【文章內(nèi)容簡介】 公理 2 作用：確定一個平面的依據(jù)。 推論 1： 過一條直線和直線外一點確定一個平面。 推論 2： 兩條相交直線確定一個平面。 推論 3： 兩條平行直線確定一個平面。 （ 3）演示：長方體模型中，兩個平面的交線的含義。 思考：把一個三角板 的一個角立在課桌上，三角板所在的平面與桌面所在的平面是否只相交于一點 B，為什么？ 歸納（公理 3）： 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。 符號表示： P ∈ α ∩β?α ∩β = l，且 P ∈ l。 B 22 公理 3 作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)。 例題： 用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系： 分析（ 1） BaAal ??? ???? ??? , ； （ 2） PlbPlabal ????? ??? , ???? 。 通過例子，讓學生 掌握圖形中點、線、面的位置關(guān)系及符號的正確使用。 課堂練習： 課本 P43 練習 4； P51 習題 A組 2。 （三）課時小結(jié)： （師生互動，共同歸納） （ 1）本節(jié)課我們學習了哪些知識內(nèi)容？ （ 2）三個公理的內(nèi)容及作用是什么？ （ 3）公理化方法：從一些原始概念（基本概念）和一些不加證明的原始命題（公理）出發(fā)，運用邏輯推理，推導出其他命題和定理的方法。 （四）作業(yè)布置 （ 1）復習本節(jié)課內(nèi)容； （ 2）預習：同一平面內(nèi)的兩條直線有幾種位置關(guān)系？ 教學反思： 23 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 授課類型： 新授課 授課時間： 第 周 年 月 日（星期 ） 一、教學目標 ： 知識與技能 ： 了解空間中兩條直線的位置關(guān)系；理解異面直線的概念、畫法，培養(yǎng)學生的空間想象能力；理解并掌握公理 等角定理 。 過程與方法 ： 師生的共同討論與講授法相結(jié)合 ， 讓學生在學習過程不斷歸納整理所學知識。 情感 態(tài)度 與價值 觀： 感受掌握空間兩直線關(guān)系的必要性，提高學習興趣。 二、教學重點 ： 異面直線的概念；公理 4 及等角定理。 難點： 異面直線 定義的理解 。 三、學 法 指導： 閱讀教材、思考 、 交流、概括，較好地完成本節(jié)課的教學目標。 四、教學 過程 （一）創(chuàng)設情景、導入課題 問題 1： 同一平面內(nèi)的兩條直線有幾種位置關(guān)系？空間中的兩條直線呢？ 問題 2： 沒有公共點的兩條直線一定平行嗎？ 問題 3： 沒有公共點的兩條直線一定在同一個平面內(nèi)嗎？ 觀察 ：如圖，長方體 ABCDA39。B39。C39。D39。中，線段 A39。B 所在的直線與線段 C39。C 所在直線的位置關(guān)系如何？ 舉例 ：舉出生活中類似的例子。 （二）講授新課 異面直線的定義： 不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 。 空間兩條直線的位置關(guān)系： 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點； 平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點； 異面直線：不同在任何一個平面內(nèi) ， 沒有公共點。 課堂練習 1： 正方體的棱所在的直線中，與直線 A1B 異面的有哪些？ 共面直線 24 答案： D1C1， CC1， B1C1， DD1， AD， CD。 課堂練習 2： 判斷下列命題是否正確，若正確，請簡述理由；若不正確，請舉出反例。 （ 1）沒有公共點的兩條直線是異面直線； （ 2）互不平行的兩條直線是異面直線； （ 3）分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定異面； （ 4）一個平面內(nèi)的直線與這個平面外的直線一定異 面； （ 5）分別與兩條異面直線都相交的兩條直線共面。 （ 6）分別與兩條異面直線都相交的兩條直線異面。 答案：（ 1） ~（ 6）都錯，反例略。 異面直線直觀圖的畫法 ： 異面直線的判定： （ 1）既不相交也不平行的兩條直線是異面直線。 （ 2）過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。 數(shù)學語言： , , ,A B l B l? ? ?? ? ? ? ?直線 AB 與直線 l 是異面直線。 探究： 如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么 AB、 CD、 EF、 GH這四條線段所在的直線是異面直線的 有 對。 分析： AB 與 CD， AB 與 GH， EF 與 GH 共 3 對。 平行公理： 引入 ： 在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？ 觀察： 如圖， 長方體 ABCDA39。B39。C39。D39。中， BB39?！?AA39。， DD39?！?AA39。， 那么 BB39。與 DD39。平行嗎？ 25 舉出現(xiàn)實中相應的例子（如教室里的燈管）。 歸納（ 公理 4） ： 平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 符號表示為：設 a、 b、 c 是三條直線 ， cacbba ////,// ? 。 強調(diào)：公理 4 實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。 公理 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。 等角定理： 引入： 在同一平面內(nèi)，如果一個角的兩邊與另一個的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，能否推廣到空間？ 觀察： 如圖， 長方體 ABCDA39。B39。C39。D39。中， ∠ ADC 與 A39。D39。C39。、 ∠ ADC 與 ∠ A39。B39。C39。的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？ ∠ ADC = ∠ A39。D39。C39。， ∠ ADC + ∠ A39。B39。C39。 = 1800。 歸納（ 等角定理 ） ： 空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行， 那么這兩個角相等或 互補。 拓展： 有關(guān)平面圖形的結(jié)論都可以推廣到空間中來嗎？試分別找出一個可以推廣和一個不可以推廣的例子。（如對邊相等的四邊形為平行四邊形，在平面圖形中成立，但在空間卻不成立。） 例題鞏固： 如圖，空間四邊形 ABCD 中， E、 F、 G、 H分別是 AB、 BC、 CD、 DA的中點，求證：四邊形 EFGH 是平行四邊形。 證明：連接 BD，因為 EH 是三角形 ABD 的中位線， 所以 EH // BD，且 BDEH 21? ；同理 FG // BD，且 BDFG 21? ； 所以 EH // FG，且 EH = FG，所以四邊形 EFGH 為平行四邊形。 探究：如果再加上條件 AC = BD，那么四邊形 EFGH 是什么圖形？（菱形） 拓展：若 AC⊥ BD，則四邊形 EFGH 又是什么圖形？（矩形） （三）課堂練習： 課本 P48，練習 1； P56 習題 [A組 ] 3， 6。 （四）本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？ 異面直線的概念：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，既不相交，也不平行，沒有公共點。 空間兩條直線的位置關(guān)系：相交、平行、異面。 26 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（平行線的傳遞性）。 等角定理： 空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。 （五）布置作業(yè)： 導與練 P34，基礎應用。 教學反思： 異面直線所成的角 授課類型： 新授課 授課時間： 第 周 年 月 日（星期 ） 一、教學目標 知識與技能： 理解并掌握異面直線所成的角的定義，熟記異面直線所成角的范圍，會用平移轉(zhuǎn)換法求異面直線所成的角。 過程與方法： 借助正方體、長方體這一主要載體，以師為主導，引導學生主動參與，探究異面直線所成角的概念形成過程，以及角的求解及其所蘊含的轉(zhuǎn)化思想 與化歸方法。 情感態(tài)度與價值觀： （ 1）通過本節(jié)學習，培養(yǎng)學生不斷探索發(fā)現(xiàn)新知識的精神，滲透事物相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點。 （ 2）培養(yǎng)學生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力以及邏輯推理能力，使學生初步掌握將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的數(shù)學思想。 二、教學重點： 異面直線所成的角的定義、范圍與計算。 難點： 空間平移點的選取及解題規(guī)范。 三、教學過程 （一）創(chuàng)設情景，引入新課 復習： 異面直線的概念：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，既不相交，也不平行，沒有公共點。 空間兩條直線的位置關(guān) 系：相交、平行、異面。 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（平行線的傳遞性）。 等角定理： 空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。 問題 1： 正方體 ABCD— A1B1C1D1 中， E 為 BC的中點，判斷直線 A1CA B A 1 B1 1 D 1 C1 1 C D E 27 B1C C1E、 C1C 與直線 AB 的位置關(guān)系。 說明： 從位置關(guān)系一看，同為異面直線，但它們的相對位置卻是不同的，說明僅用“異面”與考慮異面直線間的相對位置是不夠的。 問題 2： 用什么來刻畫兩條異面直線的相對位置呢？ 提示： 在平面幾何中，用“距離”來刻畫兩平行直線間 的相對位置，用“角”來刻畫兩相交直線間的相對位置。 問題 3： 一張紙中畫有兩條能相交的直線、（但交點在紙外），現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段。問如何量出、所成角的大?。科淅碚撘罁?jù)是什么？ 學生動手操作。 問題 4： 能否將上述結(jié)論推廣到空間兩直線？ （二）新授課 異面直線所成角的定義 （學生類比問題 3 給出定義）： 已知異面直線 a、 b，經(jīng)過空間中任一點 O 作直線 a39。 ∥ a、 b39。 ∥ b，把 a39。 與 b39。 所成的銳角（或直角）叫異面直線 a 與 b 所成的角（夾角）。 范圍： ]2,0( ??? 。 思考： 兩條異面直線所成角的大小是否隨空間任意點 O 位置的不同而改變？ 點 O 可任選，一般取特殊位置，如線段的中點或端點。 探究：（ 1） 如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直 ， 那么 ， 另一條直線是否也與這條直線垂直 ？ 即 a∥ b， 若 a⊥ c， 則 b⊥ c？ （成立，因為 b、 c 所成的角與 a、 c 所成的角相等，都是 90176。） （ 2） 垂直于同一條直線的兩條直線是否平行 ？ （否，兩條直線可能相交、平行或異面。） 例、習題剖析： 例 在正方體 ABCD— A1B1C1D1 中，求： （ 1） A1B1 與 CC1 所成的角； （ 2） A1B 與 CC1 所成的角； A B A 1 B 1 D 1 C 1 C D a b 28 （ 3） A1C1 與 BC 所成的角； （ 4） A1C1 與 D1C 所成的角； 分析：（ 1）∵ A1B // CC1 找 ∴ 11BBA? 為 A1B 與 CC1 所成的角 證 在△ A1BB1 中， ??? 4511BBA ； 算 ∴ A1B 與 CC1 所成的角為 45o 答 （ 2） ??? 4511BBA ； （ 3） ??? 45111 BCA ； （ 4） ??? 6011CBA 。 這種求法就是利用平移將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，通過解三角形來求解。把這種方法叫做 —— 平移法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”， 簡記為“找—— 證 —— 算 —— 答”。 變式一： （ 07福建卷） 如圖，在正方體 ABCD— A1B1C1D1 中， E、 F、 G、 H分別為 AAAB、 BB BC1 的中點，則異面直線 EF 與 GH 所成的角等于（ ） （ A） 45176。 （ B） 60176。 （ C） 90176。 （ D） 120176。 解： 連接 A1B， BC1， A1C1 作 ∵ A1B // EF， BC1 // GH ∴ ∠ A1B C1 為 EF1 與 GH 所成的角（或其補角） 證 在三角形 A1BC1 中， A1B = BC1 = A1C1 ∴ ∠ A1B C1=60176。 算 ∴ 異面直線 EF 與 GH 所成的角等于 60176。 答 小結(jié)： 求異面直線所成的角一般要有四個步驟： （ 1）作圖：作出所求的角及題中涉及的有關(guān)圖形等； （ 2）證明：證明所給圖形是符合題設要求的； （ 3）計算：一般是利用解三角形計算得出結(jié)果。 （ 4）結(jié)論。 簡記為“作（或找） —— 證 —— 算 —— 答”。 例 長方體 ABCD— A1B1C1D1 中， AA1