【文章內(nèi)容簡介】 看出，依靠 單 方面的努力不一定能收到良好的效果。看來， 對這 一 對 策 問題 ，雙方最好 還 是握手言和，相互配合，先取得 總 體上的最大 獲 利，然后再按某一雙方均 認為較為 合理的方式來分享 這 一已 經(jīng)獲 得的最大 獲 利。例 明， 總獲 利數(shù)并非常數(shù)的 對 策 問題 （即不能 轉 化 為 零和 對 策的 問題 ），是一 類 存在著合作基 礎 的 對 策 問題 。當然， 這 里 還 存在著一個留待解決而又十分關 鍵 的 問題 ：如何分享 總獲 利，如果不能達到一個雙方（或各方）都能接受的 “公平 ”的分配原 則 ， 則 合作仍然不能 實現(xiàn) 。怎 樣建立一個 “公平 ”的分配原 則 是一個 較為 困 難 的 問題 ，將在第九章中介 紹。 最后，我們來考察幾個對策問題的實例。例 （ 戰(zhàn) 例分析） 1944年 8月，美 軍 第一 軍 和英 軍 占 領 法國 諾 曼第不久，立即從海防前 線 穿 過 海峽，向 Avranches進軍 。美 軍 第一 軍 和英 軍 的行 動 直接威 脅 到德 軍 第九 軍 。美 軍 第三 軍 也開到了 Avranches的南部，雙方 軍隊 所 處 的地理位置如 圖 。美 軍 方面的指 揮 官是 Bradley將 軍 ，德 軍 指 揮 官是 Von Kluge將 軍 。Von Kluge將 軍 面 臨 的 問題 是或者向西 進 攻，加 強 他的西部防 線 ，切斷美軍 援助；或者撤退到 東 部，占據(jù)塞那河流域的有利地形，并能得到德 軍 第十五 軍 的援助。Bradley將 軍 的 問題 是如何 調(diào)動 他的后 備軍 ，后 備軍駐 扎在海峽南部。Bradley將 軍 有三種可供 選擇 的策略：他可以命令后 備軍 原地待命，當海峽形 勢 危急 時 支援第一 軍 或出 擊東 部 敵人，以減 輕 第一 軍 的 壓 力。雙方 應 如何決策，使自己能有 較 大的機會 贏 得 戰(zhàn) 爭的 勝 利呢？ 我 們 將用建立矩 陣對 策模型的方法，來 試圖 求得雙方的最 優(yōu) 策略。模型假 設 ： Bradley將 軍 和 Von Kluge將 軍 分 別為對 策 問題 的局中人 A和 B。局中人 A的策略集合 為 SA = { 1, 2, 3}，其中： 1為 后 備軍 增援保衛(wèi) 海峽； 2為 后 備軍東 征，切斷德 軍 后路； 3為 后 備軍 待命 局中人 B的策略集合 為 SB = { 1, 2}，其中： 1為 德國向西 進 攻海峽，切斷美 軍 援助； 2為 德 軍 撤退到 東 部，占 領 塞 納 河流域有利地形。 SA、 SB構成六種 純 局 勢 ， 綜 合雙方 實 力，各種局 勢 估 計結 果如下。若 B采取策略 1，即德 軍 采取攻 勢 ， 則 有（ 1）（ 1, 1），估 計 美 軍擊敗 德 軍 并占 領 海峽的可能性（即概率） 為（ 2）（ 2, 1），估 計 美 軍 取 勝 的可能 為 。德 軍 很可能打破美 軍 第一軍 的防 線 ，并切斷美 軍 的退路。（ 3）（ 3, 1），估 計 美 軍 可以根據(jù)需要增援。如不需增援，后 備軍 可 東進繞 行到德 軍 后方。 這樣 ，美 軍 將占 領 海峽并 徹 底 殲滅 德 軍 第九 軍 。情況（ 1）、（ 2）、（ 3）如 圖 （ 1）、（ 2）、（ 3）所示。若 B采取策略 2，即德 軍 第九 軍東 撤，占據(jù)塞 納 河流域有利地形， 則 有 （ 4）（ 1, 2），美方 擴 大了 戰(zhàn)線 ，德 軍雖 占據(jù)了有利地形，美 軍 仍有 擊敗 德 軍 的可能性。（ 5）（ 2, 2），美后 備軍東進給 德 軍東 撤造成 壓 力并挫 傷 德 軍 ，使美 軍擊敗德 軍 的可能性增大到 。（ 6）（ 3, 2），美后 備軍 待命。在 發(fā)現(xiàn) 德 軍 撤退后，奉命向 東擾 亂 敵 方撤退，為 以后 殲滅 德第九 軍創(chuàng) 造條件，估 計 是美 軍擊敗 德 軍 的可能性 。情況（ 4）、（ 5）、（ 6） 見圖 （ 4）、（ 5）（ 6）所示。上述分析估 計 是由 Bradley將 軍 作出的，據(jù)此構造出 A方 贏 得矩 陣這 是一個 32對 策矩 陣 ?？梢郧蟮? ， ， ，不存在 穩(wěn) 定解，需要考 慮 其他解法。定 義 對 于 贏 得矩 陣 R，如果 對 所有 j， aij≥akj均成立，且至少存在一個 使得 則 稱 i行 優(yōu) 于 k行（策略 ai優(yōu) 于 ak）。同 樣 ，如 對 一切 i有 aij≤akl，且至少有一個 i0使得 ， 則 稱 j列 優(yōu) 于 l例（局中人 B的策略 j優(yōu) 于 l）。易 見 ，若一個 對 策矩 陣 的第 i行 優(yōu) 于第 k行， 則 無 論 局中人 B選擇 哪種策略，局中人 A采取策略 i的 獲 利 總優(yōu) 于（至少不次于）采取策略 k的 獲 利。定理 對 于矩 陣對 策 G= { SA, SB, R}，若矩 陣 R的某行 優(yōu) 于第 i1,……, ik行，則 局中人 A在 選 取最 優(yōu) 策略 時 ，必取 。令 ， R’為 從 R中劃去第 i1行， … ， ik行后剩下的矩陣 ， 則 的最 優(yōu) 策略即原 對 策 G的最 優(yōu) 策略， 對 于 R中列的最 優(yōu) 關系也有 類 似的 結 果。利用 這 一定理，有 時對 策 問題 可先 進 行化 簡 ，降低矩 陣 的 階 數(shù)?，F(xiàn) 在回 過 來 討論 美、德 軍隊對 策 問題 。在 Bradleg構造的矩 陣 中容易 發(fā)現(xiàn)a1j＜ a3j, j=1,2故 3優(yōu) 于 1。根據(jù)上面的定理 ，可劃去 該 矩 陣 的第一行，得到 22贏 得矩 陣這 仍然是一個無鞍點的 對 策矩 陣 。 設 Bradley以概率 p1取策略 2而以概率 p2取略 3， 則應 有解得類 似地， 設 Von Kluge 以概率 q1取策略 1而以概率 q2取策略 2， 則應 有解得 。由于兩 軍 作 戰(zhàn) 并非可以反復 進 行的 對 策 問題 ，看來最大的可能是美 軍采取策略 3而德 軍 采取策略 2，即美方后 備軍 待命而德 軍 第九 軍東撤。事 實 上，當 時 雙方指 揮 官正是 這樣 決策的，如果真能 實 行，雙方勝負還難 以料定。但正當?shù)?軍 第九 軍剛 開始 東 撤 時 ，突然接到了希特勒的命令要他 們 向西 進 攻，從而失去了他 們 有可能取得的最佳 結 局，走上必然 滅 亡的道路。 Von Kluge將 軍 指 揮 的德 軍 向西 進 攻，開始 時 德軍 占 領 了海峽，但隨之即被美 軍 包 圍 遭到了全 軍 復 滅 ， Von Kluge本人在失 敗 后自 殺 。 例 （防坦克地雷 場 的布 設 ） 實戰(zhàn) 中，攻方 為 了增 強 攻 擊 力，大量使用攻 擊 力 強 、防御 堅 固的坦克；守方 為 了抵御 對 方攻 擊 ，需要大量殺傷敵 方的有生力量，有效 對 策之一是布 設 防坦克地雷 場 。分析評 價防坦克地雷 場 的重要指 標 是 戰(zhàn) 斗效力，而布雷密度是基本因素之一。只要有足 夠 多的地雷，用 較 高密度的地雷 場對 付 敵 方 進 攻 總 是行之有效的。但在 實際戰(zhàn) 斗中，地雷不太可能是足 夠 多的。假 設 ：（ 1）防坦克地雷數(shù)量有限；（ 2）通 過偵 察、分析，已知 敵 方可能采用 … 、 n種 進 攻策略之一；（ 3）通 過敵 情分析，確定了防御正面的 寬 度，并根據(jù)我方地雷數(shù)量， 設計 了 1, 2,…, m這 m種布雷方案。問 采取哪一方案或什么 樣 的混合策略能有效 擊 毀 敵 方的坦克？本例在 過 去一般是憑指 揮員 的作 戰(zhàn)經(jīng)驗 定性決策的， 現(xiàn) 用矩 陣對 策方法 進 行定量 擇優(yōu) 。 由于每兩 輛 坦克之 間 一般要保持 50米的 間 距，因而 進 攻正面拉得很 寬，如一個梯 隊 20輛 坦克， 進 攻正面 約為 一公里 寬 。因 為 只有有限個防御正面，用有限個 進 攻策略來描述 敵 方的 進 攻狀 態(tài) 是非常接近 實際 情況的。 對 守方來 講 ，布雷密度通?？煞殖?,1,2等有限個等 級 。按常 規(guī) 做法，在防御正面上一般采用同一種技 術 密度。 為 了提高 殺傷 率， 現(xiàn) 將一個防御正面劃分成幾段，各段允 許 采用不同密度。 對 策決策要用矩 陣對 策決策，關 鍵問題 是如何列出守方的 贏 得矩 陣 。由效率 評定 試驗 可得出在各種布雷密度下的 殺傷 率表，如表 。表 布雷密度 1 2殺傷 率 根據(jù)上表，在確定方案后即可根據(jù)各段不同密度 針對 攻方的 進 攻策略 計算出坦克的 殺傷 率。 為 便于理解，作 為實 例分析下面兩種情況：情況 1 設 守方只有 1500個防坦克地雷，欲布 設 在攻方必 經(jīng) 的 2公里攻 擊正面上。攻方一個坦克梯 隊 的 20輛 坦克展開成 1公里 寬 的 陣 面，但既可能從左 側進 攻（策略 1）也可能從右 側進 攻（策略 2）。守方 設計 了三種布雷方案 1, 2, 3,（ 圖 ）， 試 求守方的 贏 得矩 陣 和最 優(yōu) 策略。圖 情況 1求解：容易求得守方的 贏 得矩 陣這 是一個有鞍點的矩 陣 ，鞍點 為 a22。守方只要按 2方案布雷， 則 不管攻方從哪一 側進 攻， 總 可 毀 傷對 方 % 的坦克。情況 2 攻方一梯 隊 20輛 坦克可從左 側 （ 1）、中路（ 2）或右翼（ 3） 進 攻，展開成 1公里布 陣 。守方只有 2023個防坦克地雷，初步提出三種布雷方案，如 圖 ， 試 求守方采用何種布雷方案 較 好。圖 對 情況 2，可求得守方的 贏 得矩 陣為此 時 ，矩 陣 A中不存在鞍點， 對 策無 穩(wěn) 定解， 應 采用混合策略?？梢郧蟮?，此 時 守方如按照 :: 1, 2, 3布雷，平均可 毀 傷對 方 % 的坦克。由本例可以看出，在決策 問題 中，策略的 設計 至關重要，它直接影響到 贏 得矩 陣 。策略的 設計 并沒有包含在決策 問題 的求解中，事 實 上，僅 當策略 設計 完成后，即策略集合 給 定后，決策 問題 才被 給 定，從而才能被求解，因而，在用 對 策 論 方法研究 實際課題時 ， 應 當特 別 注意策略的 設計 。 這 一部分工作既具有一定的 創(chuàng) 造性又在很大程度上影響到 結 果， 對 它研究也是十分有趣的。167。 決策問題人 們 在 處 理 問題時 ，常常會面 臨 幾種可能出 現(xiàn) 的自然情況，同 時 又存在著幾種可供 選擇 的行 動 方案。此 時 ，需要決策者根據(jù)已知信息作決策，即 選擇 出最佳的行 動 方案， 這樣 的 問題 稱 為 決策 問題 。面臨 的幾種自然情況叫做自然狀 態(tài) 或 簡 稱狀 態(tài) 。狀 態(tài) 是客 觀 存在的，是不可控因素?？晒?選擇 的行 動 方案叫做策略， 這 是可控因素， 選擇 哪一方案由決策者決定。 不確定環(huán)境下的決策 決策者面臨的決策環(huán)境由一些自然狀態(tài)組成，決策者可以采取若干決策方案，每一種決策方案在不同的自然狀態(tài)下出現(xiàn)的結果是已知的，但決策者 不能預先估計 各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的 概率 。不確定決策的幾種準則：v悲觀準則v樂觀準則v等可能性準則v樂觀系數(shù)準則v后悔值準則悲觀準則：最壞的情況下爭取最好的結果例 1. 某工廠決定投產(chǎn)一種新產(chǎn)品。投產(chǎn)以后銷售情況有好、中等、差三種可能，但廠家目前無法估計這三種情況出現(xiàn)的概率。產(chǎn)品的生產(chǎn)批量有大中小三種選擇。不同的生產(chǎn)批量在不同的市場銷售情況下企業(yè)的收益如下表：收益（萬元） 需求大N1需求中N2需求小N3 MinMax(min)大批量（ S1） 500 300 250 250100中批量（ S2） 300 200 80 80小批量（ S3） 200 150 100 100*按照這個準則，最優(yōu)決策是小批量生產(chǎn)收益（萬元） 需求