[金融工程][第9章][布萊克休爾斯莫頓期權(quán)定價模型](編輯修改稿)
2025-02-26 20:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 不采用日歷天數(shù)。 ? 當(dāng)股票價格服從幾何布朗運(yùn)動 時，由于衍生證券價格 G是標(biāo)的證券價格 S和時間 t的函數(shù) G(S,t)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格 G應(yīng)遵循如下過程： 比較（ ）和（ ）可看出，衍生證券價格 G和股票價格 S都受同一個不確定性來源 dz的影響，這點(diǎn)對于以后推導(dǎo)衍生證券的定價公式很重要。 SdzSdtdS ?? ?? SdzSGdtSS GtGSSGdG ??? ???????????? )21( 222215 假設(shè)： 證券價格遵循幾何布朗運(yùn)動，即 和 為常數(shù)； 允許賣空標(biāo)的證券； 沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的； 衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付； 存在無風(fēng)險套利機(jī)會； 證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的； 衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率 r為常數(shù)。 ?? 由于證券價格 S遵循幾何布朗運(yùn)動，因此有： 其在一個小的時間間隔 中， S的變化值 為： 在一個小的時間間隔中， f的變化值 為： zStSS ????? ?? SdzSfdtSS ftfSSfdf ??? ???????????? )21( 2222 zSSftSS ftfSSff ??????????????? ??? )21( 2222 設(shè) f是依賴于 S的衍生證券的價格，則 f一定是 S和 t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得： SdzSdtdS ?? ??t?f?16 為了消除風(fēng)險源 ，可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。 令 代表該投資組合的價值，則： z? Sf?? ffSx?? ? ? ? ?在 時間后，該投資組合的價值變化 為： ffSS??? ? ?? ? ?????t?代入 和 可得 fS? tSSftf ?????????? )21( 2222 ?tSS ftf ?????????? )21( 2222 ? 中不含任何風(fēng)險源，因此組合 必須獲得無風(fēng)險收益，即 ? tr?????代入上式可得 tSSffrtSS ftf ??????????? )()21( 222 ?化簡為 rfS fSS frStf ???????? 222221 ?**這就是著名的布萊克 ——舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格 S的所有衍生證券的定價。 17 觀察布萊克－舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對 f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個可以大大簡化我們工作的假設(shè)： 在對衍生證券定價時，所有投資者對于 dz所蘊(yùn)涵的風(fēng)險都是風(fēng)險中性的。 在所有投資者對 dz都是風(fēng)險中性的條件下（有時我們稱之為進(jìn)入了一個關(guān)于 dz的“風(fēng)險中性世界”），所有風(fēng)險源為 dz的證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率 r，因為風(fēng)險中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔(dān)風(fēng)險。同樣，在風(fēng)險中性條件下，所有風(fēng)險源為 dz的現(xiàn)金流都應(yīng)該使用無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為 10元，我們知道在 3個月后，該股票價格要么是 11元，要么是 9元?，F(xiàn)在我們要找出一份 3個月期協(xié)議價格為 。 由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于 3個月后股票的市價。若 3個月后該股票價格等于 11元，則該期權(quán)價值為 ；若 3個月后該股票價格等于 9元，則該期權(quán)價值為 0。 風(fēng)險中性定價原理的應(yīng)用 18 為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若 3個月后該股票價格等于 11元時，該組合價值等于 ( 11 － )元；若 3個月后該股票價格等于 9元時，該組合價值等于 9 元。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)? 值，使 3個月后該組合的價值不變，這意味著： ?11 － =9 = ?? ?? 因此，一個無風(fēng)險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和 。無論 3個月后股票價格等于 11元還是 9元，該組合價值都將等于 。 假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于 10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和 頭，而目前股票市場為 10元，因此： 這就是說，該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為 ，否則就會存在無風(fēng)險套利機(jī)會。 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到 11元的概率和下降到 9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險中性世界中，無風(fēng)險利率為 10%，則股票上升的概率 P可以通過下式來求： ???e ? ???f f19 0. 1 0. 2510 [ 11 9( 1 ) ]e P P??? ? ? ?P=%。 20 又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為 15%，則股票的上升概率可以通過下式來求： 0. 15 0. 2510 [ 11 9( 1 ) ]e P P??? ? ? ?P=%。 可見，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險
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