[金融工程][第9章][布萊克休爾斯莫頓期權(quán)定價(jià)模型]-文庫吧在線文庫
【正文】 **隨機(jī)微積分與非隨機(jī)微積分的差別 ln dSdS S?案例 運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo) lnS所遵循的隨機(jī)過程 假設(shè)變量 S服從 其中 μ和 σ都為常數(shù)，則 lnS遵循怎樣的隨機(jī)過程？ 由于 μ和 σ是常數(shù)， S顯然服從 ， 的伊藤過程，我們可以運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo) lnS所遵循的隨機(jī)過程。 泰勒展開式 ? ? ? ?? ? ?GGxxGttGxxGx tx tGtt? ? ?? ? ????????? ???189。因此我們可以用數(shù)學(xué)來刻畫股票的這種特征。在 了解了股票價(jià)格的規(guī)律后，我們?cè)噲D通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。舒爾斯和默頓由此獲得了 1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)兩大特征： 特征 1 (正態(tài)分布 ) 特征 2： 對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 ， 的值相互獨(dú)立。 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)為普通布朗運(yùn)動(dòng)的特例。Su b sti tu ti n g W e o b ta i n 189。 2 .股票價(jià)格的對(duì)數(shù)服從普通布朗運(yùn)動(dòng)，股票價(jià)格和連續(xù)復(fù)利收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布 2l n ( )2dG d S dt dz???? ? ? ?22222()2 2 ( ) ( )l n l n ~ [ ( ) ( ) , ]l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]()v a r ( ) [ 1 ]TTTtTT t T tTS S T t T tS S T t T tE S SeS S e e?????? ? ?? ? ????? ? ? ?? ? ? ????13 3. T－ t期間年化的連續(xù)復(fù)利收益率可以表示為 ，可知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 是股票連續(xù)復(fù)利收益率的年化標(biāo)準(zhǔn)差，它也被稱為股票價(jià)格的波動(dòng)率（ Volatility） 4. 百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率。 ? 當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) 時(shí)，由于衍生證券價(jià)格 G是標(biāo)的證券價(jià)格 S和時(shí)間 t的函數(shù) G(S,t)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格 G應(yīng)遵循如下過程： 比較（ ）和（ ）可看出，衍生證券價(jià)格 G和股票價(jià)格 S都受同一個(gè)不確定性來源 dz的影響，這點(diǎn)對(duì)于以后推導(dǎo)衍生證券的定價(jià)公式很重要。同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有風(fēng)險(xiǎn)源為 dz的現(xiàn)金流都應(yīng)該使用無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。為了使該組合價(jià)值處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)? 值，使 3個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著： ?11 － =9 = ?? ?? 因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和 。 可見，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。 期權(quán)定價(jià)公式的右邊可以看作一個(gè)與歐式看漲期權(quán)等價(jià)的、或者說是復(fù)制期權(quán)的投資組合，這個(gè)投資組合由股票和負(fù)債兩部分組成。 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率 q（單位為年）時(shí)，我們只要將 代替 S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個(gè)都是很容易獲得的確定數(shù)值。 28 （二）估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率 估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率要比估計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)利率困難得多，也更為 重要。顯然，這里計(jì)算得到的波動(dòng)率可以看作是市場(chǎng)對(duì)未來波動(dòng)率的預(yù)期。 隱含波動(dòng)率 資本市場(chǎng)具有強(qiáng)大的信息功能。要注意選擇無風(fēng)險(xiǎn)的即期利率（即零息票債券的到期收益率），而不能選擇附息票債券的到期收益率，并且要轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利的形式，才可以在 BSM公式中應(yīng)用。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理，若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在 提前執(zhí)行可能是合理的，則要分別計(jì)算在 T時(shí)刻和 時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。 )(1)( xNxN ??? 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。 由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于 3個(gè)月后股票的市價(jià)。 17 觀察布萊克－舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率 是無關(guān)的。 一般來說，金融研究者認(rèn)為證券價(jià)格的變化過程可以用漂移率為 μ S、方差率為 S2的伊藤過程（即幾何布朗運(yùn)動(dòng)）來表示： 2?dS Sdt Sdz???? 之所以采用幾何布朗運(yùn)動(dòng)其主要原因有兩個(gè)： 一是可以避免股票價(jià)格為負(fù)從而與有限責(zé)任相矛盾的問題，二是幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實(shí)際較為吻合。這就是著名的伊藤引理。一般認(rèn)為，弱式效率市場(chǎng)假說與馬爾可夫隨機(jī)過程（ Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。 因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律。在本章中，我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克 舒爾斯 默頓期權(quán)定價(jià)模型（下文簡(jiǎn)稱 BSM模型），并由此導(dǎo)出衍生證券
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