第2章-21-221雙曲線及其標準方程(編輯修改稿)
2025-12-23 17:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 116. 故所求雙曲線的標準方程為y216－x29＝ 1. 1 ． 求雙曲線標準方程一般有兩種方法：一是定義法，二 是待定系數(shù)法． 2 ．用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的步驟： ( 1 ) 定位：確定雙曲線的焦點位置，如果題目沒有建立坐標系，一般把焦點放在 x 軸上； ( 2 ) 設方程：根據(jù)焦點的位置設相應的雙曲線標準方程 ( 當焦點在兩個坐標軸上都有可能時，一般設為 Ax2＋ By2＝ 1( AB ＜ 0 ) ) ； ( 3 ) 定值：根據(jù)題目的條件確定相關的系數(shù)的方程，解出系數(shù)，代入所設方程． ( 1 ) 與橢圓x24＋ y2＝ 1 共焦點且過點 Q ( 2 , 1 ) 的雙曲線方程為_ _ _ _ _ _ _ _ ． (2 ) 設雙曲線的焦點為 F 1 (0 ，－ 7 ) ， F 2 (0 ， 7 ) ，雙曲線上的一點 P 滿足 | PF 1 |－ | PF 2 |＝ 4 ，則雙曲線的方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【解析】 ( 1 ) 由題意知雙曲線的焦點為 ( 3 ， 0) ， ( － 3 ， 0) ， 設其方程為x2a2 －y23 － a2 ＝ 1 ，又過 Q ( 2 , 1 ) ，則4a2 －13 － a2 ＝ 1 ，解得 a2＝ 2 ，則所求雙曲線的方程為x22－ y2＝ 1. ( 2) 由雙曲線的定義可知 2 a ＝ 4 ，即 a ＝ 2 ，又 c ＝ 7 ， ∴ b2＝ c2－ a2＝ 3 ，又因為雙曲線的焦點在 y 軸上，故其方程為y24－x23＝ 1. 【答案】 ( 1 ) x22 － y2 ＝ 1 ( 2 ) y24 －x 23 ＝ 1 雙曲線定義的應用 如圖 2 － 2 － 1 所示，已知雙曲線x24－y29＝ 1 ， F1， F2是其兩個焦點，點 M 在雙曲線上． 圖 2 － 2 － 1 ( 1 ) 若 ∠ F 1 MF 2 ＝ 9 0 176。 ，求 △ F 1 MF 2 的面積； ( 2 ) 若 ∠ F 1 MF 2 ＝ 1 2 0 176。 ， △ F 1 MF 2 的面積是多少？若 ∠ F 1 MF 2 ＝60176。 ， △ F 1 MF 2 的面積又是多少？ 【思路探究】 ( 1 ) 求三角形的面積該聯(lián)想到哪些方法？ ( 2 ) 如何運用雙曲線的定義解決問題？ 【自主解答】 ( 1 ) 由雙曲線方程知， a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝ 13 ，設 | MF1|＝ r1， | MF2|＝ r2( r1＞ r2) ． 由雙曲線定義知，有 r1－ r2＝ 2 a ＝ 4 ，兩邊平方得 r21＋ r22－ 2 r1 r2＝ 16 ， 即 | F1F2|2－ 4 S △ F1MF2＝ 16 ， 也即 52 － 16 ＝ 4 S △ F1MF2， 求得 S △ F1MF2＝ 9. ( 2 ) 若 ∠ F1MF2＝ 1 2 0 176。 ， 在 △ MF1F2中，由余弦定理得， | F1F2|2＝ r21＋ r22－ 2 r1r2c o s 1 2 0 176。 ， | F1F2|2＝ ( r1－ r2)2＋ 3 r1r2＝ (2 c )2， r1r2＝ 12 ， 求得 S △ F1MF2＝12r1r2si n 1 2 0 176。 ＝ 3 3 . 同理可求得若 ∠ F1MF
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