20xx高中數(shù)學(xué)北師大版必修5第3章3基本不等式第1課時(shí)基本不等式ppt同步課件(編輯修改稿)
2024-12-23 03:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 知函數(shù) f ( x ) ＝ 4 x ＋ax( x 0 ， a 0) 在 x ＝ 3 時(shí)取得最小值，求此時(shí) a 的值． [ 分析 ] 利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定 值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)?“ 拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形 ” 等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件． [ 解析 ] (1) ∵ 0 ＜ x ＜13， ∴ 1 － 3 x ＞ 0. ∴ y ＝ x (1 － 3 x ) ＝133 x (1 － 3 x ) ≤13????????3 x ＋ ? 1 － 3 x ?22＝112， 當(dāng)且僅當(dāng) 3 x ＝ 1 － 3 x ，即 x ＝16時(shí)，等號(hào)成立． ∴ 當(dāng) x ＝16時(shí)，函數(shù)取 得最大值112. (2) f ( x ) ＝ 4 x ＋ax≥ 2 4 x ax＝ 4 a ( x 0 ， a 0) ，當(dāng)且僅當(dāng) 4 x ＝ax，即 x ＝a2時(shí)等號(hào)成立． 此時(shí) f ( x ) 取最小值 4 a ，故有a2＝ 3 ，所以 a ＝ 36 ，故 a 的值為 36. [ 方法總結(jié) ] (1) 在應(yīng)用均值不等式 ab ≤a ＋ b2求最值時(shí)，需滿足三個(gè)條件： “ 一正、二定、三相 等 ” ． “ 正 ” 是所有變量均為正數(shù)， “ 定 ” 是指變量的積或和為定值， “ 相等 ” 是指等號(hào)成立的條件，以上三者，缺一不可． (2) 在有關(guān)證明或求最值時(shí)，不等式都可連續(xù)多次使用，但需注意的是等號(hào)成立是否一致，只有當(dāng)各次應(yīng)用基本不等式時(shí)“ ＝ ” 號(hào)成立的條件一致時(shí)， “ ＝ ” 才會(huì)取得，否則 “ ＝ ” 將不成立． (3)在利用均值不等式求值時(shí) ， 若 “ 一正二定三相等 ” 中的條件不滿足時(shí) ， 則需要對(duì)條件作出調(diào)整和轉(zhuǎn)化 ， 使其滿足上述條件 ， 方可利用均值不等式 ． 而轉(zhuǎn)化的方法有添項(xiàng) 、 拆項(xiàng) 、 湊項(xiàng) 、 變號(hào)等 ． (1) 若 x 0 ，求函數(shù) f ( x ) ＝12x＋ 3 x 的最小值； (2) 若 x 0 ，求函數(shù) f ( x ) ＝12x＋ 3 x 的最大值； (3) 已知 x 54，求函數(shù) y ＝ 4 x － 2 ＋14 x － 5的最大值． [ 解析 ] (1 ) 因?yàn)?x 0 ，所以12x0,3 x 0 ， 所以 f ( x ) ＝12x＋ 3 x ≥ 212x3 x ＝ 2 36 ＝ 12. 當(dāng) 且僅當(dāng)12x＝ 3 x ，即 x ＝ 2 時(shí)，等號(hào)成立． 所以當(dāng) x ＝ 2 時(shí)， f ( x ) 取得最小值 12. (2) 因?yàn)?x 0 ，所以－ x 0 ， 所以－ f ( x ) ＝??????－12x＋ ( － 3 x ) ≥ 2??????－12x ? － 3 x ? ＝ 12 ，所以f ( x ) ≤ － 12 . 當(dāng)且僅當(dāng)－12x＝－ 3 x ，即 x ＝－ 2 時(shí)，等號(hào)成立． 所以當(dāng) x ＝－ 2 時(shí)， f ( x ) 取得最大值－ 12 . (3) 因?yàn)?x 54，所以
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