【正文】 2（ x+1） 2+3． 【點評】 當已知函數(shù)的頂點坐標，或已知函數(shù)對稱軸時，利用頂點式求解析式比較簡單；當已知圖象經(jīng)過的三點時，一般利用一般式求解．并且拋物線的形狀相同，則二次項系數(shù)相同或互為相反數(shù)，互為相反數(shù)的情況容易忽視． 42．某校運動會上，張強同學推鉛球時，鉛球行進的高度 y（米）與水平距離 x（米）之間的函數(shù)關系式為 ，張強同學的成績 10 米． 【考點】 二次函數(shù)的應用． 【分析】 張強同學的成績就是要求鉛球落地時的水平距離，所以這個時候 y=0．直接把 y=0代入解析式即可解答． 【解答】 解：張強同學的成績就是要求鉛球落地時的水平距離，所以這個時候 y=0 即 0=﹣ x2+ x+ 求得 x=10 或 x=﹣ 2 即張強的成績?yōu)?10m． 【點評】 本題考查的是二次函數(shù)的實際應用．難度一般． 43．將進貨單價為 70 元的某種商品按零售價 100 元售出時，每天能賣出 20 個．若這種商品的零售價在一定范圍內每降價 1元，其日銷售量就增加了 1 個，為了獲得最大利潤，則應降價 5 元，最大利潤為 625 元． 【考點】 二次函數(shù)的應用． 【專題】 銷售問題． 【分析】 先根據(jù)題意列出函數(shù)關系式，再求其最值即可． 【解答】 解：設應降價 x元，銷售量為（ 20+x）個， 根據(jù)題意得利潤 y=（ 100﹣ x）（ 20+x）﹣ 70（ 20+x） =﹣ x2+10x+600=﹣（ x﹣ 5） 2+625， 故為了獲得最大利潤，則應降價 5 元，最大利潤 為 625 元． 【點評】 此題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應用及求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法：第一種可由圖象直接得出；第二種是配方法；第三種是公式法．常用的是后兩種方法，當二次系數(shù) a 的絕對值是較小的整數(shù)時，用配方法較好，如 y=﹣ x2﹣ 2x+5， y=3x2﹣ 6x+1等用配方法求解比較簡單． 三、解答題 44．已知拋物線 y=x2﹣ 2x，求拋物線的頂點坐標和對稱軸． 【考點】 二次函數(shù)的性質． 【分析】 運用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質確定對稱軸和頂點坐標． 【解答】 解： y=x2﹣ 2x=（ x﹣ 1） 2﹣ 1， 故頂點坐標是（ 1，﹣ 1），對稱軸是直線 x=1． 【點評】 本題考查的是二次函數(shù)的三種形式和性質，正確運用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式是解題的關鍵，掌握二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標的確定． 45．如果二次函數(shù) y=x2﹣ x+c 的圖象過點（ 1， 2），求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出該函數(shù)圖象的對稱軸． 【考點】 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質． 【分析】 將點（ 1， 2）的坐標代入二次函數(shù)的解析式中，即可求得 c 的值，得出函數(shù)解析式后，可用配方法或公式法求出對稱軸方程． 【解答】 解 ：把點（ 1， 2）代入二次函數(shù) y=x2﹣ x+c 得， 2=1﹣ 1+c， c=2； 故這個二次函數(shù)的解析式為 y=x2﹣ x+2；對稱軸為 x=﹣ = ． 【點評】 本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，同時還考查了二次函數(shù)圖象的對稱軸公式： x=﹣ ． 46．有一個運算裝置，當輸入值為 x時，其輸出值為 y，且 y 是 x的二次函數(shù)，已知輸入值為﹣ 2， 0， 1 時，相應 的輸出值分別為 5，﹣ 4． （ 1）求此二次函數(shù)的解析式； （ 2）在所給的坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出當輸出值 y 為正數(shù)時輸入值 x的取值范圍． 【考點】 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的圖象． 【專題】 計算題． 【分析】 （ 1）設一般式 y=ax2+bx+c，再把三組對應值分別代入得到關于 a、 b、 c 的方程組，然后解方程組求出 a、 b、 c 即可得到拋物線解析式； （ 2）先把一般式配成頂點式得到拋物線的對稱軸為直線 x=1，頂點坐標為（ 1， 4），再 通過解方程 x2﹣ 2x﹣ 3=0 得到拋物線與 x軸的交點坐標為（﹣ 1， 0），（ 3，﹣ 1），然后利用描點法畫出二次函數(shù)的圖象， 再寫出函數(shù)圖象在 x軸上方所對應的自變量的范圍即可． 【解答】 解：（ 1）設所求二次函數(shù)的解析式為 y=ax2+bx+c， 根據(jù)題意得 ，即 ，解得 ， 所以所求的解析式為： y=x2﹣ 2x﹣ 3； （ 2） y=x2﹣ 2x﹣ 3=（ x﹣ 1） 2﹣ 4，拋物線的對稱軸為直線 x=1，頂點坐標為（ 1， 4）， 當 y=0 時， x2﹣ 2x﹣ 3=0，解得 x1=﹣ 1， x2=3，則拋物線與 x軸的交點坐標為（﹣ 1， 0），（ 3，﹣ 1）， 如圖， 當輸出值 y 為正數(shù)時，輸入值 x的取值范圍是 x＜﹣ 1 或 x＞ 3． 【點評】 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次 方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與 x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的圖象． 47．已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（ 3，﹣ 2）且與 y 軸交于（ 0， ） （ 1）求函數(shù)的解析式； （ 2）當 x為何值時， y 隨 x增大而增大． 【考點】 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的性質． 【分析】 （ 1）已知函數(shù)的頂點坐標，就可設出函數(shù)的頂點式一般形式，利用待定系數(shù)法求解析式 ． （ 2）根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，以及對稱軸即可求解． 【解答】 解：（ 1）設函數(shù)的解析式是： y=a（ x﹣ 3） 2﹣ 2 根據(jù)題意得： 9a﹣ 2= ， 解得： a= ； ∴ 函數(shù)解析式是： y= ﹣ 2； （ 2） ∵ a= ＞ 0 ∴ 二次函數(shù)開口向上 又 ∵ 二次函數(shù)的對稱軸是 x=3． ∴ 當 x＞ 3 時， y 隨 x增大而增大． 【點評】 本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的增減性． 48．已知，如圖，直線 l經(jīng)過 A（ 4， 0）和 B（ 0， 4）兩點，它與拋物線 y=ax2在第一象限內相交于點 P，又知 △ AOP 的面積為 ，求 a 的值． 【考點】 二次函數(shù)的性質． 【分析】 首先求得直線 AB 的解析式，然后根據(jù)面積求得 P 點的縱坐標，然后代入求得其橫坐標，代入二次函數(shù)即可求解． 【解答】 解：設點 P（ x， y），直線 AB 的解析式為 y=kx+b， 將 A（ 4， 0）、 B（ 0， 4）分別代入 y=kx+b， 得 k=﹣ 1， b=4， 故 y=﹣ x+4， ∵△ AOP 的面積為 = 4y ∴ y= ， 再把 Py= 代入 y=﹣ x+4，得 x= ， 所以 P（ ， ） 把 P（ ， ）代入到 y=ax2中得： ． 【點評】 本題考查的是三角形的性質以及二次函數(shù)與圖象相結合的應用，難度中等． 49．小明在課外學習時遇到這樣一個問題： 定義：如果二次函數(shù) y=a1x2+b1x+c1（ a1≠0， a1， b1， c1是常數(shù)）與 y=a2x2+b2x+c2（ a2≠0， a2，b2， c2是常數(shù)）滿足 a1+a2=0， b1=b2， c1+c2=0，則稱這兩個函數(shù)互為 “旋轉函數(shù) ”． 求 y=﹣ x2+3x﹣ 2 函數(shù)的 “旋轉函數(shù) ”． 小明是這樣思考的：由 y=﹣ x2+3x﹣ 2 函數(shù)可知 a1=﹣ 1， b1=3， c1=﹣ 3，根據(jù) a1+a2=0， b1=b2，c1+c2=0 求出 a2， b2， c2，就能確定這個函數(shù)的 “旋轉函數(shù) ”． 請參考小明的方法解決下面的問題： （ 1）寫出函數(shù) y=﹣ x2+3x﹣ 2 的 “旋轉函數(shù) ”； （ 2）若函數(shù) y=﹣ x2+ mx﹣ 2 與 y=x2﹣ 2nx+n 互為 “旋轉函數(shù) ”，求（ m+n） 2021的值； （ 3）已知函數(shù) y=﹣ （ x+1）（ x﹣ 4）的圖象與 x軸交于 A， B 兩點，與 y 軸交于點 C，點A， B， C 關于原點的對稱點分別是 A1， B1， C1，試證明經(jīng)過點 A1， B1， C1的二次函數(shù)與函數(shù) y=﹣ （ x+1）（ x﹣ 4）互為 “旋轉函數(shù) ”． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù) “旋轉函數(shù) ”的定義，結合二次函數(shù)的解析式，即能求得已 知函數(shù)的 “旋轉函數(shù) ”； （ 2）根據(jù)函數(shù) y=﹣ x2+ mx﹣ 2 與 y=x2﹣ 2nx+n 互為 “旋轉函數(shù) ”，結合互為 “旋轉函數(shù) ”的定義，能求出 m、 n，將 m、 n 的值代入（ m+n） 2021中，本題得解； （ 3）先根據(jù)函數(shù) y=﹣ （ x+1）（ x﹣ 4）的圖象與 x軸交于 A， B 兩點，與 y軸交于點 C，求出 A、 B、 C的坐標，再根據(jù)點 A， B， C 關于原點的對稱點分別是 A1， B1， C1，求出點A1， B1， C1的坐標，找出過點 A1， B1， C1的二次函數(shù)的解析式，與函數(shù) y=﹣ （ x+1）（ x﹣ 4）比對，即可證得結論． 【解答】 解：（ 1）由 y=﹣ x2+3x﹣ 2 函數(shù)可知 a1=﹣ 1， b1=3， c1=﹣ 3， ∵ a1+a2=0， b1=b2， c1+c2=0， ∴ a2=1， b2=3， c2=3， 即函數(shù) y=﹣ x2+3x﹣ 2 的 “旋轉函數(shù) ”為 y=x2+3x+2． （ 2） ∵ 函數(shù) y=﹣ x2+ mx﹣ 2 與 y=x2﹣ 2nx+n 互為 “旋轉函數(shù) ”， ∴ ，解得 ， ∴ （ m+n） 2021=（﹣ 3+2） 2021=﹣ 1． （ 3）證明： ∵ 函數(shù) y=﹣ （ x+1）（ x﹣ 4）的圖象與 x軸交于 A， B 兩點，與 y軸交于點 C， ∴ A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）， C（ 0， 2）， ∵ 點 A， B， C 關于原點的對稱點分別是 A1， B1， C1， ∴ A1（ 1， 0）， B1（﹣ 4， 0）， C1（ 0，﹣ 2）， 設經(jīng)過 C1的二次函數(shù)解析式為 y=a（ x﹣ 1）（ x+4）， 將 C1（ 0，﹣ 2）代入得﹣ 2=﹣ 4a，解得 a= ， ∴ 經(jīng)過點 A1， B1， C1的二次函數(shù)解析式為 y= （ x﹣ 1）（ x+4） = x2+ x﹣ 2， ∵ y=﹣ （ x+1）（ x﹣ 4） =﹣ x2+ x+2， ∴ a1+a2=﹣ + =0， b1=b2= ， c1+c2=2+（﹣ 2） =0， ∴ 經(jīng)過點 A1， B1， C1的二次函數(shù)與函數(shù) y=﹣ （ x+1）（ x﹣ 4）互為 “旋轉函數(shù) ”． 【點評】 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，解題的關鍵是抓住 互為 “旋轉函數(shù) ”的定義，利用函數(shù)各多項式前面的系數(shù)解決問題． 50．二次函數(shù) 的圖象與 x軸從左到右兩個交點依次為 A、 B，與 y軸交于點C． （ 1）求 A、 B、 C 三點的坐標； （ 2）如果 P（ x， y）是線段 BC 之間的動點， O 為坐標原點，試求 △ POA的面積 S 與 x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量 x的取值范圍； （ 3）在（ 2）的條件下，是否存在這樣的點 P，使得 PO=PA？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在請說明理由． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）拋物線的解 析式中，令 y=0可求得 C點坐標，令 y=0 可求得 A、 B 的坐標； （ 2）已知了 B、 C 的坐標，用待定系數(shù)法求解即可，根據(jù)直線 BC的解析式可用 x表示出 P點的縱坐標，以 OA為底， P 點縱坐標的絕對值為高即可得到 △ OAP 的面積，由此可求得 S、x的函數(shù)關系式； （ 3）易知 △ OBC 是等腰 Rt△，且直角邊長為 6，根據(jù)垂直平分線的性質得出 P 點位置，進而求出即可． 【解答】 解：（ 1）由題意，在 y= x2﹣ 中，令 y=0 0= x2﹣ ， 解得： x=4 或 6， 當 x=0， y=6， 可得： A（ 4， 0）， B（ 6， 0）， C（ 0， 6）； （ 2）設一次函數(shù)的解析式為：