小波分解和重構(gòu)算法 。 此方法在管道實(shí)際運(yùn)行中做到實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，取得了良好的效果。 圖 原始?jí)毫π盘?hào) 上圖為在中石化管道儲(chǔ)運(yùn)公司滄州輸油公司滄州－臨邑線長(zhǎng) 60公里的滄州－東光輸油管線的 30公里處做的一次泄漏放油實(shí)驗(yàn)時(shí)在管道一端采集到的壓力信號(hào)序列，噪聲信號(hào)很強(qiáng)，由此信號(hào)根本無(wú)法確定負(fù)壓波的邊沿，因而也就不能對(duì)泄漏點(diǎn)定位。 精確確定泄漏引發(fā)的負(fù)壓波傳播到上、下游傳感器的 時(shí)間差 ，就必須先確定瞬態(tài)負(fù)壓波傳到管道首、末端的時(shí)刻，即需要準(zhǔn)確地捕捉到泄漏負(fù)壓波傳到首、末端信號(hào)序列的 對(duì)應(yīng)特征點(diǎn) 。 11/CeDEKKa???? ?式中： a — 管內(nèi)壓力波的傳播速度， m/s； K — 液體的體積彈性系數(shù)， Pa； ρ— 液體的密度， kg/m3； E — 管材的彈性， Pa； D — 管道直徑， m； e — 管壁厚度， m； C1 — 與管道約束條件有關(guān)的修正系數(shù)。由于 GPS具有定位精度高、使用范圍廣、可全天候應(yīng)用、用戶設(shè)備簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)， GPS問(wèn)世以來(lái)，已充分顯示了其在導(dǎo)航、定位、授時(shí)領(lǐng)域的霸主地位。 GPS開(kāi)始時(shí)只用于軍事目的，后來(lái)由于 GPS接收機(jī)技術(shù)的發(fā)展，超大規(guī)模芯片的應(yīng)用，使接收機(jī)成本不斷下降，現(xiàn)在也已廣泛應(yīng)用于航海、航空、科學(xué)研究、交通運(yùn)輸、石油勘探、地形測(cè)量以及商業(yè)、旅游業(yè)等一切行業(yè)，甚至要滲透到個(gè)人生活的各個(gè)方面。 GPS系統(tǒng)包括以下三大部分： (1)GPS衛(wèi)星 (空間部分 )； (2)地面支撐系統(tǒng) (地面監(jiān)控部分 )； (3)GPS接收機(jī) (用戶部分 )。 GPS是英文 Global Positioning System的縮寫，意即全球定位系統(tǒng)。 在分析泄漏引發(fā)的負(fù)壓波信號(hào)序列，確定負(fù)壓波信號(hào)傳到管道首、末端的時(shí)刻時(shí)，一個(gè)顯然的要求是首、末端壓力信號(hào)序列起始時(shí)刻應(yīng)該一致，這就要求統(tǒng)一擔(dān)任首、末端數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的工控機(jī)的系統(tǒng)時(shí)間，可以采用全球定位系統(tǒng) (GPS)來(lái)定時(shí)統(tǒng)一各站工控機(jī)的系統(tǒng)時(shí)鐘。 瞬態(tài)負(fù)壓波泄漏定位示意圖 其中： x — 泄漏點(diǎn)距上游站測(cè)壓點(diǎn)的距離，單位： m； L — 上下游站間距，單位： m； a — 負(fù)壓波的傳播速度，單位： m/s； Δt — 上游站壓力突變時(shí)間與下游站壓力突變時(shí)間 差，單位： s。 沿管道傳播的瞬態(tài)負(fù)壓波中包含有泄漏的信息，由于管道的波導(dǎo)作用，它能夠傳播數(shù)十公里以上的遠(yuǎn)端。 泄漏 在管道中的總體反映就是 從泄漏點(diǎn)處 產(chǎn)生了同時(shí)向上、下游端傳播的瞬態(tài)負(fù)壓波 ，它的傳播過(guò)程類似于聲波在介質(zhì)中的傳播，它的傳播速度是聲波在管道輸送流體中的傳播速度，原油管道中負(fù)壓力波的傳播速度約在 1000～ 1200米 /秒之間。 瞬態(tài)負(fù)壓波法泄漏檢測(cè)原理及定位公式 由于流體的連續(xù)性，管道中的流體速度不會(huì)立即發(fā)生改變，流體在泄漏點(diǎn)和與其相鄰的兩邊的區(qū)域之間的壓力產(chǎn)生差異，這種差異導(dǎo)致泄漏點(diǎn)上下游區(qū)域內(nèi)的高壓流體流向泄漏點(diǎn)處的低壓區(qū)域，從而又引起與泄漏點(diǎn)相鄰區(qū)域流體的密度減小和壓力降低。 結(jié)論： 要使奇異檢測(cè)有效，必須滿足適當(dāng)條件： ， 應(yīng)是某一平滑函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)； )()1( t? )()2( t? 尺度 a必須適當(dāng)，以便使 y(t)的突變點(diǎn)基本上能反映待分析信號(hào) x(t)的突變點(diǎn)；且只有在適當(dāng)尺度下各突變點(diǎn)引起的小波變換才能避免交疊干擾。 因?yàn)檫^(guò)零點(diǎn)易受噪聲干擾，而且有時(shí)過(guò)零點(diǎn)反映的不是突變點(diǎn)，而是信號(hào)在慢變區(qū)間的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。 ?)()1( t? )()2( t?圖 用 ， 作小波對(duì)階躍輸入和脈沖輸入的處理結(jié)果 )()1( t?)()2( t?由以上分析可得， 突變點(diǎn)的位置 有時(shí)是由小波變換的過(guò)零點(diǎn) 反映的，有時(shí)是由小波變換的 極值點(diǎn) 反映的。 事實(shí)上， 的局部極大值通常刻畫了信號(hào)非正規(guī)性的 Lipschitz指數(shù)。 信號(hào) 突變?cè)酱?，其小波變換的 模極大值就越大 。 ),( xsWT f),( xsWT f),( xsWT f函數(shù)的 奇異點(diǎn) 可以從其小波變換的 模極大值 檢測(cè)出來(lái)。 )(xf s?? )(xf s??這兩種拐點(diǎn)可以通過(guò)觀察 的極值點(diǎn)是極大點(diǎn)還是極小點(diǎn)分辨出來(lái)。 圖 信號(hào)突變點(diǎn)與其小波變換模極大值的關(guān)系 例： x0， x2是信號(hào) f(x)的突變點(diǎn)； x1是 f(x)慢變區(qū)間的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。 階躍信號(hào)的李普西茲指數(shù)為 0，脈沖函數(shù)的李普西茲指數(shù)為 1。 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)、可微，則在該點(diǎn)的李普西茲指數(shù)為 1； 在一點(diǎn)可導(dǎo)，而導(dǎo)數(shù)有界但不連續(xù)時(shí)，李普西茲指數(shù)仍為 1。 設(shè) n是一非負(fù)整數(shù)， ，我們說(shuō) f(x)在點(diǎn) x0為李普西茲 α，如果存在兩個(gè)常數(shù) A和 h00，及 n次多項(xiàng)式 Pn(h)，使得對(duì)任意的 ，均有： 1??? nn ?0hh??hAhPhxfn ??? )()( 0如果上式對(duì)所有 均成立，且 ， ),(0 bax ? ),(0 bahx ??稱 f(x)在（ a， b）上是 一致李普西茲 α。 適當(dāng)?shù)倪x擇基本小波，使 在時(shí)域上為有限支撐， 在頻域上也比較集中，便可以使小波變換在時(shí)、頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，因此非常適合于檢測(cè)信號(hào)的 瞬態(tài) 或 奇異點(diǎn) 。 f?ffQ ??)(t?)(? ??可以將小波變換看成基本頻率特性為 的帶通濾波器在不同尺度 a下對(duì)信號(hào)作濾波。 通常使用的小波母函數(shù)有： Daubechies小波、Harr小波以及 Morlet小波。 圖 小波變換的時(shí)－頻窗口 例： 圖 聯(lián)合時(shí)頻分析 小波變換可以對(duì)信號(hào)做 聯(lián)合時(shí) 頻域分析 得到其特征。 反之，當(dāng)檢測(cè)高頻信息時(shí)，（即對(duì)于小的 s0），時(shí)間窗會(huì)自動(dòng)變窄，以便在頻率域用較高的頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行細(xì)節(jié)分析。 反之， 尺度 s減小時(shí) ， ψs在空間域（時(shí)域）上收縮，小波變換的空間域分辨率升高； ψs(ω)在頻域上伸展，其中心頻率升高，變換的頻域分辨率降低。小波變換通過(guò) ψ(x)在 尺度上的伸縮 和空間域（ 時(shí)域 ） 上的平移 來(lái)分析信號(hào)。 函數(shù) f(x) ∈ L2(R)的連續(xù)小波變換定義為： 定義 13： ? ???? ???? dus uxufsxfxsW sf )()(1)(),( ??其中， *表示卷積。 具有 緊支集 的函數(shù)就是在有限區(qū)間外恒等于零的函數(shù)。 定義 8： 把希爾伯特空間（ Hilbert space）中的可測(cè)的、平方可積的兩維函數(shù)構(gòu)成的子空間記作： L2(R2)。 )(xg定義 3： 在 L2(R)空間，函數(shù) f(x)的范數(shù) ‖ f(x)‖ 定義為： ?? ???????? ?? dxxfdxxfxfxf 22 )()()()(定義 4： 在 L2(R)空間，若：內(nèi)積 f， g＝ 0，則稱函數(shù) f與函數(shù) g正交 。我們稱其為 平方可積函數(shù)空間 。 ????? ???dxxf 2)(若 f(x)， g(x) ∈ L2(R)， α， β 為常數(shù)，則 αf(x)＋ βg(x) ∈ L2(R)。 定義 1： 稱滿足 的函數(shù) f(x)為 平方可積函數(shù) ，并把這類函數(shù)的集合記為 L2(R)。 近十年來(lái)，小波理論一直在各個(gè)不同研究領(lǐng)域扮演著重要的角色。 在國(guó)內(nèi)，由于對(duì)小波的研究起步較晚， 20世紀(jì) 90年代以來(lái)，可以說(shuō)小波的理論研究和應(yīng)用研究幾乎同時(shí)開(kāi)始。 1992年， Daubechies的 《 小波 10講 》 系統(tǒng)論述了正交小波的緊支性、正則性、對(duì)稱性及時(shí)頻特性