雙曲線的定義與標準方程(編輯修改稿)
2024-12-15 02:17 本頁面
【文章內容簡介】 b2 ＝ 1 ，25a2 －8116 b2 ＝ 1 ， 令 m ＝1a2 ， n ＝1b2 . 則方程組可化為????? 32 m － 9 n ＝ 1 ，25 m －8116n ＝ 1 ， 解得??? m ＝116，n ＝19.即????? a2＝ 16 ，b2＝ 9. ∴ 所求方程為y216－x29＝ 1. 利用定義求方程 利用定義法求雙曲線的標準方程 ， 首先找出兩個定點 (即雙曲線的兩個焦點 )；然后再根據(jù)條件尋找動點到兩個定點的距離的差 (或差的絕對值 )是否為常數(shù) ， 這樣確定 c和 a的值 ， 再由 c2＝ a2＋ b2求 b2， 進而求雙曲線的方程 ． 例 2 在 △ ABC 中， | BC |＝ 8 ，點 A 滿足 s i n B － s i n C＝12 s i n A .求點 A 的軌跡方程． 【思路點撥】 建系 ― → 得 B 、 C 坐標 ― →利用正弦定理― →a ， b ， c 的關系 ― → 點 A 的軌跡 ― →寫出點 A 的軌跡方程 【解】 如圖，以 BC 邊所在的直線為 x 軸， BC的垂直平分線為 y 軸，建立直角坐標系，則 B ( －4 , 0 ) ， C ( 4 , 0 ) ， ∵ s in B － s in C ＝12s in A ， ∴ 由正弦定理得 b － c ＝12a . 即 | AC |－ | AB |＝ 12| BC |. ∴ | AC |－ | AB |＝ 4. ∴ 點 A 是以 B 、 C 為焦點的雙曲線的左支 ( 除去與x 軸的交點 ) ． ∵ c ＝ 4 ， a ＝ 2 ， ∴ b2＝ 1 2 . ∴ 其方程為x24－y212＝ 1( x ＜－ 2) ． ∴ 點 A 的軌跡是雙曲線的一支 ( 除去一點 ) ． 【 名師點評 】 如果動點的軌跡可以較容易地判斷符合直線 、 圓 、 橢圓或者雙曲線的定義 ，通常運用待定系數(shù)法求出相關的基本量的值即可 ． 利用雙曲線的定義解決與焦點有關的問題 ， 一是要注意定義條件 ||PF1|－ |PF2||＝ 2a的變形使用 ，特別是與 |PF1|2＋ |PF2|2， |PF1||PF2|間的關系；二是要與三角形知識相結合 ， 經常利用余弦定理 、正弦定理等知識 ， 同時要注意整體思想的應用 ． 雙曲線定義的應用 設雙曲線x24－y29＝ 1 ， F1， F2是其兩個焦點，點 M 在雙曲線上． ( 1 ) 若 ∠ F1MF2＝ 9 0 176。 ，求 △ F1MF2的面積； ( 2 ) 若 ∠ F1MF2＝ 6 0 176。 時， △ F1MF2的面積是多少？若 ∠
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