布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型(編輯修改稿)
2025-02-05 19:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的價(jià)值不會產(chǎn)生影響。 ? 假設(shè)： 在對衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的 。 ? 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的一般程序： ? 所有資產(chǎn)的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率 ? 確定衍生工具的邊界條件，計(jì)算到期日的期望值 ? 把期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn) ? 第二節(jié) 布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 一、布萊克 舒爾斯微分方程 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理在遠(yuǎn)期合約定價(jià)中的應(yīng)用： ?邊界條件： TTf S K??()( ) ( )( ) ( ) ( )()? ()? ()r T tTr T t r T tTr T t r T t r T tr T tf e E S Ke E S e Ke S e e KS e K??? ? ? ?? ? ? ? ???????? ? ???? 第二節(jié) 布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 二、布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式 ? 股票價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布，風(fēng)險(xiǎn)中性條件下以 r取代 μ，即： ? 在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（ T時(shí)刻）的期望值為： 表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值 ?歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 c等于將該期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： ? [ m ax ( , 0 ) ]TE S X??E () ? [ m ax ( , 0 ) ]r T tTe E S X????2ln [ ln ( ) ( ) , ]2TS S T t Tr t???? ? ? ?? 第二節(jié) 布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 二、布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式 ?無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式： ()12( ) ( )r T tc S N d X e N d????21ln ( / ) ( ) ( )2S X r T td Tt??? ? ?? ?221ln ( / ) ( ) ( )2S X r T td T tTt???? ? ?? ? ? ?? N(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù) 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，有 N(x) + N(x) = 1 ? 第二節(jié) 布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 二、布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式 對 BS公式的理解 N(d2)是風(fēng)險(xiǎn)中性下， ST大于 X的概率，即歐式買權(quán)被執(zhí)行的概率 X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值： ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值： () 2()r T tX e N d?? ()11( ) ( )r T tTS N d S e N d??? Δ=N(d1)是復(fù)制股票的數(shù)量， SN(d1)是股票的市值。 是復(fù)制負(fù)債的價(jià)值 () 2()r T tX e N d???()12( ) ( )r T tc S N d X e N d????? 第二節(jié) 布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 二、布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式 對 BS公式的理解 波動率 歷史波動率：通過歷史數(shù)據(jù)計(jì)算出的波動率 期權(quán)定價(jià)模型 f(S,X,r,σ,t) 期權(quán)價(jià)值 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格 隱含波動率：根據(jù)期權(quán)的市場價(jià)格，通過 BS公式反向計(jì)算得到的波動率 執(zhí) 行 價(jià) 格 到 期 日 波 動 率 利 率 期權(quán)價(jià)格? 臺灣市場股指與波動率的關(guān)系 ? 第二節(jié) 布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 三、 BS定價(jià)公式的基本擴(kuò)展 無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式 根據(jù)歐式買權(quán)和賣權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式賣權(quán)的定價(jià)公式： () 21( ) ( )r T tp X e N d S N d??? ? ? ?()r T tp c Xe S??? ? ? ()12( ) ( )r T tc S N d X e N d?????? 第二節(jié) 布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 三、 BS定價(jià)公式的基本擴(kuò)展 無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 ()12( ) ( )r T tC c S N d X e N d??? ? ? 在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此 C=c 無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式是： ? 在收益已知情況下，標(biāo)的證券價(jià)格可以分解成兩部分： 期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分 一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分 當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，現(xiàn)金收益部分的現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。 因此， BS公式中的 S應(yīng)該表示為有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格、 σ表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過程的波動率 第二節(jié) 布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 三、 BS定價(jià)公式的基本擴(kuò)展 有收益資產(chǎn)歐式期權(quán) 1 ? 當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為 I時(shí)，用 (SI)代替 S: 第二節(jié) 布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 三、 BS定價(jià)公式的基本擴(kuò)展 有收益資產(chǎn)歐式期權(quán) 2 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為連續(xù)復(fù)利計(jì)的固定收益率 q時(shí) : ()12( ) ( ) ( )r T tc S I N d X e N d??? ? ?( ) ( )12( ) ( )q T t r T tc S e N d X e N d? ? ???() 21( ) ( ) ( )r T tp X e N d S I d??? ? ? ? ?21ln ( / ) ( ) ( )2rqS X T td Tt???? ? ?? ?21d d T t?? ? ?? 股指期權(quán)則是以市場平均股利支付率為收益率 外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無風(fēng)險(xiǎn)利率 歐式期貨期權(quán)可以看作一個(gè)支付連續(xù)紅利率為 r的資產(chǎn)的歐式期權(quán) 第二節(jié) 布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 三、 BS定價(jià)公式的基本擴(kuò)展 有收益資產(chǎn)歐式期權(quán) 3 () 12[ ( ) ( ) ]r T tc e F N d X N d????() 21[ ( ) ( ) ]r T tp e X N d F N d??? ? ? ?21ln( / ) ( / 2) ( )F X T tdTt??????21d d T t?? ? ?? 例： 求 6個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為 $ 假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為 $ 美國的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為 7%，英國的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為 10% 英鎊匯率遵循幾何布朗運(yùn)動，其波動率為 10% 第二節(jié) 布萊克 舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型 三、 BS定價(jià)公式的基本擴(kuò)展 有收益資產(chǎn)歐式期權(quán) 4 解答： ?由于英鎊會產(chǎn)生無風(fēng)險(xiǎn)收益，相當(dāng)于支付一直收益率為 10%的資產(chǎn)，令 S= e10% ，可得 ( ) ( )12 1212 121( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 8 ( ) 4 ( ) 5ln ( 0 / 0 ) ( / 2 ) 5 8 70q
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