語文版中職數學拓展模塊62等差數列的性質1(編輯修改稿)
2024-12-23 23:26 本頁面
【文章內容簡介】 a1＋ 5 d ＝ 10 ，5 a1＋ 10 d ＝ 5. 解得 a1＝－ 5 ， d ＝ 3. ∴ Sn＝－ 5 n ＋n （ n － 1 ）2 3 ＝32n2－132n . ( 3 ) 設數列的前三項分別為 a2－ d ， a2， a2＋ d ， 依題意有： ???（ a2－ d ）＋ a2＋（ a2＋ d ）＝ 12 ，（ a2－ d ） a2 （ a2＋ d ）＝ 48 ， 即???a2＝ 4 ，a2（ a22－ d2）＝ 48 ， 解得???a2＝ 4 ，d ＝ 177。 2.∵ d ＞ 0 ， ∴ d ＝ 2 ， ∴ a1＝ a2－ d ＝ 2. 【點撥】 在等差數列五個基本量 a1， d ， n ， an， Sn中 ， 已知其中三個量 ， 可以根據已知條件結合等差數列的通項公式、前 n項和公式列出關于基本量的方程( 組 ) 來求余下的兩個量 ， 計算時須注意整體代換及方程思想的 應用 ． ( 1 ) 已知等差數列的前三項依次為 a ， 4 ， 3 a ， 前 n 項和為 Sn， 且 Sk＝ 1 1 0 . ( Ⅰ ) 求 a 及 k 的值； ( Ⅱ ) 設數列 { bn} 的通項 bn＝Snn， 證明數列 { bn} 是等差數列 ， 并求其前 n 項和 Tn. 解： ( Ⅰ ) 設該等差數列為 { an} ， 則 a1＝ a ， a2＝ 4 ， a3＝ 3 a ， 由已知有 a ＋ 3 a ＝ 8 ， 得 a1＝ a ＝ 2 ， 公差 d ＝ 4 － 2 ＝ 2 ， an＝ 2 n . ∴ Sk＝ ka1＋k （ k － 1 ）2 d ＝ 2 k ＋k （ k － 1 ）2 2 ＝ k2＋ k . 由 Sk＝ 1 10 ， 得 k2＋ k － 1 10 ＝ 0 ， 解得 k ＝ 10 或 k ＝－ 11 ( 舍去 ) ， 故 a ＝ 2 ， k ＝ 10. ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 得 Sn＝n （ 2 ＋ 2 n ）2＝ n ( n ＋ 1 ) ， 則 bn＝Snn＝ n ＋ 1 ， 故 bn ＋ 1－ bn＝ ( n ＋ 2 ) － ( n ＋ 1 ) ＝ 1 ， 即數列 { bn} 是 2 為首項 ， 1 為公差的等差數列 ， bn＝ n ＋ 1. ∴ Tn＝n （ 2 ＋ n ＋ 1 ）2＝n （ n ＋ 3 ）2. ( 2 ) 各項均為正數的數列 { a n } 滿足 a2n ＝ 4 S n － 2 a n － 1 ( n ∈ N*) ，其中 S n 為 { a n } 的前 n 項和 ． ( Ⅰ ) 求 a 1 ， a 2 的值； ( Ⅱ ) 求數列 { a n } 的通項公式 ． 解： ( Ⅰ ) 當 n ＝ 1 時 ， a21＝ 4 S1－ 2 a1－ 1 ＝ 2 a1－ 1 ， 即 ( a1－ 1 )2＝ 0 ， 解得 a1＝ 1. 當 n ＝ 2 時 ， a22＝ 4 S2－ 2 a2－ 1 ＝ 4 a1＋ 2 a2－ 1 ＝ 3 ＋ 2 a2， 解得 a2＝ 3 或 a2＝－ 1 ( 舍去 ) ． ( Ⅱ ) a2n＝ 4 Sn－ 2 an－ 1 ， ① a2n ＋ 1＝ 4 Sn ＋ 1－ 2 an ＋ 1－ 1. ② ② － ① 得 a2n ＋ 1－ a2n＝ 4 an ＋ 1－ 2 an ＋ 1＋ 2 an＝ 2 ( an ＋ 1＋ an) ， 即 ( an ＋ 1－ an)( an ＋ 1＋ an) ＝ 2 ( an ＋ 1＋ an) ． ∵ 數列 { an} 各項均為正數 ， ∴ an ＋ 1＋ an0 ， ∴ an ＋ 1－ an＝ 2 ， ∴ 數列 { an} 是首項為 1 ， 公差為 2 的等差數列 ． ∴ an＝ 2 n － 1. 類型三 等差數列的性質 ( 1) 已知 Sn為等差數列 { an} 的前 n 項和 ， a6＝ 100 ， 則 S11＝ ________ ； ( 2) 設 數列 { an} ， { bn} 都是等差數列．若 a1＋ b1＝ 7 ，a3＋ b3＝ 21 ， 則 a5＋ b5＝ ________ ； ( 3) 若一個等差數列的前 4 項和為 36 ， 后 4 項和為 124 ， 且所有項的和為 780 ， 則這個數列的項數為________ ； ( 4) 已知 Sn為等差數列 { an} 的前 n 項和 ， Sn＝ m ，Sm＝ n ( n ≠ m ) ， 則 Sm ＋ n＝ ________. 解： ( 1 ) S11＝11 （ a1＋ a11）2＝ 11 a6＝ 1 100. 故填 1 100 . ( 2 ) 因為數列 { }a n ， { }b n 都是等差數列 ， 所以數列 { }a n ＋ b n 也是等差數列 ． 故由等差中項的性質 ， 得 ( )a 5 ＋ b 5 ＋ ( )a 1 ＋ b 1 ＝2 ( )a 3 ＋ b 3 ， 即 a5＋ b5＋ 7 ＝ 2 21 ， 解得 a5＋ b5＝ 35. 故填 35 .
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