【文章內(nèi)容簡介】 、當(dāng)三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理?！驹O(shè)計意圖】為保證學(xué)生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時間花得少且比較簡單，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準(zhǔn)備。七、教學(xué)反思為了使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學(xué)的過程。我想到了“情境——問題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個以情境為基礎(chǔ)，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境——問題”學(xué)習(xí)鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，具體做出了如下設(shè)計：①創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)（必修4）》（人教版） B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進(jìn)行驗證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。總之，整個過程讓學(xué)生通過自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結(jié)”的歷程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，從而使三維教學(xué)目標(biāo)得以實現(xiàn)。第二篇：《正弦定理》教學(xué)設(shè)計《正弦定理》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握正弦定理，總結(jié)歸納用正弦定理解三角形問題的步驟。探究證明定理的方法，理解正弦定理是對任意三角形中“大邊對大角、小邊對小角”的量化研究，從中體會知識的發(fā)生發(fā)展過程。在探究及其證明的過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，初步感知數(shù)學(xué)中由定性到定量的思維方法。教學(xué)任務(wù)分析：正余弦定理作為解三角形的基礎(chǔ)，重要性不言而喻。一方面它們可以合力解決數(shù)學(xué)中的大量問題；另一方面，它們在實踐中也發(fā)揮著重大作用，比如距離、高度、速度等的測量。這節(jié)課是正弦定理的第一節(jié)課，需要先證明正弦定理和明確正弦定理可以解決哪些三角形問題。正弦定理的證明方法有很多，比如平面幾何法和向量法，也是簡單的方法，可是它們都無法輕易得出比值是2R這一結(jié)論，因而我在教學(xué)中采用外接圓的方法，將三角形內(nèi)角轉(zhuǎn)化成直角三角形中的銳角，再利用銳角三角函數(shù)得出定理，過程稍稍復(fù)雜，可對于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力還是有幫助的。這節(jié)課還會通過練習(xí)讓學(xué)生總結(jié)歸納正弦定理解三角形的類型和方法。綜上，我將本節(jié)課的教學(xué)重點定為：正弦定理的證明及其使用。學(xué)生情況分析：一方面，正弦定理和余弦定理作為解三角形的理論基礎(chǔ)，它們形式簡潔漂亮，學(xué)生易于接受。在探究證明方法時，學(xué)生也具備一定的分析問題的能力，也儲備了一些知識，比如初中時平面幾何中的知識和已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)的知識，他們也知道也將問題做類比和轉(zhuǎn)化，這些無疑都是有利的。可是，另一方面，高一的學(xué)生在綜合應(yīng)用所學(xué)知識上還有欠缺，思維也不夠縝密，比如這節(jié)課從直角三角形中得到邊角關(guān)系后，接下來要證明在任意三角形中也成立，學(xué)生可能束手無策，不知道將問題引向何處，這時就需要教師的引導(dǎo)。另外，現(xiàn)在很多學(xué)生運算能力相對薄弱，也會導(dǎo)致用正弦定理解三角形時漏解或多解情況的出現(xiàn)。總之，我認(rèn)為學(xué)好正余弦定理也是將學(xué)生的思維水平和運算能力提高的一個好機(jī)會。綜上，我將本節(jié)課的教學(xué)難點定為：探究定理證明的方法，比值等于2R的由來。由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性分析正弦應(yīng)用正弦定理解決第二類問題時，可能教學(xué)工具：多媒體課件。教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 問題1：初 問題2：對對小角”僅是的知識得到這中時你學(xué)過哪些關(guān)于三角形邊角關(guān)系的結(jié)論？ 于任意三角形中的邊角關(guān)系“大邊對大角、小邊一種感性認(rèn)識，或者說定性分析，能否利用所學(xué)個邊角關(guān)系準(zhǔn)確的量化表示？如右圖。定理是一種定量的研究。碰見多解的情況。設(shè)計意圖： 對于問題1，學(xué)生可以提供多種答案，教師可以往任意三角形這個方向引導(dǎo)，問題2則開門見山奔向這節(jié)課的主題。二、正弦定理的證明及其應(yīng)用（一）定理的證明對于邊角關(guān)系，首先想到的是特殊三角形，即直角三角形中的邊角關(guān)系，我們先得到直角三角形中的結(jié)論，然后看能否推廣到一般三角形中。如右圖，因而，由于C=900，sinC=1 所以可得問題3：這是一個連比的式子，三者的比值相等，那么這個比值具體應(yīng)該是多少呢？分析：比值等于,聯(lián)想到直角三角形外接圓的圓心在斜邊的中點上，即斜邊是外接圓的直徑，用2R表示。由此得到 設(shè)計意圖：這個問題的解答很關(guān)鍵，起到承上啟下的作用。接下來，只需探討該結(jié)論是否適合一般三角形，而2R是三角形外接圓的直徑，就會自然而然將學(xué)生引向利用外接圓研究一般三角形中的邊角關(guān)系。以下是銳角三角形和鈍角三角形中該結(jié)論的證明：若△ABC是銳角三角形，則外接圓圓心在該三角形內(nèi)部。連外接圓的一條直徑BD,則所以因而所以在與學(xué)生共同探究的過程中，可以設(shè)置下面的問題：（1）受直角三角形的啟發(fā)，應(yīng)該會用到銳角三角函數(shù)，所以一定要構(gòu)造直角三角形，在外接圓已經(jīng)做出的情況下，如何去構(gòu)造直角三角形？（2）如何轉(zhuǎn)化角？即為什么若△ABC是鈍角三角形，則外接圓圓心在三角形外部。連直徑BD,則可得（想一想，為什么？）？在Rt△BCD中，又A=1800D所以sinA=sin(1800D)=即得出與銳角三角形中相同因而在鈍角△ABC中，仍然成立。綜上，在任意△ABC中，都成立，即各邊與其所對角的正弦的比值相等，且都等于三角形外接圓的直徑，由于該式涉及角的正弦，即稱作正弦定理。問題3：如何說明正弦定理是對任意三角形中邊角關(guān)系的一種量化表示？ 分析：我們不妨反過來解釋為什么“大角對大邊，小角對小邊”，即弦定理可知，只需說明即可。由正（1）若A、B都是銳角，則。（2）若A是鈍角，B是銳角，由A+BA，又因設(shè)計意圖：此問題是本節(jié)課的難點之一，很多同學(xué)會使用正弦定理，但是對于定理是刻畫任意三角形邊角關(guān)系這一意義含糊不清。在這會用到析，尤其是對于第二種情況，值得同學(xué)思考。定理的變式：（1）(邊化角)在上的單調(diào)性進(jìn)行分（2）（3）（角化邊）（4）（二）正弦定理的應(yīng)用 解三角形：稱為三角形的元素，已知某些元素求其他元素的過程。例1：△ABC中，已知=20，A=300，C=450，解此三角形。分析：這屬于已知兩邊一角，求其余的一角兩邊的問題。例2：△ABC中，已知，=1，B=450，解此三角形。分析：這屬于已知兩邊及其一邊的對角，求其余兩角一邊的問題。問題4：對于例2，思考，為什么例1只有一解而例2有可能多解？，可能出現(xiàn)兩解，如何取舍？進(jìn)一步設(shè)計意圖：用正弦定理的時候很容易出錯的就是多解的情形，通過此例讓學(xué)生探索取舍的辦法。已知兩角一邊實質(zhì)上該三角形就是確定的，而兩邊及其一邊的對角時這樣的三角形并不唯一。如果在課堂上可以順利得出這樣的結(jié)論，那學(xué)生會有茅塞頓開的感覺，勢必會加強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信。練習(xí)：已知在△ABC中，A=450，=2，解此三角形。問題5：通過以上例題和練習(xí)，總結(jié)歸納正弦定理可以解決怎樣的三角形問題，歸納出步驟。設(shè)計意圖：這是本節(jié)課的收尾問題