語文版中職數(shù)學拓展模塊63等比數(shù)列的性質1(編輯修改稿)
2024-12-23 23:25 本頁面
【文章內容簡介】 － 1 ) 34＝3 n － 14， 得 a n ＝ ( 3 n － 1 ) 2n － 2. 【點撥】 ( 1 ) 證明數(shù)列 { b n } 是等比數(shù)列 ， 常用方法： ① 定義法； ② 等比中項法． (2 ) 證明數(shù)列不是等比數(shù)列 ， 可舉一個反例或用反證法． ( 2 0 1 3 陜西 ) 設 { }a n 是公比為 q的等比數(shù)列 . ( 1 ) 推導 { }a n 的前 n 項和公式； ( 2 ) 設 q ≠ 1 , 證明數(shù)列 { a n ＋ 1} 不是等比數(shù)列 ． 解： ( 1 ) 設 { }a n 的前 n 項和為 Sn， 當 q ＝ 1 時 ， Sn＝ a1＋ a1＋ ? ＋ a1＝ na1； 當 q ≠ 1 時 ， Sn＝ a1＋ a1q ＋ ? ＋ a1qn － 1 , ① qSn＝ a1q ＋ a1q2＋ ? ＋ a1qn， ② ① － ② 得 ， ( )1 － q Sn＝ a1－ a1qn. ∴ Sn＝a1 ( )1 － qn1 － q， ∴ Sn＝???na1， q ＝ 1 ，a1 ( )1 － qn1 － q， q ≠ 1. ( 2) 證明 ( 反證法 ) ：假設數(shù)列 { an＋ 1} 是等比數(shù)列 ， 則對任意的 k ∈ N＋， ( )a k ＋ 1 ＋ 12＝ ( )a k ＋ 1( )a k ＋ 2 ＋ 1 ， a2k ＋ 1＋ 2 ak ＋ 1＋ 1 ＝ akak ＋ 2＋ ak＋ ak ＋ 2＋ 1 ， a21q2 k＋ 2 a1qk＋ 1 ＝ a1qk － 1a1qk ＋ 1＋ a1qk － 1＋ a1qk ＋ 1＋ 1 ， ∵ a1≠ 0 ， ∴ 2 qk＝ qk － 1＋ qk ＋ 1. ∵ q ≠ 0 ， ∴ q2－ 2 q ＋ 1 ＝ 0. ∴ q ＝ 1 ， 與已知矛盾． ∴ 數(shù)列 { an＋ 1} 不是等比數(shù)列． 類型二 等比數(shù)列基本量的計算 ( 1 ) 在等比數(shù)列 { a n } 中 ， a 3 ＝ 7 ，前 3 項之和 S 3 ＝ 21 ， 則公比 q 的值為_ _ _ _ _ _ _ _ ． 解： 根據(jù)已知條件得??? a 1 q2＝ 7 ，a 1 ＋ a 1 q ＋ a 1 q2＝ 21 ， ∴1 ＋ q ＋ q2q2 ＝ 3 ， 整理得 2 q2－ q － 1 ＝ 0 ， 解得 q ＝ 1 或 q ＝－12.故填 1 或－12. ( 2 )( 2020 唐山一模 ) 已知等比數(shù)列 { a n } 的前 n 項和為 S n ， 且 a 1 ＋ a 3 ＝52， a 2 ＋ a 4 ＝54， 則S na n ＝ ________. 解： 設 { an} 的公比為 q ， ∵????? a1＋ a3＝52， ①a2＋ a4＝（ a1＋ a3） q ＝54， ② ② 247。 ① 得 q ＝12， ∴ a1＝ 2 ， ∴ an＝ 2 ??????12n － 1＝42n ， ∴ Sn＝2 ??????1 －??????12n1 －12＝ 4??????1 －12n ， ∴Snan＝4??????1 －12n42n＝ 2n－ 1. 故填 2n－ 1 . ( 3 ) 設數(shù)列 { a n } 的前 n 項和 S n 滿足 6 S n ＋ 1 ＝ 9 a n ( n ∈ N*) ． ( Ⅰ ) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式； ( Ⅱ ) 若數(shù)列 { b n } 滿足 b n ＝1a n， 求數(shù)列 { b n } 前 n 項和 T n . 解： ( Ⅰ ) 當 n ＝ 1 時 ， 由 6 a1＋ 1 ＝ 9 a1， 得 a1＝13. 當 n ≥ 2 時 ， 由 6 Sn＋ 1 ＝ 9 an， 得 6 Sn － 1＋ 1 ＝ 9 an － 1， 兩式相減得 6 ( Sn－ Sn － 1) ＝ 9 ( an－ an － 1) ， 即 6 an＝ 9 ( an－ an － 1) ， ∴ an＝ 3 an － 1. ∴ 數(shù)列
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