【正文】 2） 垂直于同一條直線的兩條直線是否平行 ？ （否，兩條直線可能相交、平行或異面。 思考： 兩條異面直線所成角的大小是否隨空間任意點(diǎn) O 位置的不同而改變？ 點(diǎn) O 可任選，一般取特殊位置，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)。 所成的銳角（或直角）叫異面直線 a 與 b 所成的角（夾角）。 ∥ b，把 a39。 問題 4： 能否將上述結(jié)論推廣到空間兩直線？ （二）新授課 異面直線所成角的定義 （學(xué)生類比問題 3 給出定義）： 已知異面直線 a、 b，經(jīng)過空間中任一點(diǎn) O 作直線 a39。 問題 3： 一張紙中畫有兩條能相交的直線、（但交點(diǎn)在紙外），現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段。 說明： 從位置關(guān)系一看，同為異面直線，但它們的相對(duì)位置卻是不同的，說明僅用“異面”與考慮異面直線間的相對(duì)位置是不夠的。 等角定理： 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。 空間兩條直線的位置關(guān) 系：相交、平行、異面。 難點(diǎn)： 空間平移點(diǎn)的選取及解題規(guī)范。 （ 2）培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力以及邏輯推理能力，使學(xué)生初步掌握將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的數(shù)學(xué)思想。 過程與方法： 借助正方體、長方體這一主要載體，以師為主導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，探究異面直線所成角的概念形成過程，以及角的求解及其所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想 與化歸方法。 （五）布置作業(yè)： 導(dǎo)與練 P34，基礎(chǔ)應(yīng)用。 26 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（平行線的傳遞性）。 （四）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？ 異面直線的概念：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，既不相交，也不平行，沒有公共點(diǎn)。 證明：連接 BD，因?yàn)?EH 是三角形 ABD 的中位線， 所以 EH // BD，且 BDEH 21? ；同理 FG // BD，且 BDFG 21? ； 所以 EH // FG，且 EH = FG，所以四邊形 EFGH 為平行四邊形。（如對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形，在平面圖形中成立，但在空間卻不成立。 歸納（ 等角定理 ） ： 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行， 那么這兩個(gè)角相等或 互補(bǔ)。C39。 ∠ ADC + ∠ A39。D39。C39。、 ∠ ADC 與 ∠ A39。D39。D39。B39。 公理 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。 符號(hào)表示為：設(shè) a、 b、 c 是三條直線 ， cacbba ////,// ? 。平行嗎？ 25 舉出現(xiàn)實(shí)中相應(yīng)的例子（如教室里的燈管）。 那么 BB39。 DD39。中， BB39。C39。在空間中，是否有類似的規(guī)律？ 觀察： 如圖， 長方體 ABCDA39。 分析： AB 與 CD， AB 與 GH， EF 與 GH 共 3 對(duì)。 數(shù)學(xué)語言： , , ,A B l B l? ? ?? ? ? ? ?直線 AB 與直線 l 是異面直線。 異面直線直觀圖的畫法 ： 異面直線的判定： （ 1）既不相交也不平行的兩條直線是異面直線。 （ 6）分別與兩條異面直線都相交的兩條直線異面。 課堂練習(xí) 2： 判斷下列命題是否正確，若正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由；若不正確，請(qǐng)舉出反例。 空間兩條直線的位置關(guān)系： 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)； 異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi) ， 沒有公共點(diǎn)。C 所在直線的位置關(guān)系如何？ 舉例 ：舉出生活中類似的例子。中，線段 A39。C39。 四、教學(xué) 過程 （一）創(chuàng)設(shè)情景、導(dǎo)入課題 問題 1： 同一平面內(nèi)的兩條直線有幾種位置關(guān)系？空間中的兩條直線呢？ 問題 2： 沒有公共點(diǎn)的兩條直線一定平行嗎？ 問題 3： 沒有公共點(diǎn)的兩條直線一定在同一個(gè)平面內(nèi)嗎？ 觀察 ：如圖，長方體 ABCDA39。 難點(diǎn)： 異面直線 定義的理解 。 情感 態(tài)度 與價(jià)值 觀： 感受掌握空間兩直線關(guān)系的必要性，提高學(xué)習(xí)興趣。 （四）作業(yè)布置 （ 1）復(fù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容； （ 2）預(yù)習(xí)：同一平面內(nèi)的兩條直線有幾種位置關(guān)系？ 教學(xué)反思： 23 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 授課類型： 新授課 授課時(shí)間： 第 周 年 月 日（星期 ） 一、教學(xué)目標(biāo) ： 知識(shí)與技能 ： 了解空間中兩條直線的位置關(guān)系；理解異面直線的概念、畫法，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力；理解并掌握公理 等角定理 。 課堂練習(xí)： 課本 P43 練習(xí) 4； P51 習(xí)題 A組 2。 例題： 用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系： 分析（ 1） BaAal ??? ???? ??? , ； （ 2） PlbPlabal ????? ??? , ???? 。 思考：把一個(gè)三角板 的一個(gè)角立在課桌上，三角板所在的平面與桌面所在的平面是否只相交于一點(diǎn) B，為什么？ 歸納（公理 3）： 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。 推論 3： 兩條平行直線確定一個(gè)平面。 推論 1： 過一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。 符號(hào)表示： A、 B、 C三點(diǎn)不共線 ? 有且只有一個(gè)平面 α ，使 A ∈ α、 B ∈ α、 C ∈ α 。 （ 2）實(shí)物演示：三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測(cè)量用的平板儀。 公理 1 作用：判斷直線是否在平面內(nèi)。 歸納（公理 1）： 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。 點(diǎn) A 在平面 α內(nèi)，記作： A ∈ α ；點(diǎn) B 在平面 α外，記作： B ?α 。 如果幾個(gè)平面畫在一起，當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)畫成虛線或不畫。 平面的畫法及表示 問題：在平面幾何中，怎樣畫直線？ 類比、遷移：水平放置的平面 通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角 畫成 450，橫邊長等于鄰邊的 2 倍長。 四、教學(xué)過程 （一）實(shí)物引入、揭示課題 生活中常見的如黑板、平整的操場(chǎng)、桌面、平靜的湖面等等，都給我們以平面的印象，請(qǐng)舉出更多例子。 難點(diǎn)： 平面基本性質(zhì)的掌握與運(yùn)用。 情感態(tài)度與價(jià)值觀： 認(rèn)識(shí)到我們所處的世界是一個(gè)三維空間，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣。 （五）課后作業(yè)： 補(bǔ)充練習(xí) 教學(xué)反思 20 第二章 點(diǎn)、直線、平面 之間的位置關(guān)系 平面 授課類型： 新授課 授課時(shí)間： 第 周 年 月 日（星期 ） 一、教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能： 利用生活中的實(shí)物對(duì)平面進(jìn)行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直觀圖；掌握平面的基本性質(zhì)及作用；培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。 64 個(gè)半徑為 1 的鐵球熔化后鑄成一個(gè)大球，則該大球的半徑為 。 已知過球面上 A、 B、 C 三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑 的一半，且 AB = BC = CA = 2，則球的表面積為 。 正方形的內(nèi)切球和外接球的體積的比為 ，表面積比為 。 半徑為 R 的球的內(nèi)接正方體的體積為 。 （三） 鞏固深化、反饋矯正 如果球的大圓周長是 20π cm，那么它的表面積是 。 19 例 2： 長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長分別為 5， 且 它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是 。 （ 4） 若 兩球體積之比是 1 : 2，則其表面積之比是 。 （ 2） 若球半徑變?yōu)樵瓉淼?2倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼? 倍 ，體積變?yōu)樵瓉淼? 倍 。（ 鋼的密度是 ） 球的表面積： 設(shè)球的半徑為 R，那么它的表面積為 24SR?? ，也是以 R 為自變量的函數(shù)。 練習(xí) 1： 一個(gè)鋼球的直徑是 5，則它的體 積是 。 難點(diǎn)： 應(yīng)用球的體積和表面積公式解決有關(guān)問題。 情感 、態(tài)度 與價(jià)值觀 ： 通過 球的有關(guān)公式的應(yīng)用 ，提高空間思維能力和空間想象能力，增強(qiáng)探索問題和解決問題的信心。 教學(xué)反思 18 球的體積和表面積 授課類型：新授課 授課時(shí)間： 第 周 年 月 日（星期 ） 一、 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能 ： 了解球的表面積和體積的計(jì)算公式，能利用所學(xué)公式解決一些簡(jiǎn)單的與球有關(guān)的面積與體積的問 題。用聯(lián)系的關(guān)點(diǎn)看待三者之間的關(guān)系，更加方便于我們對(duì)空間幾何體的了解和掌握。 將長為 2π dm，寬為π dm 的長方形紙片圍成一個(gè)容器（不考慮底面，也不考慮粘接處），立放于桌面上，下面四種方案中，容積最大的是（ ） （ A）直三棱柱 （ B）直四棱柱 （ C）高為π dm的圓柱 （ D）高為 2π dm 的圓柱 用一塊長 2米寬 1 米的矩形木板，在底面兩直線的夾角為 60的墻角處圍出一個(gè)直棱柱形的谷倉，試問怎樣圍才能使 谷倉的容積最大？求出谷倉容積的最大值。 棱臺(tái)的兩個(gè)底面面積分別是 245cm2和 80cm2，截得這個(gè)棱臺(tái)的棱錐的高為 35cm，求這個(gè)棱臺(tái)的體積。 （四） 鞏固深化、反饋矯正 補(bǔ)充練習(xí)： 圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為 2 和 4 的矩形，則圓柱的體積是 。 比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間存在的關(guān)系： （ 三 ） 例題分析 例： 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 g / cm3）六角螺帽共重 ，已知底面是正六邊 形，邊長為 12mm，內(nèi)孔直徑為 10mm，高為 10mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)（π取 ，可用計(jì)算器）？ 分析： 六角螺帽表示的幾何體是一個(gè)組合體，在一個(gè)六棱柱中間挖去一個(gè)圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積。 臺(tái)體的體積 由于圓臺(tái)（棱臺(tái)）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差，得到員臺(tái)（棱臺(tái)）的體積公式： 1 ()3V S S S S h??? ? ?，其中 S? ， S 分別為上、下底面面積， h為圓臺(tái)（棱臺(tái)）的高。 棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的 13。 錐體的體積 圓錐的體積公式是 13V Sh? （ S 為底面面積， h為高），它是同底等高的圓柱的體積的 13 。 （二）講授新課 柱體的體積 一般柱體的體積也是 V = Sh，其中 S 為底面面積， h 為棱柱的高。 三、學(xué)法 指導(dǎo)： 通過閱讀教材，自主學(xué)習(xí)、思考、交流、討論和概括，通過剖析實(shí)物幾何體感受幾何體的特征，從而更好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。 情感 態(tài)度 與價(jià)值 觀 ： 感受到幾何體體積的求解過程，對(duì)自己空間思維能力 的 影響 ，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性。 （ 2）能運(yùn)用公式求解柱體、錐體和臺(tái) 體的體積， 并且熟悉臺(tái)體與 柱 體和錐 體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 （五）課后作業(yè) ： P28，習(xí)題 ， A組 2。 長方體 AC1，若在 A 點(diǎn)有一只蜘蛛， C1 處有一只蒼蠅，蜘蛛要盡快地到達(dá) C1 捕獲蒼蠅，問蜘蛛的最短路程是多少？ 圓錐 PO 的底面半徑是 1，母線長為 3， M是底面圓周上任一點(diǎn)，從點(diǎn) M 拉緊一條繩子，環(huán)繞圓錐側(cè)面一周再回到 M 處，若使繩子最短，則它的長度應(yīng)該是多少？ （四） 課堂小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了柱體、錐體與臺(tái)體的表面積的結(jié)構(gòu)和求解方法及公式。 把一個(gè)半 圓卷成圓錐的側(cè)面，則圓錐母線間的最大夾角是 。過頂點(diǎn)的截面三角形中，面積的最大值為 2，則此圓錐的側(cè)面積是 。 等邊圓柱的軸截面面積是 S，則它的側(cè)面積是 。 （三）鞏固深化，反饋矯正 補(bǔ)充練習(xí)： 已知圓錐的表面積為 a m2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面直徑為 。已知每平方米用 100 毫升油漆，涂 100 個(gè)這樣的花盆需要多少油漆？ 分析：只需求出每一個(gè)花盆外壁的表面積，就可求出油漆 14 的用量，而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面面積加上底面面積，再減去底面圓孔的面積。 例 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為 20，盆底直徑為15，底部滲水圓孔直徑為 15，盆壁長 15。 圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如果圓錐的底面半徑為 r，母線長為 l，那么它的表面積為 2 ()S r rl r r l? ? ?? ? ? ?。 分析： 邊長為 a 的正三角 形的面積 2432321 aaaS ????， 所給幾何體為正四面體，其四個(gè)面為全等的等邊三角形，故其表面積為 234 aSS ?? ? 。 （二） 探究新知 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積： 探究： 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？ 13 把多面體展成平面圖形，利用平面圖形求面積