[金融工程][第9章][布萊克休爾斯莫頓期權(quán)定價(jià)模型](編輯修改稿)
2025-02-26 20:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 不采用日歷天數(shù)。 ? 當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) 時(shí)，由于衍生證券價(jià)格 G是標(biāo)的證券價(jià)格 S和時(shí)間 t的函數(shù) G(S,t)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格 G應(yīng)遵循如下過程： 比較（ ）和（ ）可看出，衍生證券價(jià)格 G和股票價(jià)格 S都受同一個(gè)不確定性來源 dz的影響，這點(diǎn)對(duì)于以后推導(dǎo)衍生證券的定價(jià)公式很重要。 SdzSdtdS ?? ?? SdzSGdtSS GtGSSGdG ??? ???????????? )21( 222215 假設(shè)： 證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即 和 為常數(shù)； 允許賣空標(biāo)的證券； 沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的； 衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付； 存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； 證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的； 衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率 r為常數(shù)。 ?? 由于證券價(jià)格 S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因此有： 其在一個(gè)小的時(shí)間間隔 中， S的變化值 為： 在一個(gè)小的時(shí)間間隔中， f的變化值 為： zStSS ????? ?? SdzSfdtSS ftfSSfdf ??? ???????????? )21( 2222 zSSftSS ftfSSff ??????????????? ??? )21( 2222 設(shè) f是依賴于 S的衍生證券的價(jià)格，則 f一定是 S和 t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得： SdzSdtdS ?? ??t?f?16 為了消除風(fēng)險(xiǎn)源 ，可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。 令 代表該投資組合的價(jià)值，則： z? Sf?? ffSx?? ? ? ? ?在 時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化 為： ffSS??? ? ?? ? ?????t?代入 和 可得 fS? tSSftf ?????????? )21( 2222 ?tSS ftf ?????????? )21( 2222 ? 中不含任何風(fēng)險(xiǎn)源，因此組合 必須獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，即 ? tr?????代入上式可得 tSSffrtSS ftf ??????????? )()21( 222 ?化簡(jiǎn)為 rfS fSS frStf ???????? 222221 ?**這就是著名的布萊克 ——舒爾斯微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格 S的所有衍生證券的定價(jià)。 17 觀察布萊克－舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會(huì)對(duì) f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們工作的假設(shè)： 在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者對(duì)于 dz所蘊(yùn)涵的風(fēng)險(xiǎn)都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。 在所有投資者對(duì) dz都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下（有時(shí)我們稱之為進(jìn)入了一個(gè)關(guān)于 dz的“風(fēng)險(xiǎn)中性世界”），所有風(fēng)險(xiǎn)源為 dz的證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率 r，因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有風(fēng)險(xiǎn)源為 dz的現(xiàn)金流都應(yīng)該使用無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為 10元，我們知道在 3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是 11元，要么是 9元。現(xiàn)在我們要找出一份 3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為 。 由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于 3個(gè)月后股票的市價(jià)。若 3個(gè)月后該股票價(jià)格等于 11元，則該期權(quán)價(jià)值為 ；若 3個(gè)月后該股票價(jià)格等于 9元，則該期權(quán)價(jià)值為 0。 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理的應(yīng)用 18 為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若 3個(gè)月后該股票價(jià)格等于 11元時(shí)，該組合價(jià)值等于 ( 11 － )元；若 3個(gè)月后該股票價(jià)格等于 9元時(shí)，該組合價(jià)值等于 9 元。為了使該組合價(jià)值處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)? 值，使 3個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著： ?11 － =9 = ?? ?? 因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和 。無論 3個(gè)月后股票價(jià)格等于 11元還是 9元，該組合價(jià)值都將等于 。 假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于 10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和 頭，而目前股票市場(chǎng)為 10元，因此： 這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為 ，否則就會(huì)存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格上漲到 11元的概率和下降到 9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無風(fēng)險(xiǎn)利率為 10%，則股票上升的概率 P可以通過下式來求： ???e ? ???f f19 0. 1 0. 2510 [ 11 9( 1 ) ]e P P??? ? ? ?P=%。 20 又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為 15%，則股票的上升概率可以通過下式來求： 0. 15 0. 2510 [ 11 9( 1 ) ]e P P??? ? ? ?P=%。 可見，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)
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