【文章內(nèi)容簡介】 、當三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理?！驹O計意圖】為保證學生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結的時間花得少且比較簡單，這將在下一節(jié)課進行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準備。七、教學反思為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學的過程。我想到了“情境——問題”教學模式，即構建一個以情境為基礎，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境——問題”學習鏈，并根據(jù)上述精神，結合教學內(nèi)容，具體做出了如下設計：①創(chuàng)設一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標準數(shù)學教科書數(shù)學（必修4）》（人教版） B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；②啟發(fā)、引導學生提出自己關心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉化、抽象成過渡性數(shù)學問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產(chǎn)生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數(shù)學實質，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？③為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明?？傊麄€過程讓學生通過自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結”的歷程，使學生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，從而使三維教學目標得以實現(xiàn)。第二篇：《正弦定理》教學設計《正弦定理》教學設計教學目標：理解并掌握正弦定理，總結歸納用正弦定理解三角形問題的步驟。探究證明定理的方法，理解正弦定理是對任意三角形中“大邊對大角、小邊對小角”的量化研究，從中體會知識的發(fā)生發(fā)展過程。在探究及其證明的過程中，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，初步感知數(shù)學中由定性到定量的思維方法。教學任務分析：正余弦定理作為解三角形的基礎，重要性不言而喻。一方面它們可以合力解決數(shù)學中的大量問題；另一方面，它們在實踐中也發(fā)揮著重大作用，比如距離、高度、速度等的測量。這節(jié)課是正弦定理的第一節(jié)課，需要先證明正弦定理和明確正弦定理可以解決哪些三角形問題。正弦定理的證明方法有很多，比如平面幾何法和向量法，也是簡單的方法，可是它們都無法輕易得出比值是2R這一結論，因而我在教學中采用外接圓的方法，將三角形內(nèi)角轉化成直角三角形中的銳角，再利用銳角三角函數(shù)得出定理，過程稍稍復雜，可對于提高學生分析問題、解決問題的能力還是有幫助的。這節(jié)課還會通過練習讓學生總結歸納正弦定理解三角形的類型和方法。綜上，我將本節(jié)課的教學重點定為：正弦定理的證明及其使用。學生情況分析：一方面，正弦定理和余弦定理作為解三角形的理論基礎，它們形式簡潔漂亮，學生易于接受。在探究證明方法時，學生也具備一定的分析問題的能力，也儲備了一些知識，比如初中時平面幾何中的知識和已經(jīng)學習過的三角函數(shù)的知識，他們也知道也將問題做類比和轉化，這些無疑都是有利的?？墒?，另一方面，高一的學生在綜合應用所學知識上還有欠缺，思維也不夠縝密，比如這節(jié)課從直角三角形中得到邊角關系后，接下來要證明在任意三角形中也成立，學生可能束手無策，不知道將問題引向何處，這時就需要教師的引導。另外，現(xiàn)在很多學生運算能力相對薄弱，也會導致用正弦定理解三角形時漏解或多解情況的出現(xiàn)?？傊艺J為學好正余弦定理也是將學生的思維水平和運算能力提高的一個好機會。綜上，我將本節(jié)課的教學難點定為：探究定理證明的方法，比值等于2R的由來。由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性分析正弦應用正弦定理解決第二類問題時，可能教學工具：多媒體課件。教學過程：一、創(chuàng)設問題情境，引入新課 問題1：初 問題2：對對小角”僅是的知識得到這中時你學過哪些關于三角形邊角關系的結論？ 于任意三角形中的邊角關系“大邊對大角、小邊一種感性認識，或者說定性分析，能否利用所學個邊角關系準確的量化表示？如右圖。定理是一種定量的研究。碰見多解的情況。設計意圖： 對于問題1，學生可以提供多種答案，教師可以往任意三角形這個方向引導，問題2則開門見山奔向這節(jié)課的主題。二、正弦定理的證明及其應用（一）定理的證明對于邊角關系，首先想到的是特殊三角形，即直角三角形中的邊角關系，我們先得到直角三角形中的結論，然后看能否推廣到一般三角形中。如右圖，因而，由于C=900，sinC=1 所以可得問題3：這是一個連比的式子，三者的比值相等，那么這個比值具體應該是多少呢？分析：比值等于,聯(lián)想到直角三角形外接圓的圓心在斜邊的中點上，即斜邊是外接圓的直徑，用2R表示。由此得到 設計意圖：這個問題的解答很關鍵，起到承上啟下的作用。接下來，只需探討該結論是否適合一般三角形，而2R是三角形外接圓的直徑，就會自然而然將學生引向利用外接圓研究一般三角形中的邊角關系。以下是銳角三角形和鈍角三角形中該結論的證明：若△ABC是銳角三角形，則外接圓圓心在該三角形內(nèi)部。連外接圓的一條直徑BD,則所以因而所以在與學生共同探究的過程中，可以設置下面的問題：（1）受直角三角形的啟發(fā)，應該會用到銳角三角函數(shù)，所以一定要構造直角三角形，在外接圓已經(jīng)做出的情況下，如何去構造直角三角形？（2）如何轉化角？即為什么若△ABC是鈍角三角形，則外接圓圓心在三角形外部。連直徑BD,則可得（想一想，為什么？）？在Rt△BCD中，又A=1800D所以sinA=sin(1800D)=即得出與銳角三角形中相同因而在鈍角△ABC中，仍然成立。綜上，在任意△ABC中，都成立，即各邊與其所對角的正弦的比值相等，且都等于三角形外接圓的直徑，由于該式涉及角的正弦，即稱作正弦定理。問題3：如何說明正弦定理是對任意三角形中邊角關系的一種量化表示？ 分析：我們不妨反過來解釋為什么“大角對大邊，小角對小邊”，即弦定理可知，只需說明即可。由正（1）若A、B都是銳角，則。（2）若A是鈍角，B是銳角，由A+BA，又因設計意圖：此問題是本節(jié)課的難點之一，很多同學會使用正弦定理，但是對于定理是刻畫任意三角形邊角關系這一意義含糊不清。在這會用到析，尤其是對于第二種情況，值得同學思考。定理的變式：（1）(邊化角)在上的單調(diào)性進行分（2）（3）（角化邊）（4）（二）正弦定理的應用 解三角形：稱為三角形的元素，已知某些元素求其他元素的過程。例1：△ABC中，已知=20，A=300，C=450，解此三角形。分析：這屬于已知兩邊一角，求其余的一角兩邊的問題。例2：△ABC中，已知，=1，B=450，解此三角形。分析：這屬于已知兩邊及其一邊的對角，求其余兩角一邊的問題。問題4：對于例2，思考，為什么例1只有一解而例2有可能多解？，可能出現(xiàn)兩解，如何取舍？進一步設計意圖：用正弦定理的時候很容易出錯的就是多解的情形，通過此例讓學生探索取舍的辦法。已知兩角一邊實質上該三角形就是確定的，而兩邊及其一邊的對角時這樣的三角形并不唯一。如果在課堂上可以順利得出這樣的結論，那學生會有茅塞頓開的感覺，勢必會加強學習數(shù)學的興趣和自信。練習：已知在△ABC中，A=450，=2，解此三角形。問題5：通過以上例題和練習，總結歸納正弦定理可以解決怎樣的三角形問題，歸納出步驟。設計意圖：這是本節(jié)課的收尾問題