【文章內(nèi)容簡介】 9q1 +11q3 ? 1 qj ? 0 (j=1,2,3) 且 ? pi = ? qj = 1/ V ( DLP) max （ q1 +q2 +q3 ） 7q1 + 2q2 +9q3 ? 1 2q1 + 9q2 ? 1 9q1 +11q3 ? 1 qj ? 0 (j=1,2,3) 且 ? pi = ? qj = 1/ V 例 在 W城的冰箱市場上，以往的市場份額由本市生產(chǎn)的 A牌冰箱占有絕大部分。本年初，一個全國知名的 B牌冰箱進入 W城的市場。在這場競爭中假設(shè)雙方考慮可采用的市場策略均為三種：廣告、降價、完善售后服務(wù)，且雙方用于營銷的資金相同。根據(jù)市場預(yù)測， A的市場占有率為： B 廣告 ?1 降價 ?2 售后服務(wù) ?3 廣告 ?1 A = 降價 ?2 售后服務(wù) ?3 試確定雙方的最優(yōu)策略。 ? 田忌賽馬，田忌不知齊王出馬次序，請問田忌應(yīng)如何出馬 三、非零和對策 除了零和對策外，還存在著另一類對策問題，局中人獲利之和并非常數(shù)。 例 現(xiàn)有一對策問題，雙方獲利情況見表 。 表 B方 A方 1 2 3 1 2 3 4 （ 8,2） （ 3,4） （ 1,6） （ 4,2） （ 0,9） （ 9,0） （ 6,2） （ 4,6） （ 7,3） （ 2,7） （ 8,1） （ 5,1） 假如 A、 B雙方仍采取穩(wěn)妥的辦法， A發(fā)現(xiàn)如采取策略 4，則至少可獲利4，而 B發(fā)現(xiàn)如采取策略 1，則至少可獲利 2。因而，這種求穩(wěn)妥的想法將導(dǎo)至出現(xiàn)局勢（ 4， 2）。 容易看出，從整體上看，結(jié)果并不是最好的，因為雙方的總獲利有可能達到 10。不難看出，依靠單方面的努力不一定能收到良好的效果?？磥?，對這一對策問題，雙方最好還是握手言和，相互配合，先取得總體上的最大獲利，然后再按某一雙方均認為較為合理的方式來分享這一已經(jīng)獲得的最大獲利。 例 ，總獲利數(shù)并非常數(shù)的對策問題（即不能轉(zhuǎn)化為零和對策的問題），是一類存在著合作基礎(chǔ)的對策問題。當(dāng)然，這里還存在著一個留待解決而又十分關(guān)鍵的問題：如何分享總獲利，如果不能達到一個雙方（或各方）都能接受的 “公平 ”的分配原則，則合作仍然不能實現(xiàn)。怎樣建立一個 “公平 ”的分配原則是一個較為困難的問題，將在第九章中介紹。 最后，我們來考察幾個對策問題的實例。 例 （戰(zhàn)例分析） 1944年 8月，美軍第一軍和英軍占領(lǐng)法國諾曼第不久，立即從海防前線穿過海峽，向 Avranches進軍。美軍第一軍和英軍的行動直接威脅到德軍第九軍。美軍第三軍也開到了 Avranches的南部，雙方軍隊所處的地理位置如圖 。 美軍方面的指揮官是 Bradley將軍，德軍指揮官是 Von Kluge將軍。 Von Kluge將軍面臨的問題是或者向西進攻，加強他的西部防線，切斷美軍援助；或者撤退到東部，占據(jù)塞那河流域的有利地形，并能得到德軍第十五軍的援助。 Bradley將軍的問題是如何調(diào)動他的后備軍，后備軍駐扎在海峽南部。Bradley將軍有三種可供選擇的策略：他可以命令后備軍原地待命，當(dāng)海峽形勢危急時支援第一軍或出擊東部敵人，以減輕第一軍的壓力。 雙方應(yīng)如何決策，使自己能有較大的機會贏得戰(zhàn)爭的勝利呢？ 我們將用建立矩陣對策模型的方法，來試圖求得雙方的最優(yōu)策略。模型假設(shè)： Bradley將軍和 Von Kluge將軍分別為對策問題的局中人 A和 B。 局中人 A的策略集合為 SA = { 1, 2, 3}，其中： 1為后備軍增援保衛(wèi)海峽； 2為后備軍東征，切斷德軍后路； 3為后備軍待命 ??? ?局中人 B的策略集合為 SB = { 1, 2}，其中： 1為德國向西進攻海峽，切斷美軍援助； 2為德軍撤退到東部，占領(lǐng)塞納河流域有利地形。 ??? SA、 SB構(gòu)成六種純局勢，綜合雙方實力，各種局勢估計結(jié)果如下。若 B采取策略 1，即德軍采取攻勢，則有 ?（ 1）（ 1, 1），估計美軍擊敗德軍并占領(lǐng)海峽的可能性（即概率）為 ??13（ 2）（ 2, 1），估計美軍取勝的可能為 。德軍很可能打破美軍第一軍的防線，并切斷美軍的退路。 16（ 3）（ 3, 1），估計美軍可以根據(jù)需要增援。如不需增援，后備軍可東進繞行到德軍后方。這樣，美軍將占領(lǐng)海峽并徹底殲滅德軍第九軍。 ??情況（ 1）、（ 2）、（ 3）如圖 （ 1）、（ 2）、（ 3）所示。 若 B采取策略 2，即德軍第九軍東撤，占據(jù)塞納河流域有利地形，則有 ?（ 4）（ 1, 2），美方擴大了戰(zhàn)線，德軍雖占據(jù)了有利地形，美軍仍有擊敗 德軍的可能性。 ?（ 5）（ 2, 2），美后備軍東進給德軍東撤造成壓力并挫傷德軍，使美軍擊敗 德軍的可能性增大到 。 ??56（ 6）（ 3, 2），美后備軍待命。在發(fā)現(xiàn)德軍撤退后，奉命向東擾亂敵方撤退， 為以后殲滅德第九軍創(chuàng)造條件，估計是美軍擊敗德軍的可能性 。 ?? 23情況（ 4）、（ 5）、（ 6）見圖 （ 4）、（ 5）（ 6）所示。 上述分析估計是由 Bradley將軍作出的，據(jù)此構(gòu)造出 A方贏得矩陣 12123 113215 66213BA???????????????????????這是一個 32對策矩陣?？梢郧蟮? ， ， ，不存在穩(wěn)定解，需要考慮其他解法。 16?? 56? ?? 0???? 定義 對于贏得矩陣 R，如果對所有 j， aij≥akj均成立，且至少存在一個 使 得 則稱 i行優(yōu)于 k行（策略 ai優(yōu)于 ak）。同樣，如對一切 i有 aij≤akl， 且至少有一個 i0使得 ，則稱 j列優(yōu)于 l例（局中人 B的策略 j優(yōu)于 l）。 0j 0kjij aa ?00i j i laa???易見，若一個對策矩陣的第 i行優(yōu)于第 k行，則無論局中人 B選擇哪種策略，局中 人 A采取策略 i的獲利總優(yōu)于（至少不次于）采取策略 k的獲利。 ? ?定理 對于矩陣對策 G= { SA, SB, R}，若矩陣 R的某行優(yōu)于第 i1,……, ik行， 則局中人 A在選取最優(yōu)策略時，必取 。 令 ， R’為從 R中劃去第 i1行， … ， ik行后剩下的矩 陣，則 的最優(yōu)策略即原對策 G的最優(yōu)策略，對于 R中 列的最優(yōu)關(guān)系也有類似的結(jié)果。 1 0kiipp? ? ?1\ { , , }kA A i iSS ??? ?{ , , }ABS S R? ? ?? 利用這一定理，有時對策問題可先進行化簡，降低矩陣的階數(shù)。 現(xiàn)在回過來討論美、德軍隊對策問題。在 Bradleg構(gòu)造的矩陣中容易發(fā)現(xiàn) a1j＜ a3j, j=1,2 故 3優(yōu)于 1。 根據(jù)上面的定理 ，可劃去該矩陣的第一行，得到 22贏得矩陣 ??1223 1566213????????????????這仍然是一個無鞍點的對策矩陣。設(shè) Bradley以概率 p1取策略 2而以概率 p2取略 3，則應(yīng)有 ??1 2 1 2121 5 26 6 31p p p ppp? ? ? ???? ???解得 311 ?p223p ? 類似地，設(shè) Von Kluge 以概率 q1取策略 1而以概率 q2取策略 2，則應(yīng)有 ??1 2 1 2121 5 26 6 31q q q qqq? ? ? ???? ???解得 。 1215,66qq??由于兩軍作戰(zhàn)并非可以反復(fù)進行的對策問題，看來最大的可能是美軍采取策略 3而德軍采取策略 2，即美方后備軍待命而德軍第九軍東撤。事實上，當(dāng)時雙方指揮官正是這樣決策的，如果真能實行，雙方勝負還難以料定。但正當(dāng)?shù)萝姷诰跑妱傞_始東撤時，突然接到了希特勒的命令要他們向西進攻，從而失去了他們有可能取得的最佳結(jié)局，走上必然滅亡的道路。 Von Kluge將軍指揮的德軍向西進攻，開始時德軍占領(lǐng)了海峽，但隨之即被美軍包圍遭到了全軍復(fù)滅， Von Kluge本人在失敗后自殺。 ?? 例 （防坦克地雷場的布設(shè)） 實戰(zhàn)中，攻方為了增強攻擊力，大量使用攻擊力強、防御堅固的坦克；守方為了抵御對方攻擊，需要大量殺傷敵方的有生力量，有效對策之一是布設(shè)防坦克地雷場。 分析 評價防坦克地雷場的重要指標(biāo)是戰(zhàn)斗效力，而布雷密度是基本因素之一。只要有足夠多的地雷，用較高密度的地雷場對付敵方進攻總是行之有效的。但在實際戰(zhàn)斗中，地雷不太可能是足夠多的。假設(shè)： （ 1）防坦克地雷數(shù)量有限； （ 2）通過偵察、分析，已知敵方可能采用 … 、 n種進攻策略之一； ??（ 3）通過敵情分析，確定了防御正面的寬度，并根據(jù)我方地雷數(shù)量，設(shè)計 了 1, 2,…, m這 m種布雷方案。 ??問采取哪一方案或什么樣的混合策略能有效擊毀敵方的坦克？ 本例在過去一般是憑指揮員的作戰(zhàn)經(jīng)驗定性決策的，現(xiàn)用矩陣對策方法進行定量擇優(yōu)。 由于每兩輛坦克之間一般要保持 50米的間距，因而進攻正面拉得很寬，如一個梯隊 20輛坦克，進攻正面約為一公里寬。因為只有有限個防御正面，用有限個進攻策略來描述敵方的進攻狀態(tài)是非常接近實際情況的。對守方來講，布雷密度通?？煞殖?,1,2等有限個等級。按常規(guī)做法，在防御正面上一般采用同一種技術(shù)密度。為了提高殺傷率，現(xiàn)將一個防御正面劃分成幾段，各段允許采用不同密度。 對策決策 要用矩陣對策決策，關(guān)鍵問題是如何列出守方的贏得矩陣。由效率評定試驗可得出在各種布雷密度下的殺傷率表，如表 。 表 布雷密度 1 2 殺傷率 根據(jù)上表，在確定方案后即可根據(jù)各段不同密度針對攻方的進攻策略計算出坦克的殺傷率。為便于理解，作為實例分析下面兩種情況： 情況 1 設(shè)守方只有 1500個防坦克地雷，欲布設(shè)在攻方必經(jīng)的 2公里攻擊正面上。攻方一個坦克梯隊的 20輛坦克展開成 1公里寬的陣面，但既可能從左側(cè)進攻（策略 1）也可能從右側(cè)進攻（策略 2）。守方設(shè)計了三種布雷方案 1, 2, 3,（圖 ），試求守方的贏得矩陣和最優(yōu)策略。 ? ???圖 情況 1求解：容易求得守方的贏得矩陣 1 211 2211 24A?? ????? ?????? ??? ? ? ????? ???? ????????這是一個有鞍點的矩陣，鞍點為 a22。守方只要按 2方案布雷，則不管攻方從哪一側(cè)進攻，總可毀傷對方 %的坦克。