專題13立體幾何中的向量方法-20xx年高考數(shù)學(xué)理備考易錯(cuò)點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)(編輯修改稿)
2025-01-01 01:34 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 , 1 , 2) , ( 0 , 0 , 2) , ( 1 , 0 , 0)A B C D E F G? ? ? ? ? ? ?，. （ I）證明：依題意， ? ?( 2 , 0 , 0) , 1 , 1 , 2A D A F? ? ?.設(shè) ? ?1 ,n x y z? 為平面 ADF 的法向量，則 1100n ADn AF? ????????，即 2020xx y z??? ? ? ?? .不妨設(shè) 1z? ，可得 ? ?1 0,2,1n ? ，又 ? ?0,1, 2EG ??，可得 1 0EG n??，又因?yàn)橹本€ EG ADF? 平 面 ，所以 //EG ADF平 面 . （ II ） 解 ： 易 證 ， ? ?1,1,0OA?? 為平面 OEF 的一個(gè)法向量 . 依 題 意 ，? ? ? ?1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 2E F CF? ? ?.設(shè) ? ?2 ,n x y z? 為平面 CEF 的法向量，則 2200n EFn CF? ????????，即020xyx y z????? ? ? ?? .不妨設(shè) 1x? ，可得 ? ?2 1, 1,1n ?? . 因此有 2226c o s , 3OA nOA nOA n?? ?? ? ??，于是2 3s in , 3OA n? ??，所以，二面角O EF C??的正弦值為 33 . 9.【 2021年高考北京理數(shù)】（本小題 14分） 如圖，在四棱錐 P ABCD? 中，平面 PAD? 平面 ABCD ， PA PD? ， PA PD? ， AB AD? ， 1AB? ， 2AD? ， 5AC CD??. （ 1）求證： PD? 平面 PAB ； （ 2）求直線 PB 與平面 PCD 所成角的正弦值； （ 3）在棱 PA 上是否存在點(diǎn) M ，使得 //BM 平面 PCD ？若存在，求 AMAP 的值；若不存在，說(shuō)明理由 . 【答案】（ 1）見解析；（ 2） 33 ；（ 3）存在， 14AMAP? 【解析】（ 1）因?yàn)槠矫?PAD? 平面 ABCD ， AB AD? ， 所以 ?AB 平面 PAD ，所以 PDAB? ， 又因?yàn)?PDPA? ，所以 ?PD 平面 PAB ； （ 2）取 AD 的中點(diǎn) O ，連結(jié) PO ， CO ， 因?yàn)?PA PD? ，所以 ADPO? . 又因?yàn)??PO 平面 PAD ，平面 ?PAD 平面 ABCD ， 所以 ?PO 平面 ABCD . 因?yàn)??CO 平面 ABCD ，所以 ?PO CO . 因?yàn)?CDAC? ，所以 ADCO? . 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 xyzO? ，由題意得， )1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0( PDCBA ?. 設(shè)平面 PCD 的法向量為 ),( zyxn? ，則 ??????? ?? ,0,0PCn PDn即??? ?? ??? ,02 ,0zx zy 令 2?z ，則 2,1 ??? yx . 所以 )2,2,1( ??n . 又 )1,1,1( ??PB ，所以33,c o s ?????? PBn PBnPBn. 所以直線 PB 與平面 PCD 所成角的正弦值為 33 . 10.【 2021高考浙江理數(shù)】 (本題滿分 15分 )如圖 ,在三棱臺(tái) ABC DEF? 中 ,平面 BCFE? 平面 ABC , =90ACB? ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求證： EF⊥ 平面 ACFD； (II)求二面角 BADF的平面角的余弦值 . 【答案】（ I）證明見解析；（ II） 34 ． 【解析】（ Ⅰ ）延長(zhǎng) AD ， BE ， CF 相交于一點(diǎn) K ，如圖所示． 因?yàn)槠矫?BCFE? 平面 ABC ，且 AC BC? ，所以 AC? 平面 BCK ，因此 BF AC? ． 又因?yàn)?//EF BC ， 1BE EF FC? ? ?， 2BC? ， 所以 BCK△ 為等邊三角形，且 F 為 CK 的中點(diǎn)，則 BF CK? ． 所以 BF? 平面 ACFD ． （ Ⅱ ）方法一：過(guò)點(diǎn) F 作 FQ AK? 于 Q，連結(jié) BQ ． 因?yàn)?BF? 平面 ACK ，所以 BF AK? ，則 AK? 平面 BQF ，所以 BQ AK? ． 所以 BQF? 是二面角 B AD F??的平面角． 在 Rt ACK△ 中， 3AC? ， 2CK? ，得 3 1313FQ? ． 在 Rt BQF△ 中， 3 1313FQ? ， 3BF? ，得 3cos 4BQF??． 所以二面角 B AD F??的平面角的余弦值為 34 ． 方法二：如圖，延長(zhǎng) AD ， BE ， CF 相交于一點(diǎn) K ，則 BCK△ 為等邊三角形． 取 BC 的中點(diǎn) O ，則 KO BC? ，又平面 BCFE? 平面 ABC ，所以， KO? 平面 ABC ． 以點(diǎn) O 為原點(diǎn)，分別以射線 OB ， OK 的方向?yàn)?x ， z 的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz ． 由題意得 ? ?1,0,0B ， ? ?1,0,0C ? ， (0,0, 3)K ， ? ?1, 3,0A ?? ， 13( ,0, )22E ， 13F( ,0, )22? ． 因此， ? ?0,3,0AC? ， ? ?1,3, 3AK ? ， ? ?2,3,0AB? ． 設(shè)平面 ACK 的法向量為 ? ?1 1 1,x y z?m ，平面 ABK 的法向量為 ? ?2 2 2,x y z?n ． 由 00ACAK? ????????mm，得 11 1 1303 3 0yx y z????? ? ???，取 ? ?3,0, 1??m ； 由 00ABAK? ????????nn，得 222 2 22 3 03 3 0xyx y z?????? ? ???，取 ? ?3, 2, 3??n ． 于是， 3c o s ,4????mnmn mn． 所以，二面角 B AD F??的平面角的余弦值為 34 ． 易錯(cuò)起源 利用向量證明平行與垂直 例 如圖，在直三棱柱 ADE— BCF中，面 ABFE和面 ABCD都是正方形且互相垂直，點(diǎn) M為 AB的中點(diǎn)，點(diǎn) O為 DF的中點(diǎn)．運(yùn)用向量方法證明： (1)OM∥ 平面 BCF； (2)平面 MDF⊥ 平面 EFCD. 證明 方法一 由題意，得 AB， AD， AE兩兩垂直，以點(diǎn) A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 1，則 A(0,0,0)， B(1， 0,0)， C(1,1,0)， D(0,1,0)， F(1,0,1)， M??? ???12， 0， 0 ，O??? ???12， 12， 12 . (1)OM→ ＝ ??? ???0，－ 12，－ 12 ， BA→ ＝ (－ 1,0,0)， ∴ OM→ BA→ ＝ 0, ∴ OM→ ⊥ BA→ . ∵ 棱柱 ADE— BCF是直三棱柱， ∴ AB⊥ 平面 BCF， ∴ BA→ 是平面 BCF的一個(gè)法向量， 且 OM?平面 BCF， ∴ OM∥ 平面 BCF. (2)設(shè)平面 MDF與平面 EFCD的一個(gè)法向量分別為 n1＝ (x1， y1， z1)， n2＝ (x2， y2， z2)． ∵ DF→ ＝ (1，－ 1,1)， DM→ ＝ ??? ???12，－ 1， 0 ， DC→ ＝ (1,0,0)， CF→ ＝ (0，－ 1,1)， 由????? n1 DF→ ＝ 0，n1 DM→ ＝ 0. 得????? x1－ y1＋ z1＝ 0，12x1－ y1＝ 0， 令 x1＝ 1
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