【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ????)( ???? ?? ?????)∑?? = ????∑?? = ??????( ???? ?? ?????)?? 當(dāng) B c 用樣本估計(jì) b c 來(lái)代替時(shí) , 有 y?l r c= y?st+b c ( X? x?st) = [ y?st+B c ( X? x?st)] + ( b c B c )( X? x?st) 在式 中 , 中括號(hào)里是總體均值 Y?的無(wú)偏估計(jì)量 , 而 ( b c B c )( X? x?st) 的存在使得此時(shí)的聯(lián)合回歸估計(jì)變成有偏的 , 但當(dāng)樣本量 n 較大時(shí) , 估計(jì)量的偏倚趨于 0 。即此時(shí)的聯(lián)合回歸估計(jì)是漸進(jìn)無(wú)偏的 , 而且當(dāng) b c 的抽樣誤差可以忽略時(shí) , 有 V ( y?l r c) ≈ ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( Syh2+ Bc2Sxh2 2 B c S xyh ) 它可以用下面的 v ( y?l r c) 進(jìn)行估計(jì) : v ( y?l r c) ≈ ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( nh 1 ) ∑i = 1nh[( yhi y?h) bc( xhi x?h)]2 = ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( syh2+ bc2sxh2 2 b c s x y h ) 分別回歸估計(jì)與聯(lián)合回歸估計(jì)的比較 為了簡(jiǎn)單起見 , 這里只針對(duì)分別回歸估計(jì)和聯(lián)合回歸估計(jì)的 最小方差 V m i n ( y?lrs) 和 V m i n ( y?lrc) 進(jìn)行比較。 V m i n ( y?lrs) = ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh Syh2Sx y h2Sxh2 V m i n ( y?lrc) = ∑h = 1LWh2( 1 fh)nh( Syh2 Bc2Sxh2) V mi n ( ????? ?? ??) V mi n ( ????? ?? ??) = ∑?? = ????a h ( ???? ????)??≥ 0 當(dāng) β h 和 β 均取最優(yōu)值時(shí) , 分別回歸估計(jì)優(yōu)于聯(lián)合回歸估計(jì) , 尤其是當(dāng)各層的回歸系數(shù)相差較大時(shí) , 分別回歸估計(jì)的優(yōu)越性更加明顯。 當(dāng)回歸系數(shù)需要由樣本進(jìn)行估計(jì)時(shí) , 如果各層的樣本量不太小 , 而且各層的回歸系數(shù)之間的差異較大 , 采用分別回歸估計(jì)較為適宜 。 如果各層的樣本量不大 , 而且各層的回歸系數(shù)大致相同 , 采用聯(lián)合回歸估計(jì)較為適宜 。 如果各層的回歸系數(shù)差別不是太大 , 而且每層的樣本量 n h 不是相當(dāng)大 , 聯(lián)合回歸估計(jì)可能更保險(xiǎn)一些。 經(jīng)化簡(jiǎn)得 ： 例 ? 已知某公司一般職員 (包括辦事員和保管人員 )及高級(jí)管理(經(jīng)理 )人員剛進(jìn)入公司時(shí)的工資總額 ,欲通過(guò)抽樣調(diào)查估計(jì)當(dāng)前該公司職員的工資總額 Y。抽樣按照一般職員層與高管層進(jìn)行分層隨機(jī)抽取。一般職員層抽取 n1=15名職員 ,高管層抽取 n2=10名職員。同時(shí)還知道一般職員層人員總數(shù)N1=390名 ,該類職員進(jìn)入公司時(shí)工資總額為 X1=5 523 965元 。高管層人員總數(shù) N2=84名 ,該類職員進(jìn)入公司時(shí)工資總額為 X2=2 541 660元。經(jīng)過(guò)分層隨機(jī)抽樣調(diào)查所得的數(shù)據(jù)如表 3—5所示。請(qǐng)對(duì)上述數(shù)據(jù)分別按照分別比估計(jì)、聯(lián)合比估計(jì)、分別回歸估計(jì)、聯(lián)合回歸估計(jì)以及差估計(jì)方法對(duì)該公司當(dāng)前職員工資總額 Y做出估計(jì) ,同時(shí)計(jì)算出各個(gè)估計(jì)量的精度。 表 3 — 5 某公司職員工資總額調(diào)查數(shù)據(jù) 一般職員層 ( h =1 ) 高管層 ( h =2 ) i x hi y hi i x hi y hi 1 8 000 19 200 1 26 250 64 750 2 16 500 34 800 2 22 750 46 000 3 10 500 22 950 3 20 000 41 500 4 15 550 34 400 4 29 400 80 250 5 18 000 38 350 5 37 500 87 500 6 16 500 37 800 6 23 250 49 625 7 14 250 31 650 7 31 500 79 500 8 13 500 32 550 8 34 200 83 500 9 15 000 36 050 9 33 000 82 250 10 10 200 27 450 10 35 540 85 500 11 15 000 35 750 12 15 750 36 750 13 13 750 33 250 14 21 240 44 875 15 10 750 21 300 注 : x hi 代表第 h 層第 i 個(gè)職員剛進(jìn)入公司的工資收入 。 y hi 代表第 h 層第 i 個(gè)職員當(dāng)前的工資收入。 解 : 首先根據(jù)表 3 — 5 中的調(diào)查數(shù)據(jù) , 計(jì)算得出表 3 — 6 中的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值。 表 3 — 6 根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值 指標(biāo) 一般職員層( h= 1 ) 高管層( h= 2 ) 總計(jì) N h 390 84 N= 474 n h 15 10 n= 25 W h =N h /N 0 . 822 79 0 . 177 21 1 ( 1 f h ) /n h 0 . 064 11 0 . 088 09 — X h 5 523 965 2 541 660 X= 8 065 625 X?h=X h /N h 14 163 . 01 30 257 . 86 X?= 17 指標(biāo) 一般職員層( h= 1 ) 高管層 ( h= 2 ) 總計(jì) y?h= ∑i = 1nhy hi /n h 32 4 7 5 70 0 3 8 — x?h= ∑i = 1nhx hi /n h 14 2 9 9 29 3 3 9 — syh2 48 9 9 2 4 1 0 . 71 322 7 8 4 895 . 83 — sxh2 11 4 7 6 1 4 9 . 52 36 0 0 1 0 9 8 . 89 — s xyh =r h s yh s xh 22 6 9 1 4 1 0 . 71 103 9 0 4 069 . 44 — R＾h= y?h/ x?h 2 . 2 7 1 09 2 . 3 8 7 18 — b h ( 式 ( 3 . 88 )) 1 . 9 7 7 27 2 . 8 8 6 14 — rh2 0 . 9 1 5 79 0 . 9 2 9 04 — 五種估計(jì)方法 結(jié)果比較 表 3 — 7 不同估計(jì)方法的結(jié)果對(duì)比 估計(jì)方法 估計(jì)值 Y＾ Y＾標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì) 分別比估計(jì) 18 612 822 263 998 . 28 聯(lián)合比估計(jì) 18 605 039 272 252 . 10 分別回歸估計(jì) 18 667 111 243 598 . 76 聯(lián)合回歸估計(jì) 18 600 668 264 323 . 16 差估計(jì) 18 572 927 490 858 . 05 從表 3 — 7 可以看出 , 對(duì)于本例來(lái)說(shuō) , 有 :( 1 ) 聯(lián)合比估計(jì)與聯(lián)合回歸估計(jì)的效果基本一致 ,原因在于 R＾c與 b c 的數(shù)值比較接近 。( 2 ) 分別估計(jì)的效果好于聯(lián)合估計(jì)的效果 , 原因在于 R＾1與R＾2之間 ( b 1 與 b 2 之間 ) 有一定差別。 ? 注意 ： 此時(shí)的比估計(jì)和回歸估計(jì) (回歸系數(shù)采用樣本回歸系數(shù)進(jìn)行估計(jì) )均為 有偏估 計(jì) ， 并且考慮到各層的樣本量都不大 ， 回歸估計(jì)的偏倚有可能更大 ， 所以此時(shí)采用比估計(jì) ， 特別是聯(lián)合比估計(jì)會(huì)更保險(xiǎn)。 而差估計(jì)雖然標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)較大 ， 但它卻是 無(wú)偏的 ，均方誤差并不一定大 ， 所以仍然有采用的價(jià)值。 比率估計(jì)與回歸估計(jì)小結(jié) ? 在分層隨機(jī)抽樣中 ， 當(dāng) 輔助變量可加以利用時(shí) ， 為了 提高估計(jì)量的精度 ， 可以采用 分別比估計(jì)、聯(lián)合比估計(jì)、分別回歸估計(jì)以及聯(lián)合回歸估計(jì) 等估計(jì)方法。 ? 在 比估計(jì) 中 ， 當(dāng)各層樣本量都較大時(shí) ， 分別比估計(jì)與聯(lián)合比估計(jì)近似無(wú)偏 ； 當(dāng)某些層的樣本量不夠大 ， 而總樣本量較大時(shí) ,聯(lián)合比估計(jì)近似無(wú)偏。 ? 在 回歸估計(jì) 中 ， 少數(shù)情況下 ， 回歸系數(shù)可以是事先設(shè)定的常數(shù) ,其估計(jì)量無(wú)偏 ； 多數(shù)情況下 ， 回歸系數(shù)需利用樣本回歸系數(shù)進(jìn)行估計(jì) ， 其估計(jì)有偏 ， 但在大樣本的情況下近似無(wú)偏。 ? 當(dāng) Y與 X高度相關(guān)時(shí) ,分別比估計(jì)、聯(lián)合比估計(jì)、分別回歸估計(jì)以及聯(lián)合回歸估計(jì)等估計(jì)等產(chǎn)生的估計(jì)量 都是有效的 。 選擇估計(jì)方 法， 大致需遵循的原則 ? 在選擇估計(jì)方法時(shí) ,大致需遵循下面的原則 : (1)由于分別估計(jì) (無(wú)論是分別比估計(jì)還是分別回歸估計(jì) )要求各層的樣本量都比較大 ,所以當(dāng)某些層的樣本量不夠大時(shí) ,建議采用聯(lián)合估計(jì) (2)當(dāng)回歸系數(shù)需要由樣本進(jìn)行估計(jì)時(shí) ， 回歸估計(jì)量是有偏的 。 在這種情況下 ， 采取比估計(jì)尤其是聯(lián)合比估計(jì)也許更保險(xiǎn) (3)如果各層的樣本量都比較大 ,同時(shí)每層的比估計(jì)或回歸估計(jì)也比較有效 （ 即 ρh均比較大 ） ,而且各層的 Rh之間 （ 或 βh之間 ） 差異較大 ,則此時(shí)分別估計(jì)優(yōu)于聯(lián)合估計(jì) ,估計(jì)量的方差更小 (4) 如果各層的樣本量不大 ,而且各層的 Rh之間 (或 βh之間 )差異較小 ,則采用聯(lián)合估計(jì)較為適宜 (5) 如果各層的 Rh之間 (或 βh之間 )差別不是太大 ,而且并不是每層的樣本量都相當(dāng)大 ,則聯(lián)合估計(jì)可能更保險(xiǎn)一些 ? 如果各層的回歸系數(shù)都接近于 1,則可以采用差估計(jì)。雖然有時(shí)差估計(jì)量的方差偏大 ,但由于它為無(wú)偏估計(jì)量 ,所以總的均方誤差不一定大 2023/3/3 61 第五節(jié) 各層樣本量的 分配 ? 確定樣本量：總的樣本量 ， 各層樣本量 ? 估計(jì)量的方差不僅與各層的方差有關(guān) ，還和各層所分配的樣本量有關(guān) 。 通常會(huì)有下面的幾種分配思路 :( 1 ) 常數(shù)分配 。 ( 2 ) 與層內(nèi)方差 S h2成比例地分配 。( 3 ) 與層權(quán) W h 成比例地分配 。( 4 ) 與 W h S h 成比例地分配。 ? 實(shí)際工作中有不同的分配方法，可以按各層單元數(shù)占總體單元數(shù)的比例分配，也可以采用使估計(jì)量總方差達(dá)到最小、費(fèi)用最小。 2023/3/3 62 2023/3/3 63 一、比例分配 ? 按各層單元數(shù)占總體單元數(shù)的比例，也就是按各層的層權(quán)進(jìn)行分配 . ? 對(duì)于分層隨機(jī)抽樣 ， 這時(shí)總體均值的估計(jì)是 nnNN Wh hh? ? fNnNnfhhh ???? ???? ??????LhnihihhLhhhLhhhp r o phynnnynnyWy1 1111 ）（yynynniiLhnihih??? ?? ??? ? 11 111自加權(quán) 2023/3/3 64 總體中的任一個(gè)單元 ， 不管它在哪一個(gè)層 ， 都以同樣的概率入樣 ，因此按比例分配的分層隨機(jī)樣本 ， 估計(jì)量的形式特別簡(jiǎn)單 。 這種樣本也稱為自加權(quán)的樣本 。 ? 總體比例的估計(jì)是 p pn ap r o p hhL? ???1? ? ? ?V y W V y W nn fn S fn W Sp r o p h hhLhh hhhhL