【文章內(nèi)容簡介】 如果把單實根因子也看作是二階因子的一個特例：即二次項系數(shù)等于零的二階因子，則整個函數(shù)可以完全分解成實系數(shù)二階因子的形式 12M 1 j 2 ji1 1 j 2 j1 z zH ( z ) A1 z z????????????? 這樣濾波器就可以用若干二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)起來構(gòu)成，這些二階網(wǎng)絡(luò)也成為濾波器的二階基本節(jié)。它的傳遞函數(shù)的一般形式為 ? ? 121 i 2 ii1 i 2 i1 z zHz 1 z z????????? ?? 這樣一個二階基本節(jié)可以采用直接 II型結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)，整個濾波器則是他們的級聯(lián)。 ? ? ? ?M ii1H z A H z?? ? 整個結(jié)構(gòu)如圖 28所示。 基于 MATLAB 與 CCS 的 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器的 MATLAB 輔助設(shè)計 7 圖 28 結(jié)構(gòu)圖 并聯(lián)型 將傳遞函數(shù)展開成部分分式 就可以用并聯(lián)的方式構(gòu)成濾波器。 ? ?N ii Ni 0 i0N ii i1 iii1az AH z A 1 d z1 b z???? ??? ? ? ??? ?? 對于其中的共軛復(fù)根部分，再將它們成對地合并為二階實系數(shù)的部分分式，則 ? ? ? ?? ? ? ?1LM iii0 1 11i 1 i 1iB 1 D zAH z A1 p z 1 d z 1 d z?? ? ? ????? ? ?? ????1LMi 0 i 1 i0 i 1 2i 1 i 1i 1 i 2 iAzA 1 p z 1 z z?????? ? ????? ? ?? ? ??? 其中， N L 2M?? 。 這樣就可以用 L個一階網(wǎng)絡(luò)、 M個二階網(wǎng)絡(luò)、以及一個常數(shù) A0 網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)起來組成濾波器 H(z)，其結(jié)構(gòu)如圖 69 所示。 ? ?x n A ??yn11?11?21?21?1M?2M?1M?2M?1z?1z?1z?1z?? ?1Hz ? ?MHz基于 MATLAB 與 CCS 的 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器的 MATLAB 輔助設(shè)計 8 當(dāng)然也可以全部采用二階節(jié)的結(jié)構(gòu)，這時可將式 (65)中實根部分兩兩合并以形成二階分式。 IIR 濾波器的幾種結(jié)構(gòu)形式的性能 直接 I 型：需要 2N級延時單元。 直接 II 型：只需要 N 級延時單元，節(jié)省資源。 直接 (I,II)型在實現(xiàn)原理上是類似的，都是直接一次構(gòu)成。共同的缺點是，系數(shù) ai 、 bi 對濾波器性能的控制關(guān)系不直接，調(diào)整不方便。更嚴(yán)重的是當(dāng)階數(shù) N 較高時，直接型結(jié)構(gòu)的極點位置靈敏度太大，對字長效應(yīng)太明顯，因而容易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象并產(chǎn)生較大誤差。因此一般來說，采用另兩種結(jié)構(gòu)將具有更 大的優(yōu)越性。 級聯(lián)型：每一個基本節(jié)只關(guān)系到濾波器的某一對極點和一對零點，便于準(zhǔn)確實現(xiàn)濾波器的零、極點，也便于性能調(diào)整。 級聯(lián)結(jié)構(gòu)可以由許多不同的搭配方式，在實際工作中，由于運算字長效應(yīng)的影響，不同排列所得到的誤差和性能也不一樣。 并聯(lián)型：可以單獨調(diào)整極點位置，但不能直接控制零點。在運算誤差方面，并0A1A1p1z?? ?xn ??yn01?11?11?21?1z?1z?0M?1M?1M?2M?1z?1z?基于 MATLAB 與 CCS 的 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器的 MATLAB 輔助設(shè)計 9 聯(lián)型各基本節(jié)的誤差互不影響，所以比級聯(lián)型總的說，誤差要稍小一些。 因此當(dāng)要求有準(zhǔn)確的傳輸零點時，采用級聯(lián)型最合適，其他情況下這兩種結(jié)構(gòu)性能差不多，或許采用并聯(lián)型稍好一點。 典 型的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計 模擬濾 波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有一些典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯 (Butterworth)濾波器、切比雪夫 (Chebyshev)濾波器、橢圓 (Cauer)濾波器、貝塞爾 (Bessel)濾波器等，這些典型的濾波器各有特點。用 MATLAB進(jìn)行典型的數(shù)字濾波器的設(shè)計，一般步驟如下 : (1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 。 (2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)使用濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，確定最小階數(shù) N和固有頻率 Wn，根據(jù)選用的模擬低通濾波器的類型可分別用函數(shù) :buttord、 eheb1ord、chebZord、 ellipord 等 。 (3)運用最小階數(shù) N 產(chǎn)生模擬濾波器原型，模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數(shù)有 :buttap、 eheb1ap、 ehebZap、 ellipap、 besselap 等 。 (4)運用固有頻率 Wn 把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換成模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可分別用函數(shù) lpZlp、 lpZhp、 lpZbp、 lpZbs。 (5)運用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，分別用函數(shù) impinvar 和 bilillear 來實現(xiàn)。 典型 低通 Chebyshevl 型數(shù)字濾波器的設(shè)計 設(shè)計中需要限定其通帶上限臨界頻率 wp，阻帶臨界濾波頻率 ws，在通帶內(nèi)的最大衰減 rP，阻帶內(nèi)的最小衰減 rs。 設(shè)計過程如下 : 把數(shù)字濾波器的頻率特征轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的頻率特征 。 (例如設(shè)定各參數(shù) wp=30*2*pi。ws=40*2*pi:Fs=100。rp=。rs=80:) 選擇濾波器的階數(shù) : [N， Wn]=cheblord(wP， ws， rP， rs， ’ s’ )。 創(chuàng)建 Chebyshevl 型濾波器原型 : [z， P， k]=eheblaP(N， rP): 表達(dá)形式從零極點增益形式轉(zhuǎn)換成 狀態(tài)方程形式 : [A， B， C， D]=zpZss(z， p， k): 把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器 : [At， Bt， Ct， Dt]=IPZIP(A， B， C， D， Wn): 基于 MATLAB 與 CCS 的 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器的 MATLAB 輔助設(shè)計 10 表達(dá)形式從狀態(tài)方程形式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)形式 : [numl， denl]=ssZtf(At， Bt， Ct， Dt)。 采用沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 : [numZ， denZ]=imPinvar(numl， denl， 100)。 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91頻率 / H z幅值 [N， Wn]==cheb1ord(wp， ws， rp， rs，’ s’ ) 該函數(shù)返回模擬濾波器的最小階數(shù) N和 Chebyshevl 型固有頻率 Wn。其中的 wp、ws 是以弧度為單位。如果 rp=3dB，則固有頻率 wn 等于通帶截止頻率 wp。 [z， P， k]=eheb1aP(N， rP) 該函數(shù)返回一個 N階 Chebyshevl 型濾波器的零點、極點和增益。這個濾波器有通帶內(nèi)的最大衰減為 rP。 chebyshevl型濾波器的主要特點是在阻帶內(nèi)達(dá)到最大平滑。 [At， Bt， et。Dt]=lp2lp(A， B， C， D， Wn) 該函數(shù)把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換成截止頻率為 Wn的低通濾波器。 [numZ， denZ 卜 impinvar(numl， denl， Fs) 該函數(shù)模擬濾波器傳遞函數(shù)形式 ［ numl， denl]轉(zhuǎn)換為采樣頻率為 Fs 的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)形式 [numZ， denZ]。 Fs 缺省時默認(rèn)為 1Hz。 [H， W]=freqz(numZ， denZ， N) 該函數(shù)返回數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。當(dāng) N 是一個整數(shù)時，函數(shù)返回 N 點的頻率向量 H 和 N 個點的復(fù)頻響應(yīng)向量 W。 N最好選用 2 的整數(shù)次冪，這樣使用 FFT 進(jìn)行快基于 MATLAB 與 CCS 的 IIR 濾波器設(shè)計 IIR 濾波器的 MATLAB 輔助設(shè)計 11 速運算。 N 個頻率點均勻地分布在單位圓的上半圓上。系統(tǒng)的 N默認(rèn)值為 512。 完全濾波器設(shè)計 除了典型設(shè)計以外， MATLAB 信號處理工具箱提供了幾 個直接設(shè)計 IIR 數(shù)字濾波器的函數(shù)，直接調(diào)用就可以設(shè)計濾波器，這為設(shè)計通用濾波器提供了方便。 設(shè)計 Butterworth 濾波器用函數(shù) butter()，可以設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器，其特性是通帶內(nèi)的幅度響應(yīng)最大限度的平滑，但損失了截止頻率處的下降斜度。 設(shè)計 ehebyshevI 型濾波器用函數(shù) ehebyl()。可以設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬 ChebyshevI 型濾波器，其通帶內(nèi)為等波紋，阻帶內(nèi)為單調(diào)。 ChebyshevI型濾波器的下降斜度比 II 型大，但其代價目是通帶內(nèi)波紋較大。 設(shè) 計 ehebyshevII 型濾波器用函數(shù) eheby2()?？梢栽O(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬 ChebyshevII 型濾波器，其通帶內(nèi)為單調(diào)，阻帶內(nèi)等波紋。ChebyshevII 型濾波器的下降斜度比 I型小，但其阻帶內(nèi)波紋較大。 設(shè)計橢圓濾波器用函數(shù) ellip()，與 ehebyl、 eheby2 類似，可以設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬濾波器。與 Butterworth 和 chebyshev 濾波器相比，ellip 函數(shù)可以得到下降斜度更大的濾波器，得 通帶和阻帶均為等波紋。一般情況下，橢圓濾波器能以最低的階實 現(xiàn)指定的性能指標(biāo)。 幾種類型 的 低通濾波器設(shè)計 : 設(shè) Wp=30Hz， Ws=