第03講隨機決策理論與方法-1(編輯修改稿)
2025-03-18 19:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 函數(shù)內(nèi)滿足效用存在公理？v 效用的公理化定義 ：在上述公理系統(tǒng)中，若展望空間上存在實值函數(shù) u，有：? 對展望空間中的任意展望 P P2， P1P2 iff u(P1)u(P2)? u(?P1+(1?)P2)= ?u(P1)+(1?)u(P2) (復合展望的效用等于展望效用的復合 )? 對滿足上述條件的 u1, u2, 必有 u1(Pi)=bu2(Pi)+c, 其中 b, c∈ R1， b0。（ 任意兩個決策人的效用是線性相關(guān)的 ）決策理論與方法 隨機決策理論與方法效用函數(shù) — 基數(shù)性和序數(shù)性v 前述定義的效用是一種基數(shù)效用，不僅能夠反映決策者的偏好次序，還能夠反映決策者的偏好強度。v 但在實際決策中，有時只需要偏好次序而不一定需要知道偏好強度就可以決策。此時只需要序數(shù)效用就可以了。有關(guān)序數(shù)效用的應用在多屬性決策中介紹。v Hicks對效用函數(shù)的基數(shù)性和序數(shù)性的比喻 ：如果知道兩個人的身高，那么我們可以把高個兒排在第一位；如果不知道他倆的身高也沒關(guān)系，讓他們比一下就可以了。決策理論與方法 隨機決策理論與方法效用函數(shù) — 效用函數(shù)值的估計v 概率當量法 (Von Neumann, Menstern， NM法 )： 設(shè)決策系統(tǒng)的自然狀態(tài)集 Θ={?1,…, ?n}、 行動集 A={a1, …, am}、后果集 C={cij=c(ai,?j)}，最優(yōu)后果為 c*=max {cij}，最劣后果為 c0=min {cij}。則對于任意后果 cij的效用值u(cij)，可按以下步驟獲得：? 設(shè) u(c*)=1, u(c0)=0；? 建立簡單展望 p,c*。1p,c0， p可調(diào)? 反復向決策人提問，改變可調(diào)概率 p，使得當 p=pij時得到如下的無差異關(guān)系： cij~pij,c*。1pij,c0? 測得后果 cij的效用值為： u(cij)=pij*u(c*)+(1pij)*u(c0)=pij決策理論與方法 隨機決策理論與方法效用函數(shù) — 效用函數(shù)值的估計v 確定當量法 （修正 NM法） ：? 設(shè) u(c*)=1, u(c0)=0；? 建立簡單展望 p,c*。1p,c0， p為 01間的給定值，如 p=? 反復向決策人提問，改變 cij得到如下的無差異關(guān)系：cij~p,c*。1p,c0? 測得后果 cij的效用值為： u(cij)=p*u(c*)+(1p)*u(c0)=pijv 增益當量法 ：已知 u(cij)和 u(c0)，確定 u(c*)的方法v 損失當量法 ：已知 u(cij)和 u(c*)，確定 u(c0)的方法決策理論與方法 隨機決策理論與方法效用函數(shù) — 效用函數(shù)的構(gòu)造（離散型）v 看球的效用函數(shù)構(gòu)造（不考慮經(jīng)濟成本）1. 構(gòu)建問題的決策樹，根據(jù)一般偏好，四種后果的優(yōu)劣是 C2C3C4C1；2. 令 u(C1)=0, u(C2)=1；3. 詢問 1： “下雨看電視轉(zhuǎn)播 ”的后果與 “現(xiàn)場看球 ”時有多大的概率下雨被淋相當？ (例如： ，則 u(C3)=)4. 詢問 2： “天晴看電視轉(zhuǎn)播 ”的后果與 “現(xiàn)場看球 ”時有多大的概率下雨被淋相當？ (例如： ，則 u(C4)=)5. 一致性檢驗：用 C3， C4加上 C1(或 C2)進行校驗，直至一致性得到滿足?，F(xiàn)場現(xiàn)場看球看球 a1電視電視看球看球 a2C4:天晴看電視天晴看電視C3:下雨沒被淋下雨沒被淋C2:天晴未被淋天晴未被淋C1:下雨被淋下雨被淋決策理論與方法 隨機決策理論與方法效用函數(shù) — 效用函數(shù)的構(gòu)造（連續(xù)型）v 若后果是連續(xù)型，則可通過分析 u(c)的若干特征值，求出特征點的效用后再連成光滑曲線。v 例：試作出每天投入學習的時間 t對應的效用曲線。? 分析特征點： u(t=0)=0。 u(tTM)=0(TM=?)；狀態(tài)導入期（ 0～ t0），效用增加較慢；狀態(tài)穩(wěn)定期 (t0～ t1)，效用與投入學習的時間基本成比例關(guān)系；效率下降，效用增加期 (t1~tm)，效用是投入學習的時間的單調(diào)增函數(shù)，但增長率小于狀態(tài)穩(wěn)定期且隨著時間的增加越來越小，最終達到零 (t=tm)，此時效用達到最大；當投入的學習時間大于tm時，將會得不償失，學習效率急劇降低，效用減少。決策理論與方法 隨機決策理論與方法效用函數(shù) — 效用函數(shù)的構(gòu)造（連續(xù)型）t0 t1 tm tM0 24U(t)Umaxt決策理論與方法 隨機決策理論與方法效用函數(shù) — 風險與效用v 風險 ：遇到破壞或損失的機會或危險。? “風險 ”：以打魚捕撈為生的漁民們在長期的捕撈實踐中，深深的體會到 “風 ”給他們帶來的無法預測無法確定的危險，他們認識到，在出海捕撈打魚的生活中， “風 ”即意味著 “險 ”，因此有了 “風險 ”一詞的由來。? 風險包含兩個方面的內(nèi)容：一是后果的損失嚴重程度；二是損失出現(xiàn)的可能性大小。? 參考： 決策理論與方法 隨機決策理論與方法效用函數(shù) — 風險與效用v 風險的度量? 方差 ：設(shè)某決策方案 a的后果為收益 y， y的概率密度函數(shù)為 f(y)，期望值為 E(y)，則方差可用來度量風險，方差越大風險越大。? 協(xié)方差 ：若期望收益為決策人設(shè)定的目標收益 c，則可用協(xié)方差度量風險。? 臨界概率 ：小于目標收益的概率。決策理論與方法 隨機決策理論與方法效用函數(shù) — 風險與效用v 效用與風險 ：效用反映的就是決策人對風險的一種態(tài)度。U(t)Umax=1C(萬元 )風險厭惡型風險中立型風險追求型0 9 14 25風險酬金 k決策理論與方法 隨機決策理論與方法隨機決策理論與方法主觀概率效用函數(shù)決策準則貝葉斯決策分析決策理論與方法 隨機決策理論與方法決策準
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