【文章內(nèi)容簡介】 【考點】 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【專題】 壓軸題；開放型． 【分析】 已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解．頂點式： y=a（ x﹣ h） 2+k（ a， h， k 是常數(shù)， a≠0），其中（ h， k）為頂點坐標． 【解答】 解：因為開口向上，所以 a＞ 0 ∵ 對稱軸為直線 x=2， ∴ ﹣ =2 ∵ y 軸的交點坐標為（ 0， 3）， ∴ c=3． 答案不唯一，如 y=x2﹣ 4x+3，即 y=（ x﹣ 2） 2﹣ 1． 【點評】 此題是開放題，考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，解題時要注意別漏條件．已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解． 三、解答題 19．已知拋物線 y=ax2經(jīng)過點（ 1， 3），求當 y=4 時， x的值． 【考點】 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】 把點（ 1， 3）代入拋物線解析式即可求解 a 的值，然后令 y=4 求解 x的值即可． 【解答】 解：根據(jù)題意，把點（ 1， 3）代入拋物線解析式 y=ax2得， 3=a， ∴ 拋物線解析式為 y=3x2， 令 y=4，解得 x=177。 ． 【點評】 本題考查了二次函數(shù)上點的坐標特征及待定系數(shù)法求解析式． 20．用配方法求函數(shù) y=﹣ 3x2+6x+2 的圖象的對稱軸、頂點坐標． 【考點】 二次函數(shù)的三種形式． 【專題】 計算題． 【分析】 利用配方法表示解析式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出拋物線的對稱軸、頂點坐標． 【解答】 解： y=﹣ 3x2+6x+2=﹣ 3（ x2﹣ 2x） +2=﹣ 3（ x﹣ 1） 2+5， 所以拋物線的對稱軸為直線 x=1，頂點坐標為（ 1， 5）． 【點評】 本題考查了二次函數(shù)的三種形式：一般式： y=ax2+bx+c（ a， b， c 是常數(shù)， a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與 y 軸的交點坐標是（ 0， c）；頂點式： y=a（ x﹣ h） 2+k（ a， h， k 是常數(shù)， a≠0），其中（ h， k）為頂點坐標，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標為（ h， k）；交點式： y=a（ x﹣ x1）（ x﹣ x2）（ a， b， c是常數(shù)， a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與 x軸的兩個交點坐標（ x1，0），（ x2， 0）． 21．如圖，一塊草地是長 80m、寬 60m 的矩形，欲在中間修筑兩條互相垂直的寬為 x m 的小路，這時草坪面積為 y m2．求 y 與 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍． 【考點】 根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式． 【分析】 可以把兩條互相垂直的小路平移到矩形兩邊上，這樣便于表達草坪的長（ 80﹣ x）m，寬（ 60﹣ x） m，列出函數(shù)關(guān)系式． 【解答】 解：由題意得： y=（ 80﹣ x）（ 60﹣ x）， =x2﹣ 140x+4800（ 0＜ x＜ 60）． 所以函數(shù)關(guān)系式為： y=x2﹣ 140x+4800（ 0＜ x＜ 60）． 【點評】 本題是用矩形面積公式表示函數(shù)關(guān)系 式． 22．已知二次函數(shù) y=﹣ 2x2，怎樣平移這個函數(shù)的圖象，才能使它經(jīng)過（ 0， 1）和（ 1， 3）兩點？寫出平移后的函數(shù)解析式． 【考點】 二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】 平移不改變二次函數(shù)的二次項系數(shù)，可設(shè)新函數(shù)解析式為 y=﹣ 2x2+bx+c，把題中的兩個點代入即可． 【解答】 解：設(shè) y=﹣ 2x2+bx+c，把（ 0， 1）（ 1， 3）代入， 得 c=1，﹣ 2+b+c=3， 解得 b=4． ∴ 平移后的函數(shù)解析式為 y=﹣ 2x2+4x+1=﹣ 2（ x﹣ 1） 2+3． ∵ 原拋物線的頂點為（ 0， 0）， ∴ 新拋物線的頂點為（ 1， 3）． ∴ 將原二次函數(shù) y=﹣ 2x2先向右平移 1 個單位，再向上平移 3 個單位，可得 y=﹣ 2x2+4x+1的圖象． 【點評】 本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，需注意平移不改變二次函數(shù)的二次項系數(shù)． 23．填表并解答下列問題： x … ﹣ 1 0 1 2 … y1=2x+3 … 1 3 5 7 … y2=x2 … 1 0 1 4 … （ 1）填表后發(fā)現(xiàn)：當 x從﹣ 1 開始增大時，預(yù)測哪一個函數(shù)的值先到達 16． （ 2）請你編擬一個二次項系數(shù)是 1的二次函數(shù)，使得當 x=4 時，函數(shù) 值為 16．編擬的函數(shù)表達式是什么？ 【考點】 二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 填表實質(zhì)就是求代數(shù)式的值； （ 1）根據(jù)圖象的變化趨勢作出判斷，注意檢驗； （ 2）答案不唯一． 【解答】 解：填表． x … ﹣ 1 0 1 2 … y1=2x+3 … 1 3 5 7 … y2=x2 … 1 0 1 4 … 故答案為： 1， 3， 5， 7； 1， 0， 1， 4； （ 1）由于在第一象限內(nèi)，兩個函數(shù)都是 y 隨 x的增大而增大， 當 y=16 時，函數(shù) y1=2x+3 中的 x=，函數(shù) y2=x2中的 x=4，故函數(shù) y2=x2值先到達 16； （ 2）如： y3=（ x﹣ 4） 2+16． 【點評】 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 24．已知拋物線 y=（ x﹣ m） 2﹣（ x﹣ m），其中 m 是常數(shù)． （ 1）求證：不論 m 為何值，該拋物線與 x軸一定有兩個公共點； （ 2）若該拋物線的對稱軸為直線 x= ． ①求該拋物線的函數(shù)解析式； ②把該拋物線沿 y 軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與 x軸只有一個公共點． 【考點】 拋物線 與 x軸的交點；二次函數(shù)圖象與幾何變換；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【專題】 計算題． 【分析】 （ 1）先把拋物線解析式化為一般式，再計算 △的值，得到 △ =1＞ 0，于是根據(jù) △ =b2﹣ 4ac 決定拋物線與 x軸的交點個數(shù)即可判斷不論 m為何值，該拋物線與 x軸一定有兩個公共點； （ 2） ①根據(jù)對稱軸方程得到 =﹣ = ，然后解出 m 的值即可得到拋物線解析式； ②根據(jù)拋物線的平移規(guī)律，設(shè)拋物線沿 y 軸向上平移 k 個單位長度后，得 到的拋物線與 x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為 y=x2﹣ 5x+6+k，再利用拋物線與 x軸的只有一個交點得到 △ =52﹣ 4（ 6+k） =0， 然后解關(guān)于 k 的方程即可． 【解答】 （ 1）證明： y=（ x﹣ m） 2﹣（ x﹣ m） =x2﹣（ 2m+1） x+m2+m， ∵△ =（ 2m+1） 2﹣ 4（ m2+m） =1＞ 0， ∴ 不論 m 為何值，該拋物線與 x軸一定有兩個公共點； （ 2）解： ①∵ x=﹣ = ， ∴ m=2， ∴ 拋物線解 析式為 y=x2﹣ 5x+6； ②設(shè)拋物線沿 y 軸向上平移 k 個單位長度后，得到的拋物線與 x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為 y=x2﹣ 5x+6+k， ∵ 拋物線 y=x2﹣ 5x+6+k 與 x軸只有一個公共點， ∴△ =52﹣ 4（ 6+k） =0， ∴ k= ， 即把該拋物線沿 y 軸向上平移 個單位長度后，得到的拋物線與 x軸只有一個公共點． 【點評】 本題考查了拋物線與 x軸的交點：求二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a， b， c 是常數(shù)， a≠0）與 x軸的交點坐標，令 y=0，即 ax2+bx+c=0，解關(guān)于 x的一元二次方程即可求得交點橫坐標． △ =b2﹣ 4ac 決定拋物線與 x軸的交點個數(shù)： △ =b2﹣ 4ac＞ 0時，拋物線與 x軸有 2 個交點； △ =b2﹣ 4ac=0時，拋物線與 x軸有 1 個交點； △ =b2﹣ 4ac＜ 0 時，拋物線與 x軸沒有交點． 25．如圖，拋物線 y=﹣ x2+ x+6 與 x軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸相交于 C 點． （ 1）求 △ ABC 的面積； （ 2）已知 E 點（ 0，﹣ 3），在第一象限的拋物線上取點 D，連接 DE，使 DE 被 x軸平分，試判定四邊形 ACDE 的形狀，并證明你的結(jié)論． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【專題】 代數(shù)幾何綜合題． 【分析】 （ 1）求三角形 ABC 的面積關(guān)鍵是得出 AB， OC 的長，已知拋物線的解析式，可先求出 A， B， C三點的坐標即可得出 AB， OC的長，進而可根據(jù)三角形的面積公式求出三角形 ABC 的面積． （ 2）本題要先求出 D 點的坐標，由于 DE被 x軸平分，設(shè) DE 交 x軸于 P，過 D作 DM⊥ x軸于 M，則有 △ EPO≌△ DPM，那么 D， E 兩點的縱坐標互為相反數(shù)，以此可求出 D 點的縱坐標，然后代入拋物線的解析式中即可求出 D 點的坐標，然后可根據(jù) D 點的坐標求出 DE的長，同理可求出 AC， AE， CD 的長，由此可判斷出四邊形 AEDC 的形狀． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)拋物線的解析式可求得： A（﹣ 3， 0）， B（ 4， 0）， C（ 0， 6） S△ ABC= AB?OC= 76=21． （ 2）四邊 形 ACDE 是平行四邊形， 理由：設(shè) DE 交 x軸于點 P． 作 DM⊥ x軸， DN⊥ y 軸， M、 N 是垂足． 在 △ EPO 和 △ DPM 中， ， ∴△ EPO≌△ DPM（ AAS）． 則 DM=EO=3．點 D 的縱坐標為 3． 由于 D 在拋物線上，則有 3=﹣ x2+ x+6， x=﹣ 2（舍去）或 x=3． 因此： D（ 3， 3）， AC= =3 ， ED= =3 ， AE= =3 ， CD= =3 ， AC=DE， AE=DC， ∴ 四邊形 ACDE 是平行四邊形． 【點評】 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等、平行四邊形的判定等知識點，綜合性較強． 一、選擇題（本大題共 10小題，每小題 3分，共 30分） 26．下列各點不在拋物線 y=﹣ x2+4x﹣ 1 上的是（ ） A．（﹣ 2，﹣ 13） B．（﹣ 1，﹣ 4） C．（﹣ 1，﹣ 6） D．（ 2， 3） 【考點】 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】 把各點坐標分別代入關(guān)系式檢驗即可． 【解答】 解： A、把（﹣ 2，﹣ 13）中 x=﹣ 2 代入得 y=﹣ 4﹣ 8﹣ 1=﹣ 13，不成 立； B、把（﹣ 1，﹣ 4）中 x=﹣ 1 代入得 y=﹣ 1﹣ 4﹣ 1=﹣ 6≠﹣ 4，成立； C、把（﹣ 1，﹣ 2）中 x=﹣ 1 代入得 y=﹣ 1﹣ 4﹣ 1=﹣ 6，不成立； D、把（ 2， 3）中 x=2 代入得 y=﹣ 4+8﹣ 1=3，不成立． 故選 B． 【點評】 本題考查的是拋物線上點的坐標特征，需要把答案一一代入檢驗． 27．對于二次函數(shù) y=3x2， y=﹣ 3x2和 y= x2，下列說法中正確的是（ ） A．開口都向上，且都關(guān)于 y 軸對稱 B．開口都向上，且都關(guān)于 x軸對稱 C．頂點都是 原點，且都關(guān)于 y 軸對稱 D．頂點都是原點，且都關(guān)于 x軸對稱 【考點】 二次函數(shù)的圖象． 【分析】 先根據(jù)解析式中的 a 值判斷拋物線的開口方向，并由解析式求出原點坐標． 【解答】 解：在函數(shù) y=3x2， y=﹣ 3x2和 y= x2，中， a取值范圍分別為： a=3＞ 0， a=﹣ 3＜ 0，a= ＞ 0， ∴ 拋物線的開口方向分別為：向上、向下、向上； 由函數(shù) y=3x2， y=﹣ 3x2和 y= x2，的解析式可知：頂點坐標都為（ 0， 0），對稱軸 x=0； ∴ 他們共同的特點是都關(guān)于 y 軸對稱，拋物線的頂點都是原點． 故選 C． 【點評】 考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 28．二次函數(shù) y=x2+bx+c 的圖象上有兩點（ 3，﹣ 8）和（﹣ 5，﹣ 8），則此拋物線的對稱軸是（ ） A． x=4 B． x=3 C． x=﹣ 5 D． x=﹣ 1 【考點】 二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 由于所給兩點的縱坐標相等，那么可知這兩點關(guān)于對稱軸對稱，進而可求對