20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第二章31數(shù)乘向量練習(xí)題含答案(編輯修改稿)
2025-01-03 01:58 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (1)如圖 ， ABCD 是一個(gè)梯形 ， AB→ ∥ CD→ 且 |AB→ |＝ 2|CD→ |， M， N 分別是 DC， AB 的中點(diǎn) ，已知 AB→ ＝ e1， AD→ ＝ e2， 試用 e1， e2表示下列向量 ． ① AC→ ＝ ________； ② MN→ ＝ ________． (2)如圖所示 ， 已知 ?ABCD 的邊 BC， CD 的中點(diǎn)分別為 K， L， 且 AK→ ＝ e1， AL→ ＝ e2， 試用 e1， e2表示 BC→ ， CD→ . (鏈接教材 P87習(xí)題 2－ 3 A組 T5， T6) [解 ] (1)① 因?yàn)?AB→ ∥ CD→ ， |AB→ |＝ 2|CD→ |， 所以 AB→ ＝ 2DC→ ， DC→ ＝ 12AB→ ， 所以 AC→ ＝ AD→ ＋ DC→ ＝ e2＋ 12e1. ② MN→ ＝ MD→ ＋ DA→ ＋ AN→ ＝－ 12DC→ － AD→ ＋ 12AB→ ＝－ 14e1－ e2＋ 12e1 ＝ 14e1－ e2. 故 ① 填 e2＋ 12e1； ② 填 14e1－ e2. (2)設(shè) BC→ ＝ x， 則 BK→ ＝ 12x， AB→ ＝ e1－ 12x， DL→ ＝ 12DC→ ＝ 12AB→ ＝ 12e1－ 14x. 由 AD→ ＋ DL→ ＝ AL→ 得 x＋ 12e1－ 14x＝ e2， 解方程得 x＝ 43e2－ 23e1， 即 BC→ ＝ 43e2－ 23e1. 由 CD→ ＝－ AB→ ， AB→ ＝ e1－ 12x， 得 CD→ ＝ 12x－ e1＝ 12?? ??43e2－ 23e1 － e1 ＝－ 43e1＋ 23e2. 本例 (1)中 ， 若 BC→ ＝ e1， AD→ ＝ e2， 試用 e1， e2表示向量 MN→ . 解： 因?yàn)?MN→ ＝ MD→ ＋ DA→ ＋ AN→ ， MN→ ＝ MC→ ＋ CB→ ＋ BN→ ， 所以 2MN→ ＝ (MD→ ＋ MC→ )＋ DA→ ＋ CB→ ＋ (AN→ ＋ BN→ )， 又因?yàn)?M， N 分別是 DC， AB 的中點(diǎn) ， 所以 MD→ ＋ MC→ ＝ 0， AN→ ＋ BN→ ＝ 0. 所以 2MN→ ＝ DA→ ＋ CB→ ， 所以 MN→ ＝ 12(－ AD→ － BC→ )＝－ 12e2－ 12e1. 方法歸納 用已知向量表示其他向量的兩種方法 (1)直接法 (2)方程 法 當(dāng)直接表示比較困難時(shí) ， 可以首先利用三 角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系 ， 然后解關(guān)于所求向量的方程 ． 3． (1)如圖所示 ， D， E分別是 △ ABC 中邊 AB， AC 的中點(diǎn) ， 已知 BC→ ＝ a， BD→ ＝ b， 試用a， b分別表示 DE→ ， CE→ . (2)如圖 ， 四邊形 OADB是以向量 OA→ ＝ a， OB→ ＝ b為邊的平行四邊形 ． 又 BM→ ＝ 13BC→ ， CN→＝ 13CD→ ， 試用 a， b表示 OM→ ， ON→ ， MN→ . 解： (1)由三 角形中位線定理 ， 知 DE 綊 12BC， 故 DE→ ＝ 12BC→ ， 即 DE→ ＝ 12a. CE→ ＝ CB→ ＋ BD→ ＋ DE→ ＝－ a＋ b＋ 12a＝－ 12a＋ b. (2)因?yàn)?BM→ ＝ 13BC→ ＝ 16BA→ ＝ 16(OA→ － OB→ )＝ 16(a－ b)， 所以 OM→ ＝ OB→ ＋ BM→ ＝ b＋ 16a－ 16b＝ 16a＋ 56b. 因?yàn)?CN→ ＝ 13CD→ ＝ 16OD→ ， 所以 ON→ ＝ OC→ ＋ CN→ ＝ 12OD→ ＋ 16OD→ ＝ 23OD→ ＝ 23(OA→ ＋ OB→ )＝ 23(a＋ b)． 所以 MN→ ＝ ON→ － OM→ ＝ 23(a＋ b)－ 16a－ 56b＝ 12a－ 16b. 規(guī)范解答 利用向量共線定理解決與共線相關(guān)的問(wèn)題 (本題滿分 12 分 )如圖所示 ， 在 △ ABC 中 ， D， F 分別是 BC，AC 的中點(diǎn) ， AE→ ＝ 23AD→ ， AB→ ＝ a， AC→ ＝ b. (1)用 a， b表示向量 AD→ ， AE→ ， AF→ ， BE→ ， BF→ ； (2)證明： B， E， F 三點(diǎn)共線 ． [解 ] (1)如圖所示 ， 延長(zhǎng) AD 到 G， 使 AD→ ＝ 12AG→ ， 連接 BG， CG， 得到四邊形 因?yàn)?D 是 BC 和 AG 的中點(diǎn) ， 所以四邊形 ABGC 是平行四邊形 ， 則 AG→ ＝ AB→ ＋ AC→ ＝ a＋ b， 所以 AD→ ＝ 12AG→ ＝ 12(a＋ b)， AE→ ＝ 23AD→ ＝ 13(a＋ b).5分 因?yàn)?F 是 AC 的中點(diǎn) ， 所以 AF→ ＝ 12AC→ ＝ 12b. 所以 BE→ ＝ AE→ － AB→ ＝ 13(a＋ b)－ a ＝ 13(b－ 2a).8分 BF→ ＝ AF→ － AB→ ＝ 12b－ a＝ 12(b－ 2a).9分 (2)證明： 由 (1)可知 ， BE→ ＝ 13(b－ 2a)， BF→ ＝ 12(b－ 2a)， 所以 BE→ ＝ 23BF→ ， 即 BE→ ， BF→ 是共線向量 ， 又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn) B， 所以 B， E， F 三點(diǎn)共線 .12 分 [規(guī)范與警示 ] (1)由中點(diǎn)聯(lián)想到平行四邊形 ， 作輔助線得 處的結(jié)論是解答本題的關(guān)鍵；若在 處不能正確地利用向量 的加減法以及已表示出的 AE→ ， 則易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤 ， 導(dǎo)致失分；若未能正確地表示出 處的結(jié)論 ， 則無(wú)法證得結(jié)論 ， 是又一易失分點(diǎn) ． (2)① 在向量的加減運(yùn)算中 ， 需遵循平行四邊形法則和三角形法則 ， 在給出的圖形中有時(shí)需要借助輔助線構(gòu)造出相應(yīng)的圖形 ． ② 對(duì)于常見(jiàn)圖形中的基本量 ， 要熟練應(yīng)用三角形法則或平行四邊形法則表示 ． ③ 利用向量共線定理可以證明三點(diǎn)共
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