第1章-11-132命題的四種形式(編輯修改稿)
2024-12-23 17:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，則這兩個(gè)三角形不全等，是真命題． 逆否命題：若兩個(gè)三 角形不全等，則這兩個(gè)三角形不等高，是假命題． ( 3) 逆命題：若一條直線(xiàn)平分弦所對(duì)的弧，則這條直線(xiàn)是弦的垂直平分線(xiàn)，是假命題． 否命題：若一條直線(xiàn)不是弦的垂直平分線(xiàn)，則這條直線(xiàn)不平分弦所對(duì)的弧，是假命題． 逆否命題：若一條直線(xiàn)不平分弦所對(duì)的弧，則這條直線(xiàn)不是弦的垂直平分線(xiàn)，是真命題． 1 ． 本例中命題的條件和結(jié)論不明顯，為了不出錯(cuò)誤，可以先改寫(xiě)成 “ 若 p ，則 q ” 的形式，再寫(xiě)另外三種命題，進(jìn)而判斷真假． 2 ．要判定四種命題的真假，首先，要正確理解四種命題間 的相互關(guān)系；其次，正確利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷推理．若由 p 經(jīng)邏輯推理得出 q ，則命題 “ 若 p ，則 q ” 為真；確定 “ 若 p ，則 q ” 為假時(shí)，則只需舉一個(gè)反例說(shuō)明． 3 ．互為逆否命題等價(jià)．當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可通過(guò)判定其逆否命題的真假來(lái)判斷． 有下列四個(gè)命題： ① “ 若 b ＝ 3 ，則 b2＝ 9 ” 的逆命題； ② “ 全等三角形的面積相等 ” 的否命題； ③ “ 若 c ＜ 1 ，則 x2＋ 2 x ＋ c ＝ 0 有實(shí)根 ” 的逆命題； ④ “ 若 A ∩ B ＝ A ，則 A ? B ” 的逆否命題． 其中真命題的個(gè)數(shù)是 ______ __ ． 【解析】 ① 若 b ＝ 3 ，則 b2＝ 9 的逆命題為，若 b2＝ 9 ，則 b ＝3 ，所以錯(cuò)誤． ② 全等三角形的面積相等的逆命題為面積相等的三角形全等，錯(cuò)誤． ③ x2＋ 2 x ＋ c ＝ 0 有實(shí)根，則有 Δ ＝ 4 － 4 c ≥ 0 ，即c ≤ 1 ，當(dāng) c ≤ 1 時(shí)， c ＜ 1 不成立，所以錯(cuò)誤． ④ 若 A ∩ B ＝ A ，則 A ?B ，正確，所以它的逆否命題也正確，所以正確的有 1 個(gè)． 【答案】 1 等價(jià)命題的應(yīng)用 證明：如果 p 2 ＋ q 2 ＝ 2 ，則 p ＋ q ≤ 2. 【思路探究】 可以寫(xiě)出該命題的逆否命題，證明其逆否命題正確，由原命題與其逆否命題的等價(jià)性可知原命題也正確． 【自主解答】 該命題的逆否命題為：若 p ＋ q ＞ 2 ，則 p2＋q2≠ 2. 因?yàn)?p2＋ q2≥12( p ＋ q )2. 又因?yàn)?p ＋ q ＞ 2 ，所以 ( p ＋ q )2＞ 4 ，所以 p2＋ q2＞ 2 ， 即 p ＋ q ＞ 2 時(shí)， p2＋ q2≠ 2 成立． 所以如果 p2＋ q2＝ 2 ，則 p ＋ q ≤ 2 成立． 由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在證明某一個(gè)命題的真假性有困難時(shí)，可以證明它 的逆否命題為真 ( 假 ) 命題，來(lái)間接地證明原命題為真 ( 假 ) 命題． “ 已知 a ， x 為實(shí)數(shù)，若關(guān)于 x 的不等式 x 2 ＋ (2 a ＋ 1) x ＋ a 2 ＋2 ≤ 0 的解集是空集，則 a ＜ 2 ” ，判斷其逆否命題的真假． 【解】 ∵ a ， x ∈ R ，且 x2＋ (2 a ＋ 1)
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