【文章內(nèi)容簡介】 . 三、抽樣極限誤差 抽樣極限誤差 是從另外一個角度來考慮抽樣誤差的問題。 用樣本指標(biāo)估計總體指標(biāo) 的同時，必須要同時考慮抽樣誤差的大小。 )( PpXx ?? 或即 抽樣極限誤差 是指抽樣指標(biāo)與總體指標(biāo)之間抽樣誤差可允許的范圍。又稱為允許誤差或抽樣誤差范圍。它等于樣本指標(biāo)可允許變動的上 下限與總體指標(biāo)的絕對值。 樣本平均數(shù)的抽樣極限誤差 Xxx ??? 樣本成數(shù)的抽樣極限誤差 Ppp ???上面兩式可改寫成以下兩個不等式，即： . . xx xXx ?? ???? )( xx xx ?? ?? ,為總體平均數(shù)的 估 計區(qū)間（置信區(qū)間） pppp P ?? ???? )( pp pp ?? ?? ,為總體成數(shù)的 估計 區(qū)間（置信區(qū)間） 例如 ,要估計某鄉(xiāng)糧食畝產(chǎn)量和總產(chǎn)量，從該鄉(xiāng) 2萬畝 糧食作物中抽取 400畝 ，求得其平均畝產(chǎn)量為 400公斤 。如果確定抽樣極限誤差為 5公斤 ，試估計該鄉(xiāng)糧食畝產(chǎn)量和總產(chǎn)量所在的置信區(qū)間。 即 該鄉(xiāng)糧食畝產(chǎn)量的區(qū)間落在 400177。 5公斤 的范圍內(nèi)，即在 395～ 405公斤之間。 5 400 ?? ? xx? . . 又如 ,要估計某高校 10000名 在校生的近視率，現(xiàn)隨機從中抽取 400名 ，計算的 近視率為 80％ ，如果確定允許誤差范圍為 4％ ，試估計該高校在校生近視率所在的置信區(qū)間。 該校學(xué)生近視率的區(qū)間落在 80％ 177。 4％ 的范圍內(nèi)，即在 76％～ 84％之間。 糧食總產(chǎn)量在 20230 （ 400177。 5） 公斤，即在 790～ 810萬公斤之間。 %% 4 80 ?? ? xp? . . 四、抽樣誤差的概率度 基于 概率估計 要求， 抽樣極限誤差 △ x 或 △ p 通常需要以 抽樣平均誤差 μx 或 μp 為標(biāo)準(zhǔn)單 位來衡量。 把 抽樣極限誤差 △ x 或 △ p 分別除以 μx 或 μp得相對數(shù) t， 表示誤差范圍為抽樣平均誤差的 t倍。 t是測量抽樣估計可靠程度的一個參數(shù)，稱為 抽樣誤差的概率度。 。xxt???xx t???。ppt???pp t??? . . 如在上例， 已知某鄉(xiāng)糧食畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差為σ =80公斤，總體單位數(shù) N =20230畝，樣本單位數(shù) n=400畝，求得其抽樣平均誤差為 。 ( 公斤)440080 ??? nx ?? 如果確定抽樣極限誤差為 5公斤，則，我們可以用概率度： xxt??? ?? 表示抽樣極限的誤差范圍，即用 來規(guī)定誤差范圍的大小。 . . 五、抽樣估計的置信度 抽樣估計的置信度 就是表明 樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)的誤差不超過一定范圍的概率保證程度，它一般用 F(t） 表示 。 又稱 抽樣估計的 概率 保證程度 。 )()( tFtXx xxP ???? ? ? )()( tFtxXtxxxP ????? ?? )()( tFtp ppP ???? ? ? 總體平均數(shù) 抽樣估計的置信度： 總體成數(shù) 抽樣估計的置信度： )()( tFtptp pp PP ???? ?? . . 如前所述： Xxx ??? 從主觀愿望上講，我們當(dāng)然希望樣本指標(biāo)的估計值都能夠落在允許的誤差范圍內(nèi)，但由于 樣本指標(biāo)值隨著樣本的變動而變動，它本身是個隨機變量，因而樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)的誤差仍然是個隨機變量，并不能保證誤差不超過一定范圍這件事是必然的，而只能給以一定程度的概率 保證。 xx xXx ?? ???? Ppp ??? pp pp P? ??? )()( tFtXxxxP ???? ? ? )()( tFtp ppPP ???? ? ? ％ 即抽樣極限誤差越大 （概率度越大），則抽樣估計 的置信度越大，但是抽樣估計 的準(zhǔn)確性越小。反之亦然。 . . ％ ％ X xx ?? xx ?2x 3?x? xx ?2 xx ?3?（置信區(qū)間） （置信度） F(t)是 t的函數(shù)，是概率面積。 可見 F(t)與 t是正比關(guān)系，而與 Δ 也是正比關(guān)系。 當(dāng) t = 1 xx μ?? ％????? )( xx μxμx XP當(dāng) t = 2 xx μ2?? ％95 .4522 ????? )( xx xx X ??當(dāng) t = 3 xx μ3?? ％99 .7333 ????? )( xx xx XP ?? )()( tFtxXtx xxP ????? ?? )()( tFtXxxx ???? ? ? . . 第三節(jié) 抽樣估計的方法 一、總體參數(shù)的點估計 二、總體參數(shù)的區(qū)間估計 三、樣本容量 n的確定 . . 一、總體參數(shù)的點估計 （第 90頁） （一）點估計的概念 即用樣本統(tǒng)計量直接估計總體參數(shù)。 Xx ?Pp ?（二）抽樣估計的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn) 衡量一個樣本統(tǒng)計量是否是總體參數(shù)的優(yōu)良的估計量標(biāo)準(zhǔn)有 無偏性、一致性 和 有效性 。 。 即如果 樣本統(tǒng)計量 的 數(shù)學(xué)期望值等于被估計的總體參數(shù)本身，則該統(tǒng)計量是被估計參數(shù)的無偏估計量。 ? ? XN Xk xx ??? ??? . . 即當(dāng) 樣本容量 n充分大時，若樣本統(tǒng)計量充分地靠近被估計的參數(shù)本身。則該統(tǒng)計量是被估計參數(shù)的一致估計量。 。 nsnx?? ??nN 越小x? 即若 一個估計量的方差樣本比其它估計量的方差小，則該統(tǒng)計量是被估計參數(shù)的有效估計量。 。 NXX? ?? 22 ）（?nkXxx222 ?? ?? ? ? )(22 ?? ??xXxX . . 二、總體參數(shù)的區(qū)間估計 （第 91頁） （一）區(qū)間估計的概念 （二） 區(qū)間估計的要素 （三） 區(qū)間估計的方法 所構(gòu)成的區(qū)間來估計總體參數(shù)，并以一定的概率保證總體參數(shù)將落在所估計的區(qū)間內(nèi)。 . . （一） 區(qū)間估計的概念 在統(tǒng)計分析中，我們常常 用一個 區(qū)間 及其出現(xiàn)的 概率 來估計 總體參數(shù) 。這種估計總體參數(shù)的方法稱為 區(qū)間估計 。 具體地說， 區(qū)間估計 是用 估計量 px或 這一概率保證程度 稱為 置信度 ，這種估計區(qū)間稱為 置信區(qū)間 。 例如： )()( tFtXx xxP ???? ? ? )()( tFtxXtx xxP ????? ??即： . . （二） 區(qū)間估計的要素 1. 估計值（樣本指標(biāo)） 2. 抽樣極限誤差 3. 置信度 px 或 pp tt xx ?? ?? ?? 或)(tF（概率保證程度） （三）區(qū)間估計的方法 )()( tFtxXtx xxP ????? ?? 區(qū)間估計 )()( tFtt pp pp P ????? ?? . . 例 45： 從某廠生產(chǎn)的 5000只燈泡中，隨機不重復(fù)抽取 100只，對其使用壽命進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如 表 45。 又該廠質(zhì)量規(guī)定使用壽命在3000小時以下為不合格品。 表 45 使用壽命 （小時） 產(chǎn)品數(shù)量 （只） 3000以下 3000 — 4000 4000 — 5000 5000以上 2 30 50 18 合 計 100 （ 1）按不重復(fù)抽樣方法，以 %的概率保證程度估計該批燈泡的平均使用壽命； （ 2）按不重復(fù)抽樣方法，以 %的置信度估計該批燈泡的合格率。 （ 1） ∵ N = 5000 n = 100 F(t) = % t = 2 . . 使用壽命 （小時） 組中值 產(chǎn)品數(shù)量 3000以下 3000 — 4000 4000 — 5000 5000以上 2500 3500 4500 5500 2 30 50 18 5000 105000 225000 99000 1480 840 160 1160 6771200 21168000 1280000 24220800 合 計 — 100 434000 — 53440000 x解： 樣本平均數(shù)： ???fxfx(小 時)43 4010043 4000 ??樣本標(biāo)準(zhǔn)差： ?? ??ffxxs 2）（ 73 6710053 4400 00 ?fxf xx? fxx 2)( ? . . xx t???總體平均壽命所在的置信區(qū)間為 : 上限： xtx ?? )( ??? (小時 ) ???下限： xt? ）( ?樣本平均壽命的抽樣平均誤差： 5000100110073 1. 0276 ???Nnnx?? 1?? 即可以 %的概率保證程度估計該批燈泡的平均使用壽命在 ～ 。 Nnns ?? 1 . . )(50001001100 ???0. 014?)( 1)1( Nnn PPp ????樣本合格率： （ 2） ∵ n1 = 98 n = 100 F(t) = ％ t = 1 nnp 1? 10098 ??樣本合格率的抽樣平均誤差： ????? pp t ?總體合格率所在的置信區(qū)間為 : 上限： ptp ??下限： pt? ??? ? 即可以 %的概率保證程度估計該批燈泡的合格率 ％ ～ ％ 之間。 . . 例 46： 對某批成品按不重復(fù)抽樣方法抽選 200件檢查，其中廢品 8件，又知樣本容量為成品總量的 (1／ 20)。以 95％ 的把握程度估計該批成品的廢品率范圍。 解： N = 4000 n = 200 n1 = 8 F(t) = 95％ t = 0. 042023 廢品率 ??? nnp 1 )( 1)1( Nnn PPp ???? 0. 0135)201(1200