線性代數知識點歸納整理(編輯修改稿)
2024-10-07 12:34 本頁面
【文章內容簡介】 若干次初等行變換（或對換列）化為行階梯型矩陣（2）行階梯形矩陣與行最簡形矩陣：若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為0，每個臺階只有一行（臺階數即是非零行的行數），階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元素，也就是非零行的第一個非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎上，若非零行的第一個非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱該矩陣為行最簡形矩陣。例題：課本P4作業(yè)P6全部、課本P51第2大題1逆矩陣（1）設A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB＝BA＝E，則稱方陣A是可逆的，并稱B為A的逆矩陣.（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）（2）如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將A的逆矩陣記作A－1，AA－1＝E（3）n階方陣A可逆的充要條件為≠0，并且，當A可逆時，A－1＝（證明詳見課本P54）例題：課本P59第1大題（4）可逆矩陣也稱為非奇異方陣（否則稱為奇異方陣）（5）性質：設A，B都是n階的可逆方陣，常數k≠0，那么①(A－1)－1＝A②AT也可逆，并且(AT)1＝(A1)T③kA也可逆，并且(kA)1＝A1④AB也可逆，并且(AB)1＝B1A1⑤A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)1≠A1＋B1⑥AA1＝EAA1＝E＝1AA1＝1A1＝例題：、作業(yè)P7第1題（6）分塊對角矩陣的可逆性：課本P57（7）由方陣等式求逆矩陣：（8）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1≠0可逆，所以初等矩陣可逆）（9）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣（10）任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣（11）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積（證明：課本P67）（12）利用初等行變換求逆矩陣：A1（例題：課本P6課本P71）（13）形如AX＝B的矩陣方程，當方陣A可逆時，有A1AX＝A1B，即X＝：矩陣方程的例題：課本P3課本P6課本P41第6大題、課本P5課本P5課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題矩陣方程計算中易犯的錯誤：課本P56“注意不能寫成……”1充分性與必要性的證明題（1）必要性：由結論推出條件（2）充分性：由條件推出結論例題：課本P41第8大題、作業(yè)P5第5大題1伴隨矩陣（1）定義：課本P52（2）設A為n階方陣（n≥2），則AA*＝A*A＝En（證明詳見課本P5354）（3）性質：（注意伴隨矩陣是方陣）①A*＝A－1②(kA)*＝(kA)1＝knA1＝knA1＝kn1A*（k≠0）③|A*|＝|A－1|＝n|A－1|＝n（因為存在A－1，所以≠0）＝n1④(A*)*＝(A－1)*＝|A－1|(A－1)－1＝n|A－1|(A－1)－1＝nA＝n2A（因為AA－1＝E，所以A－1的逆矩陣是A，即(A－1)－1）⑤(AB)*＝B*A*⑥(A*)1＝(A1)*＝（4）例題：課本P5課本P5課本P5課本P60第6大題、作業(yè)P7第2題、作業(yè)P8全部1矩陣的標準形：（1）定義：課本P6162（2）任何一個非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標準形2
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