20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)412函數(shù)的極值1(編輯修改稿)
2024-12-22 23:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 f ( x ) ＝ x3， f ′ ( 0 ) ＝ 0 但 x ＝ 0 不是 f ( x )＝ x3的極值點(diǎn) ． 求函數(shù) y ＝ 2 x ＋ 8x 的極值 ． [ 解析 ] 函數(shù)的定義域?yàn)?x ∈ R 且 x ≠ 0 ， ∴ y ′ ＝ 2 －8x2 ，令y ′ ＝ 0. 得 x ＝ 177。 2 . 當(dāng) x 變化時(shí)， y ′ ， y 的變化情況如下表： x ( － ∞ ，－ 2) － 2 ( － 2,0) 0 ( 0,2) 2 (2 ，＋ ∞ ) y ′ ＋ 0 － － 0 ＋ y － 8 . 8 因此當(dāng) x ＝－ 2 時(shí)， y 極大值 ＝－ 8 ，當(dāng) x ＝ 2 時(shí)，由表易知 y 極小值 ＝ 8. 已知函數(shù)極值求參數(shù) 設(shè) x＝ 1與 x＝ 2是函數(shù) f(x)＝ alnx＋ bx2＋ x的兩個(gè)極值點(diǎn)． (1)試確定常數(shù) a和 b的值； (2)判斷 x＝ 1， x＝ 2是函數(shù) f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說明理由． [ 解析 ] ( 1 ) ∵ f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx2＋ x ， ∴ f ′ ( x ) ＝ax＋ 2 bx ＋ 1. 由題意得 f ′ ( 1 ) ＝ f ′ ( 2 ) ＝ 0 ， ∴ a ＋ 2 b ＋ 1 ＝ 0 且a2＋ 4 b ＋ 1 ＝ 0. 解得， a ＝－23， b ＝－16. ∴ f ( x ) ＝－23ln x －16x2＋ x . ( 2 ) x ＝ 1 ， x ＝ 2 分別是函數(shù) f ( x ) 的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn) ． 理由如下： f ′ ( x ) ＝－23 x－13x ＋ 1 ＝－x2－ 3 x ＋ 23 x. 又 ∵ f ( x ) 的定義域?yàn)?(0 ，＋ ∞ ) ， ∴ 當(dāng) x ∈ ( 0 , 1 ) 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ；當(dāng) x ∈ ( 1 , 2 ) 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ；當(dāng) x∈ (2 ，＋ ∞ ) 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ，故在 x ＝ 1 處函數(shù) f ( x ) 取得極小值，在 x ＝ 2 處函數(shù)取得極大值，故 x ＝ 1 為極小值點(diǎn)， x ＝ 2 為極大值點(diǎn) ． [方法規(guī)律總結(jié) ] 已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，注意以下兩點(diǎn)： (1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解． (2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性． 已知函數(shù) f(x)＝ ax3＋ bx2，當(dāng) x＝ 1時(shí)，有極大值 3. (1)求 a、 b的值； (2)求函數(shù) f(x)的極小值． [答案 ] (1)a＝－ 6， b＝ 9 (2)0 [ 解析 ] ( 1 ) f ′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 2 bx ， ∵ 當(dāng) x ＝ 1 時(shí)，函數(shù)有極大值 3. ∴????? f ′ ? 1 ? ＝ 0 ，f ? 1 ? ＝ 3.∴????? 3 a ＋ 2 b ＝ 0 ，a ＋ b ＝ 3. 解之得 a ＝－ 6 ， b ＝ 9. ( 2 ) f ′ ( x ) ＝－ 18 x2＋ 18 x ＝－ 18 x ( x － 1) ． 當(dāng) f ′ ( x ) ＝ 0 時(shí)， x ＝ 0 或 x ＝ 1. 當(dāng) f ′ ( x )
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