高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用133習(xí)題課(編輯修改稿)
2024-12-24 08:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( 2) 求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí)，對(duì)函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷，只需要直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可獲得 . ( 3) 當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，相應(yīng)的極值點(diǎn)必為 函數(shù)的最值點(diǎn) . ( 4) 利用函數(shù)單調(diào)性可以判定函數(shù)值的大小關(guān)系 . 習(xí)題課 本課時(shí)欄目開關(guān) 試一試 研一研 練一練 跟蹤訓(xùn)練 2 設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f ( x ) ＝ e x － 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R. ( 1) 求 f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間與極值； ( 2) 求證：當(dāng) a ln 2 － 1 且 x 0 時(shí)， e x x 2 － 2 ax ＋ 1. 習(xí)題課 ( 1 ) 解 由 f ( x ) ＝ e x － 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R 知 f ′ ( x ) ＝ e x － 2 ， x ∈ R. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ ln 2. 于是當(dāng) x 變化時(shí)， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x ( － ∞ ， ln 2 ) ln 2 ( ln 2 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 單調(diào)遞減 ↘ 2( 1 － ln 2 ＋ a ) 單調(diào)遞增 ↗ 本課時(shí)欄目開關(guān) 試一試 研一研 練一練 故 f ( x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( － ∞ ， ln 2 ) ，單調(diào)遞增區(qū)間是 ( ln 2 ，＋ ∞ ) ， f ( x ) 在 x ＝ ln 2 處取得極小值，極小值為 f ( ln 2 ) ＝ e l n 2 －2ln 2 ＋ 2 a ＝ 2( 1 － ln 2 ＋ a ) . 習(xí)題課 ( 2 ) 證明 設(shè) g ( x ) ＝ e x － x 2 ＋ 2 ax － 1 ， x ∈ R ， 于是 g ′ ( x ) ＝ e x － 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R. 由 ( 1 ) 知當(dāng) a ln 2 － 1 時(shí)， g ′ ( x ) 取最小值為 g ′ ( ln 2 ) ＝ 2 ( 1 － ln 2＋ a ) 0 . 于是對(duì)任意 x ∈ R ，都有 g ′ ( x ) 0 ，所以 g ( x ) 在 R 內(nèi)單調(diào)遞增 . 于是當(dāng) a ln 2 － 1 時(shí)，對(duì)任意 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，都有 g ( x ) g ( 0 ) . 本課時(shí)欄目開關(guān) 試一試 研一研 練一練 而 g ( 0 ) ＝ 0 ，從而對(duì)任意 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，都有 g ( x ) 0 . 習(xí)題課 即 e x － x 2 ＋ 2 ax － 1 0 ，故 e x x 2 － 2 ax ＋ 1. 本課時(shí)欄目開關(guān) 試一試 研一研 練一練 題型 三 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 例 3 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x3－ ax － 1. ( 1) 若 f ( x ) 在實(shí)數(shù)集 R 上單調(diào)遞增，求 a 的取值范圍； ( 2) 是否存在實(shí)數(shù) a ，使 f ( x ) 在 ( － 1, 1) 上單調(diào)遞減，若存在，求出 a 的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 習(xí)題課 解 ( 1 ) f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － a ， 因?yàn)?f ( x ) 在 R 上是增函數(shù)，所以 f ′ ( x ) ≥ 0 在 R 上恒成立 . 即 3 x 2 － a ≥ 0 在 R 上恒成立 . 即 a ≤ 3 x 2 ，而 3 x 2 ≥ 0 ，所以 a ≤ 0. 當(dāng) a ＝ 0 時(shí)， f ( x ) ＝ x 3 － 1 在 R 上單調(diào)遞增，符合題意 . 本課時(shí)欄目開關(guān) 試一試 研一研 練一練
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