【正文】 30%可能減少誤工期 2天，支付應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共 18000元；有20%可能減少誤工期 3天，支付應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共 12023元。 如遇大風(fēng)暴，也有兩個(gè)方案可供選擇：（ i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費(fèi) 50000元。（ ii）采取應(yīng)急措施。實(shí)施此應(yīng)急措施也有三種可能結(jié)果：有 70%可能減少誤工期 2天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共 54000元；有 20%可能減少誤工期 3天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共 46000元；有10%可能減少誤工期 4天，支付應(yīng)急費(fèi)和誤工費(fèi)共 38000元。 根據(jù)上述情況，試作出最佳決策使支付的額外費(fèi)用最少。 解：由于未來的天氣狀態(tài)未知，但各種天氣狀況出現(xiàn)的概率已知，本例是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)型決策問題，所謂的額外費(fèi)用應(yīng)理解為期望值。 本例要求作多次決策，工程初期應(yīng)決定是按正常速度施工還是提前緊急加班。如按正常速度施工，則 15天后還需根據(jù)天氣狀況再作一次決策，以決定是否采取應(yīng)急措施，故本例為多階段（兩階段）決策問題。為便于分析和決策，采用決策樹方法。 根據(jù)題意，作決策樹如圖 圖 ， □表示決策點(diǎn)，從它分出的分枝稱為方案分枝，分枝的數(shù)目就是方案的個(gè)數(shù)。 ○表示機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)，從它分出的分枝稱為概率分枝，一條概率分枝對(duì)應(yīng)一條自然狀態(tài)并標(biāo)有相應(yīng)的發(fā)生概率。△稱為未梢節(jié)點(diǎn)，右邊的數(shù)字表示相應(yīng)的收益值或損失值。 在決策樹上由右向左計(jì)算各機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)處的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點(diǎn)旁。遇到?jīng)Q策點(diǎn)則比較各方案分枝的效益期望值以決定方案的優(yōu)劣，并且用雙線劃去淘汰掉的方案分枝，在決策點(diǎn)旁標(biāo)上最佳方案的效益期望值，計(jì)算步驟如下： （ 1）在機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn) E、 F處計(jì)算它們的效益期望值 E(E) = （－ 24000）＋ （－ 18000）＋ （－ 12023） =－ 19800 E(F) = （－ 54000）＋ （－ 46000）＋ （－ 38000） =－ 50800 （ 2）在第一級(jí)決策點(diǎn) C、 D處進(jìn)行比較，在 C點(diǎn)處劃去正常速度分枝，在D處劃去應(yīng)急分枝。 （ 3）計(jì)算第二級(jí)機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn) B處的效益期望值 E(B) = 0＋ （－ 19800）＋ （－ 50000） =－ 14900 并將－ 14900標(biāo)在 B點(diǎn)旁。 （ 4）在第二級(jí)決策點(diǎn) A處進(jìn)行方案比較，劃去提前緊急加班，將－ 14900標(biāo)在 A點(diǎn)旁。 結(jié)論 最佳決策為前 15天按正常速度施工， 15天后按實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作決定。如出現(xiàn)陰雨天氣，仍維持正常速度施工；如出現(xiàn)小風(fēng)暴，則采取應(yīng)急措施；如出現(xiàn)大風(fēng)暴，也按正常速度施工，整個(gè)方案總損失的期望值為－ 14900元。 根據(jù)期望值大小決策是隨機(jī)型決策問題最常用的辦法之一。實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情況作出分析，選取期望收益最大或期望損失最小的方案。 二、不確定型決策問題 只知道有幾種可能自然狀態(tài)發(fā)生，但各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知的決策問題稱為不確定型決策問題，由于概率未知，期望值方法不能用于這類決策問題。下面結(jié)合一個(gè)例子，介紹幾種處理這類問題的方法。 例 設(shè)存在五種可能的自然狀態(tài)，其發(fā)生的概率未知。有四種可供選擇的行動(dòng)方案，相應(yīng)的收益值見表 表 6 6 6 5 3 4 1 5 9 6 4 3 8 7 5 4 3 2 6 6 5 4 4 1 5 4 3 2 1 自然狀態(tài) 方案 ?????? ? （ 1）樂觀法（ max max原則） 采用樂觀法時(shí)，決策者意在追求最大可能收益。他先計(jì)算每一方案的最大收益值，再比較找出其中的最大者，并采取這一使最大收益最大的方案，在例 ， max a1j = 6， max a2j = 8， max a3j = 9， max a4j = 6，而 max {6， 8， 9， 6}=9， 采取方案 3。 ?（ 2）悲觀法（ max min原則） 采用悲觀法時(shí)，決策者意在安全保險(xiǎn)。他先求每一方案的最小收益 ,再比較找出其中的最大者，并采取這一使最小收益值最大化的方案。對(duì)于例 ， min a1j = 4， min a2j = 3， min a3j = 1， min a4j = 3。 因?yàn)?max {4, 3， 1， 3} = 4, 采取方案 1。 ?（ 3）樂觀系數(shù)法（ Hurwicz決策準(zhǔn)則） 樂觀系數(shù)法采用折中的辦法，引入一個(gè)參數(shù) t， 0≤t≤1，稱 t為樂觀系數(shù)。 作決策時(shí)，決策者先適當(dāng)選取一個(gè) t的值；再對(duì)各方案 1求出 ； 最后再作比較，找出使 最大的方案。在例 ，若取 t=，采用樂觀系數(shù)法決策，將選取 方案 2。易見， t=1對(duì)應(yīng)樂觀法，而 t=0則對(duì)應(yīng)于悲觀法。 ?m a x (1 ) m inij ijjjt a t a??m a x (1 )ij ijjjt a t? （ 4）等可能法（ Laplace 準(zhǔn)則） 由于不能估計(jì)各狀態(tài)出現(xiàn)的概率，決策者認(rèn)為它們相差不會(huì)過大。此時(shí)，決策者采用將各狀態(tài)的概率取成相同值的辦法把問題轉(zhuǎn)化為風(fēng)險(xiǎn)型，并借用風(fēng)險(xiǎn)型問題的期望值法來決策。對(duì)于例 ，如取各狀態(tài)出現(xiàn)的概率均為 ，用期望值法決策，將選取策略 2。 ?不難看出，對(duì)于不確定型決策問題，不論采用什么方法決策，最終采用的策略都不能稱為最佳策略。事實(shí)上，采取什么方法決策與決策者的心理狀態(tài)有關(guān)。而且，即使對(duì)同一決策者，在處理不同決策問題時(shí)也可能采取不同的方法。例如，在決定購(gòu)買幾元錢一張的對(duì)獎(jiǎng)券時(shí)，決策者也許會(huì)采用樂觀法。因?yàn)閹自X的損失對(duì)他來講是無所謂的事，小額獎(jiǎng)金他也許看不上眼，要中就來個(gè)大獎(jiǎng)。但是，在決策購(gòu)買何種股票時(shí)，因?yàn)殛P(guān)系重大，也許他為了保險(xiǎn)又會(huì)采取悲觀法。同而，不確定型問題的決策充其量只能算是在決策者某種心理狀態(tài)下的選優(yōu)。要作出較符合實(shí)際情況的決策，還需決策者多作些調(diào)查研究，以便對(duì)未來自然狀態(tài)的出現(xiàn)作出較符合客觀實(shí)際的預(yù)測(cè)，才能收到較好的效果。 例 （離散報(bào)童模型）設(shè)某商品的需求量 θ為離散變量，其取值范圍為Q = { 1,? , n}， 取值 i的概率為 P( i )， =1。記該商品的進(jìn)貨量為 （決策變量），若 ，進(jìn)貨過量，每單位進(jìn)貨過剩將造成 k0元過量損失；反之，若 ，進(jìn)貨不足，每單位進(jìn)貨不足將造成 ku元的不足損失。試確定該商品的最佳進(jìn)貨量。 ??????解：當(dāng) ≥ 時(shí)，將有過量損失 k0（ － ）；當(dāng) 時(shí)，將有不足損失 ku（ － ）。故總期望損失為 ?? ????? 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )naauaK k P k P?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???若 *為最優(yōu)進(jìn)貨量，則必有 ? * * 1KK????且 * * 1??由此經(jīng)平凡的計(jì)算可以得出：最佳進(jìn)貨量 *應(yīng)使 ? 11* 1 *0( ) ( )aauuPPkk? ? ? ???????????成立（推導(dǎo)過程從略）。 例 某燒雞店每賣出一只燒雞可賺 5元，如出現(xiàn)過剩將于下午 5點(diǎn)另作處理，每剩一只將損失 。該店根據(jù)平時(shí)銷售情況列出下表，試根據(jù)表 最佳平均利潤(rùn)。 表 概率 P( ) 30 29 28 27 26 25 需求量 ?解：根據(jù)題意，單位過剩損失 k0=，單位不足損失 ku = 5， 。 0ukkk ??因?yàn)? ， 但 。 故燒雞的最佳制作量為 28只。 2725( ) ??????2825( ) ?????最佳平均利潤(rùn)為 282528 5 ( 28 ) ( ) 133 .1P????? ? ? ??（元） 有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)投資的機(jī)會(huì)，成功和失敗的概率都是 。投資 1元，如果成功可以得到 ，即資本成為。如果失敗，則損失 1元，即資本成為 0。 開始的資本為 100萬元。投資的次數(shù)和每次投資額不限。為了不至于把錢輸光，投資者采取如下的策略：每次總是將資本的一半去投資。 問題：這項(xiàng)投資的結(jié)局如何，是一本萬利，還是一貧如洗？ 問題 1：風(fēng)險(xiǎn)決策的一個(gè)討論題 1（訂貨計(jì)劃）某廠制造和銷售一種新儀器，需要外購(gòu)一種配件?，F(xiàn)有三個(gè)廠生產(chǎn)這種配件，牌號(hào)為 A， B， C。 A配件每只 10元，但有次品，裝配的儀器也是次品，每臺(tái)損失 100元； B配件每只 55元，也有次品，但裝配的儀器出售后可在保修期內(nèi)稍加修理就能使用，修理費(fèi) 55元； C配件每只 118元，沒有次品；問該廠應(yīng)如何購(gòu)置各種配件，使總費(fèi)用（包括損失費(fèi)和修理費(fèi)）最少？ 對(duì)策問題習(xí)題 2（費(fèi)用分?jǐn)倖栴}）假設(shè)沿某河流有相鄰的三個(gè)城市： A， B， C。各城市都想建立自來水廠解決用水問題。各城市可單獨(dú)建立自來水廠，也可以合作建一個(gè)大水廠，再用管道送到各城市。經(jīng)估計(jì)，合作建一個(gè)大水廠比單獨(dú)建三個(gè)自來水廠的總費(fèi)用少。三個(gè)城市 有意合作，但是否實(shí)施，看總費(fèi)用的分?jǐn)偸欠窈侠?。問題是如何合理分?jǐn)傎M(fèi)用，使合作建立 大水廠的方案得以實(shí)現(xiàn)。 3（拍賣問題）拍賣形式是先由拍賣商對(duì)拍賣品描述一番，然后提出第一個(gè)報(bào)價(jià)。接下來由買者報(bào)價(jià)，每一次都比前次高，最后誰出的價(jià)格高拍賣品即歸誰所有。假設(shè)報(bào)價(jià)為 p1,p2? p n1 , pn,設(shè) p1p2 ? p n1 pn1就能買到。問題是，各買主之間可能知道他人的估價(jià)，也可能不知道他人的估價(jià)，每人應(yīng)如何報(bào)價(jià)對(duì)自己能以較低的價(jià)格得到拍賣品最為有利？ 4（囚犯難題）設(shè)有兩個(gè)嫌疑犯被警察拘留，警察分別對(duì)兩人進(jìn)行審訊。根據(jù)法律，如果兩人都承認(rèn)此案是他們干的，則每人各判刑 7年；如果兩人都不承認(rèn)，則由于證據(jù)不足，兩人各判刑 1年； 如果只有一人承認(rèn)，則承認(rèn)者以寬大處理，當(dāng)場(chǎng)釋放，而不承認(rèn)者判刑 9年。因此，對(duì)兩個(gè)囚犯來說，面臨著一個(gè)“承認(rèn)”和“不承認(rèn)”之間兩個(gè)策略的選擇的難題。 案例：俾斯麥海的?？諏?duì)抗 1943年 2月，第二次世界大戰(zhàn)中的日本，在太平洋戰(zhàn)區(qū)已經(jīng)處于劣勢(shì)。為扭轉(zhuǎn)局勢(shì)，日本統(tǒng)帥山本五十六大將統(tǒng)率下的一支艦隊(duì)策劃了一次軍事行動(dòng)：由集結(jié)地 —— 南太平洋的新不列顛群島的蠟包爾出發(fā)，穿過俾斯麥海，開往新幾內(nèi)亞的萊城，支援困守在那里的日軍。 當(dāng)盟軍獲悉此情報(bào)后，盟軍統(tǒng)帥麥克阿梭命令太平洋戰(zhàn)區(qū)空軍司令肯尼將軍組織空中打擊。 日本統(tǒng)帥山本五十六大將心里很明白： 在日本艦隊(duì)穿過俾斯麥海的三天航行中，不可能躲開盟軍的空中打擊，他要策劃的是盡可能減少損失。 日美雙方的指揮官及參謀人員都進(jìn)行了冷靜的思考與全面的謀劃 。 自然條件對(duì)于雙方 都是已知的。基本情況如下：從蠟包爾出發(fā)開往萊城的海上航線有南北兩條。通過時(shí)間均為 3天。 氣象預(yù)報(bào)表明：未來 3天中，北線陰雨，能見度差；而南線天氣晴好，能見度好。 肯尼將軍的轟炸機(jī)布置在南線的機(jī)場(chǎng)，偵察機(jī)全天候進(jìn)行偵察 ， 但有一定的搜索半徑 。 經(jīng)測(cè)算，雙方均可得到如下估計(jì)： 局勢(shì) 1： 盟軍的偵察機(jī)重點(diǎn)搜索北線，日本艦隊(duì)也恰好走北線。由于氣候惡劣，能見度差，盟軍只能實(shí)施兩天的轟炸。 局勢(shì) 2： 盟軍的偵察機(jī)重點(diǎn)搜索北線，日本艦隊(duì)走南線。由于發(fā)現(xiàn)晚，盡管盟軍的轟炸機(jī)群在南線，但有效轟炸也只有兩天。 局勢(shì) 3： 盟軍的偵察機(jī)重點(diǎn)搜索南線，而日本艦隊(duì)走北線。由于發(fā)現(xiàn)晚、盟軍的轟炸機(jī)群在南線，以及北線氣候惡劣，故有效轟炸只有一天。 局勢(shì) 4： 盟軍的偵察機(jī)重點(diǎn)搜索南線，日本艦隊(duì)也恰好走南線。此時(shí)日本艦隊(duì)迅速被發(fā)現(xiàn)，盟軍的轟炸機(jī)群所需航程很短，加上天氣晴好，有效轟炸時(shí)間三天。 這場(chǎng)?？赵庥雠c對(duì)抗一定會(huì)發(fā)生，雙方的統(tǒng)帥如何決策呢？