冀教版數(shù)學(xué)九上323矩形、菱形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明(編輯修改稿)
2024-12-24 23:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ． (1)試判斷四邊形 PQEF的形狀，并證明； (2)PE是否總過某一定點 ?并說明理由； (3)四邊形 PQEF的頂點位于何處時，其面積有最大值和最小值 ?最大值和最小值各是多少 ? 分析： (1)猜想四邊形 PQEF為正方形，先證它為菱形， 再證有一直角即可； (2)此問是動態(tài)問題，緊緊抓住運動過程中的不變量，即 AP CE，四邊形 APCE為平行四邊形，易知 PE與 AC平分于點 O； (3)此問中顯然當(dāng)點 P， Q， E， F分別運動至與正方形 ABCD各頂點重合時面積最大，分 析最小值時的情形可根據(jù) S 正 = PE2，而 PE最小時是 PE⊥ AB，此時 PE=BC． 解： (1)四邊形 PQEF為正方形，證明如下： 在正方形 ABCD中， ∵ AB=BC=CD=DA， AP=BQ=CE=DF， ∴ BP=QC=ED=FA． 又 ∵∠ BAD=∠ B=∠ BCD=∠ D=90176。 ， ∴△ AFP≌△ BPQ≌△ CQE≌△ DEF． ∴ FP=PQ=QE=EF， ∠ APF=∠ PQB， ∴∠ FPQ=90176。 ． ∴ 四邊形 PQEF為正方形． (2)連接 AC交 PE于點 O． ∵ AP EC， ∴ 四邊形 APCE為 平行四邊形． 又 ∵ O為對角線 AC的中點， ∴ 對角線 PE 總過 AC的中點． (3)當(dāng) P運動至與 B重合時，四邊形 PQEF面積最大，等于原正方形面積， 當(dāng) PE⊥ AB時，四邊形 PQEF的面積最小，等于原正方形面積的一半． 小結(jié)： 探索動態(tài)問題，解答的關(guān)鍵是抓住它不動的一瞬間和運動中的不變量，即動中求靜，這類題目是中考的熱點考題． 例 如圖所示，在 △ ABC中， ∠ ACB=90176。 ， AC=2， BC=3， D是 BC邊上一點，直線 DE⊥ BC于 D，交 AB于 E， CF//AB，交直線 DE于 F，設(shè) CD=x． (1)當(dāng) x取何值時，四邊 形 EACF是菱形 ?請說明理 由； (2)當(dāng) x取何值時，四邊形 EACD的面積等于 2？ 分析：
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