抽樣技術(shù)-第7章(編輯修改稿)
2025-03-26 02:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 如果輔助變量的信息未知 , 可以利用二重抽樣進行比估計。下面以對總體均值 Y?的估計為例進行討論。 第 1 步 : 從總體的 N 個單位中隨機抽取第一重樣本 , 樣本單位數(shù)為 n39。 。 對于第一重樣本 , 僅觀測輔助變量信息 , 用輔助變量的樣本均值 x?39。=1n∑i = 1n 39。x39。 i 估計總體均值 X?。 第 2 步 : 從第一重樣本中隨機抽取出第二重樣本 , 樣本單位數(shù)為 n 。 對于第二重樣本 , 觀測研究變量與輔助變量 , 并用獲得的 y?和 x?, 計算 R＾=y?x? , 構(gòu)造比估計。 (1) 二重抽樣比估計 二重抽樣對總體均值 Y?的比估計 : y?RD=y?x? x?39。 ( 7 . 11 ) 式中 , y?, x?分別是第二重樣本研究變量與輔助變量的樣本平均數(shù) 。 x?39。是第一重樣本輔助變量的平均數(shù)。 ( 2 ) 二重抽樣比估計的性質(zhì) 定理 與簡單隨機抽樣下的比估計一樣 , y?RD是個有偏估計 , 其偏差隨著樣本量的增大而縮小。當(dāng)?shù)诙貥颖镜臉颖玖? n 足夠大時 , y?RD=y?x? x?39。是近似無偏的。即 E ( y?RD) ≈ Y? ( 7 . 12 ) 因為在第二重樣本的 n 足夠大時 , E 2 ( R＾) ≈ R39。 , 式中 , R＾=y?x? , R39。=y?39。x?39。, 所以 E ( y?RD) =E 1 E2 y?RD =E 1 x?39。 E2( R＾) ≈ E 1 y?39。 = Y? 因此 , y?RD是 Y?的近似無偏估計。 定理 7 .5 二重抽樣比估計的方差為 : V ( y?RD) =V 1 E2( y?RD) +E 1 V2( y?RD) ≈ V 1 y?39。 +E 1 ( x?39。 )2V2( R＾) ≈ 1n 39。1N Sy2+ 1n1n 39。 ( Sy2+R2Sx2 2 RS yx ) ( 7 . 13 ) 通常 1N可忽略 , 因此 V ( y?RD) ≈1nSy2+ 1n1n 39。 ( R2Sx2 2 RS yx ) ( 7 . 14 ) 式中 , Sy2, Sx2, S xy 分別為 Y 和 X 的總體方差和總體協(xié)方差 , R=Y?X? 。 定理 二重抽樣比估計方差的樣本估計 : v ( y?RD) =1nsy2+ 1n1n 39。 ( R＾2sx2 2 R＾s yx ) ( 7 . 15 ) 式中 , 使用 Y 的第二重樣本方差 sy2估計總體方差 Sy2。 使用 X的第二重樣本方差 sx2估計總體方差 Sx2。 使用 Y 和 X 的第二重樣本協(xié)方差 s xy 估計總體協(xié)方差 。 使用第二重樣本比率 R＾=y?x? 估計總體比率 R=Y?X? 。 【 例 】 ? 某住宅小區(qū)共有 200個住戶 ,現(xiàn)欲估計小區(qū)住戶家庭月平均收入的平均水平。家庭收入的數(shù)據(jù)不易調(diào)查 ,而家庭支出的資料相對容易獲取 ,而且家庭月平均收入與家庭月平均支出之間強相關(guān) ,因此擬采用二重抽樣比估計方法。先從住戶中隨機抽取 100個住戶作為第一重樣本 ,調(diào)查家庭月平均支出 ,結(jié)果家庭月平均支出的樣本均值為 1 500元 。然后從這 100個住戶中隨機抽選 10戶作為第二重樣本 ,調(diào)查家庭月平均收入和家庭月平均支出 ,資料見表 7—2。試估計該小區(qū)家庭月平均收入 ,并計算估計量標(biāo)準(zhǔn)誤差。 表 7 — 2 某小區(qū)住戶家庭收支的樣本數(shù)據(jù) 單位 : 元 樣本住戶 家庭月平均支出 X i 家庭月平均收入 Y i 1 1 500 2 000 2 1 200 1 800 3 2 000 2 800 4 1 800 2 500 5 1 300 1 900 6 3 000 5 800 7 8 00 1 300 8 1 400 2 000 9 1 600 2 300 10 1 100 1 600 解 : 由題知 x?39。= 1 500 , 由表 7 — 2 , 計算 y?= 2 400 , x?= 1 570 , R＾= 1 . 528 7 sy2= 1 613 333 , sx2= 371 2 22 . 2 , s yx = 747 777 . 8 根據(jù)式 ( 7 . 11 ), 該小區(qū)住戶的平均家庭月收入估計為 : y?RD=y?x? x?39。= 1 . 528 7 1 500 = 2 293 ( 元 ) 根據(jù)式 ( 7 . 15 ), y?RD的方差估計為 : v ( y?RD) ≈1nsy2+ 1n1n 39。 ( R＾2sx2 2 R＾s yx ) ≈1 613 33310+ 1101100 ( 1 . 528 72 371 2 22 . 2 2 1 . 528 7 747 777 . 8 ) = 33 646 . 89 y?RD的標(biāo)準(zhǔn)差的估計為 : s ( y?RD) = v ( y?RD) = 183 . 43 ( 元 ) 捕獲再捕獲抽樣 ? 一、捕獲再捕獲估計 捕獲再捕獲抽樣的基本思想 是從總體中抽取一個樣本 ,將樣本的每個個體標(biāo)識 (作標(biāo)記或加標(biāo)簽 ) 后釋放回總體中 ,經(jīng)過一段時間的充分混合后 ,再從總體中抽取一個樣本 ,此時 ,該樣本將包括已標(biāo)識的和未標(biāo)識的個體 ,利用這兩個樣本的信息對總體數(shù)量做估計。 該方法實際上是 兩階段抽樣方法 。 ? 彼德森 (Peterson,1896)首先提出了捕獲再捕獲抽樣方法 ,并將該方法用于野生動物的數(shù)量研究中。 ? 施納貝爾 (Schnabel,1938)將此方法擴展到多樣本情形 ,即對第二次捕獲的個體標(biāo)識后再釋放回總體中 ,進行第三次抽樣。這種方法計算比較簡單 ,精確度也較高 ,因而得到廣
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