【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∴ b ? G a ? c Condorcet函數(shù)值還可以用下法求得 : 根據(jù)各方案成對(duì)比較結(jié)果列出表決矩陣 33 25 矩陣中各行最小元 素 : 25 N = 27 42 27 35 18 18 即 Condorcet函數(shù)值 . Condorcet函數(shù)滿足性質(zhì) 1~6. 2. Borda函數(shù) f b (x) = y A x??\{ } N( x ? iy ) f (x) 即表決矩陣中 x 各元素之和 , f b ( .) 值愈大愈優(yōu) . 例 12. 6 中方案 a ,b ,c 的 Borda函數(shù)值分別是 58, 69, 53, ∴ b ? G a ? c Borda函數(shù)滿足性質(zhì) 1~6. 3. Copeland函數(shù) 根據(jù)各方案兩兩比較的勝負(fù)次數(shù)的差來(lái)定 fcp(x) = M{y: y ∈ A 且 x ? Gy} M{y: y ∈ A 且 y ? Gx} f ( .) 值愈大愈優(yōu) . 例 中方案 a ,b ,c 的 Copeland 函數(shù)值均為 0, 三者平局 . Copeland函數(shù)滿足性質(zhì) 1~6. 4. Nanson 函數(shù) 用 Borda函數(shù)求解 , 每次淘汰 Borda函數(shù)值最小的方案 : 即 : A 1 = A , Aj?1 = Aj\{ x∈ Aj。 f b (x) ≤ f b (y),且對(duì)某些 y f b (x) ＜ f b (y) } 直到 Aj = Aj 為止 . 例 12. 6 中 f b (c) 的 Borda函數(shù)值最小 , ∴ A 2 = A 1 \{ c } = { a, b } A 3 = A 2\{ b } = { a } ∴ a ? G b ? c Nanson 函數(shù)不滿足性質(zhì) (4). 5. Dodgson 函數(shù) (, 英， 1832— 1898) 使某個(gè)候選人成為 Condorcet 候選人需要 N 中成員改變偏好的總選票數(shù) . N 個(gè)成員 ,m 個(gè)候選人 記 njk = N (aj ? i a k) n 為偶數(shù)時(shí) 0=n/2 n 為奇數(shù)時(shí) 0=(n+1)/2 njj = 0 f (aj) = | |( )nnnnjk jkm0 01 2????? j=1,… ,m 例 中 , a,b,c 的 Dodgson 函數(shù)值分別為 5, 3, 12, ∴ b ? G a ? c Dodgson 函數(shù) 不滿足 (4). 函數(shù) 使社會(huì)排序與各成員對(duì)方案的偏好序有最大的一致性 . 12 9 首先定義： ①社會(huì)選擇排序矩陣 L = {ljk} ? 1 aj ? G a k ljk=? 0 aj～ a ? 1 a k ? aj A 上的每一線性序都對(duì)應(yīng)一個(gè) L 記 njk = N (aj ? G a k) kj = N (a k ? aj) * = N (aj～ a k) ②比例矩陣 M = {mjk} mjk = (n+jk*/2)/n ③投票矩陣 E = MMT ejk = nnjk kj? 定義 E L = j?k ejk l 即 , 群中認(rèn)為 aj ? a k 的成員的比例與群的排序 ljk的內(nèi)積 , 它反映群的排序與成員排序的一致性 . Kemeny 函數(shù) f k= max E L 。 7. CookSeiford 函數(shù) 設(shè)成員 i 把方案 j 排在 rij位 , 方案 j 的群體序?yàn)?K 則成員 I 與群體序的總偏差 : j?| rijK | 各成員排序與群體序的總偏差 djk= i j| rijK | 數(shù)學(xué)規(guī)劃 minjk d p s. t. j? pjk = 1 k pjk = 1 的解中 pjk = 1 表示方案 j 的群體序?yàn)?K 8. 本征向量函數(shù) Dodgson 矩陣 D = [ djk] 其中 : djk= n /nkj, 顯然 djk = 1/dkj , 但是 djk≠ djl * dlk , 可由 (D mI) W = 0 求得 W 后 .按各分量的大小排相應(yīng)方案的次序 . 9. Bernardo 函數(shù) 上述各種方法只根據(jù)各成員對(duì)各方案的總體優(yōu)劣集結(jié)成群體序 .對(duì)某些多人多準(zhǔn)則問(wèn)題 , 尤其是實(shí)際工程問(wèn)題 , 應(yīng)該根據(jù)每個(gè)準(zhǔn)則下各方案的優(yōu)劣次序集結(jié)成群體序 . 一般的多準(zhǔn)則社會(huì)選擇問(wèn)題可以表述為 : 對(duì)有限方案集 A={ a 1, … ,a m}, 由委員 會(huì) N={ 1, 2,… ,n } 根據(jù)準(zhǔn)則集 (即評(píng)價(jià)指標(biāo)體系 ) C={c1, c1, … ,cr} 來(lái)確定各方案的優(yōu)先 12 10 次序 . 在求解問(wèn)題時(shí) , 首先要根據(jù) r 種不同的準(zhǔn)則中的每一種準(zhǔn)則 ,分別描述各方案 aj的優(yōu)劣 . 為了集結(jié)各成員的意見(jiàn) ,可以用協(xié)商矩陣∏表示 委員會(huì)對(duì)各方案優(yōu)劣的總體感覺(jué) . ∏是 mm 方陣 , 其元素?jk表示將方案 aj排在第 k 位的成員人數(shù) . 為了反映各準(zhǔn)則的重要性 , 可以對(duì)各準(zhǔn)則加權(quán) . 權(quán)向量 W={w1, w2, … , wr}. 設(shè)根據(jù)準(zhǔn)則 cl, 有xjkl位成員將 aj 排在第 k 位 , 則jk=wlr1?.xjkl , Bernardo 定義一個(gè) 01 矩陣 P, 其每 行、每列只有一個(gè)元素為 1,余者均為 0. 使jk,pjk 極大 , 即 max ?jk jkkj p? . pjkjm?1=1 k=1,2, … ,m jkkm??1=1 j=1,2, … ,m pjk∈ {0,1} P 中的非 0 元素jk=1 表示方案 aj應(yīng)該排在 k 位 . 167。 社會(huì)福利函數(shù) (Social Welfare Function) 一、 社會(huì)福利 (Social Welfare) 1. 福利經(jīng)濟(jì)學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)學(xué)派，主要研究社會(huì)的福利與福利的判斷問(wèn)題； 2. 福利經(jīng)濟(jì)學(xué)家 (例 Bergson, Samulson 等 )認(rèn)為： 社會(huì)福利是一種可以測(cè)度的量，人們可據(jù)以判斷一種社會(huì)狀況是優(yōu)于， 無(wú)差異于還是劣于另一種社會(huì)狀況。即可以用 Social welfare function 來(lái)度量社會(huì)福利。 定義： SWF 是社會(huì)狀態(tài) x 的實(shí)值函數(shù)，是社會(huì)福利的測(cè)度，記作 W(x)=G(w 1 (x),… ,w n (x)) Note: ①社會(huì)福利是社會(huì)中各成員所享受福利的綜合，而非總和 。 ②個(gè)人的福利 wi(x)與該成員對(duì)社會(huì)的貢獻(xiàn)、地位、個(gè)人的興趣、愛(ài)好等多種因素 有關(guān) . 3. 若用 u i(x)表示社會(huì)狀態(tài) x 帶給成員 i 的福利，則 W(x)=G(u 1 (x),… ,u n(x)), 在相互效用獨(dú)立時(shí) G 可表示為加性，即 W(x)= ?in iiux??1 () 但是，由于存在不確定性 , 設(shè)導(dǎo)致 xj的自然狀態(tài)θj的概率為π (θj) 故應(yīng) 有： max{ E?[W(x)] = Wxjj j( ) ( )???}, 所以社會(huì)福利的判斷極其復(fù)雜 . 即使對(duì)確定性的 x a)各成員間的效用并不獨(dú)立：不患寡而患不均 。 b)兩個(gè)人的福利相加并無(wú)意義 (一個(gè)人享受雙分福利與二人各享受一份絕不等價(jià) ), 所以加性社會(huì)福利函數(shù)并無(wú)實(shí)際意義 . 而且使用 SWF 存在如下問(wèn)題 : ①各成員的福利 (效用 )函數(shù)如何確定 ? ②人與人間的福利函數(shù)如何校定基準(zhǔn)值與比例尺，即如何進(jìn)行效用的人際比較 ? ③ 由誰(shuí)評(píng)價(jià) ? 怎樣評(píng)價(jià) ? 即個(gè)人的誠(chéng)實(shí)性與評(píng)價(jià)的公平性如何檢驗(yàn) ? 12 11 社會(huì)福利函數(shù)的實(shí)質(zhì)：是一種規(guī)則，是潛在的群決策過(guò)程 , 是從個(gè)人對(duì)社會(huì)狀況的排序得出社會(huì)總體排序的方法 . 二、 偏好斷面 (profile of preference ordering)(偏好分布 ) 1 (1) 二個(gè)方案 x ? y , x ? y , x ?y (2) 三個(gè)方案 R1: x ? y ? z , R2: x ? z ? y , … , R13: x ? y ? z 記各方案間可能的偏好序集合 r = { R1, R2,… , RS},則可能的偏好序種類 S 為 : 方案數(shù) m 2 3 4 5 7 8 只考慮強(qiáng)序時(shí) m! 2 6 24 120 720 5040 全部 S 3 13 75 541 4386 46033 2 記成員 i 的排序?yàn)?Oi , Oi∈ r 偏好斷面 P = ( O1,O2, … ,On) P ∈ r()n 社會(huì)福利函數(shù) f : P → r 3. 可能的社會(huì)福利函數(shù) 2 個(gè)成員 , 2 個(gè)方案成員的偏好序 S=3 時(shí) ,f 的定義域即偏好分布有 32= 9 種 , f 的值域即群的排序?yàn)?3, 因 此 , f 的可能形式有 39=19683 種 . 3 個(gè)成員 , 2 個(gè)方案時(shí) , f 的可能形式有 327= 1012種 . 2 個(gè)成員 , 3 個(gè)方案時(shí) , f 的可能形式有 13169= 10188種 . 3 個(gè)成員 , 3 個(gè)方案 , 只考慮強(qiáng)序時(shí) , f 的可能形式有 6216= 10168種 . 在這許多可能形式中 ,哪些比較合理呢 ? K. J. Arrow 研究了社會(huì)福利函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的條件 . 三、 Arrow 的條件 (即社會(huì)福利函數(shù)應(yīng)當(dāng)具有的性質(zhì) ) 條件 1. 完全域 (廣泛性 ) Universality a). m ≥ 3 b). N ≥ 2 c). 社會(huì)福利函數(shù)定義在所有可能的個(gè)偏好分布上 。 條件 2. 社會(huì)與個(gè)人價(jià)值的正的聯(lián)系 (Positive association of social and individual value) 若對(duì)特定 P,①原來(lái)有 x ?G y，則在 P 作如下變動(dòng)后仍有有 x ?G y i. 對(duì)除 x 以外的方案成對(duì)比較時(shí)偏好不變 ii. x 與其他方案比較時(shí)或者偏好不變，或者有利于 x。 (有利于 x 是指 x ?i y → x ?i y 或者 y ?i x→ x ? i y 或 x ?i y) ②原來(lái)有 x ? G y, 則在 P 作如上變動(dòng)后仍有 x ? G y 或 x ?G y 條件 3 無(wú)關(guān)方案獨(dú)立性 (Independence of Irrelevant Alternatives) i. A1?A , A1∪1 = A 對(duì) 中方案的偏好變化不影響 A1中方案的排序 ,換言之 ii. x , y 的優(yōu)劣不因 z 的加入而改變 . 條件 4. 非強(qiáng)加性 (公民主權(quán) Citizen’ sovereignty) 總要有某些成員認(rèn)為 x ?i y 時(shí)，才能有 x ?G y. 條件 5. 非獨(dú)裁性 ( NonDictatorship ) 群中任一成員 i 都沒(méi)有這樣的權(quán)力 : x ?i y→ x ?G y 此外，個(gè)人和群的優(yōu)先序應(yīng)滿足連通性 (可比性 )，傳遞性 . 條件 2 加條件 4 即 Pareto 條件 . 12 12 四、 Arrow 的可能性定理 定理 1(m=2 的可能性定理 ) 若方案總數(shù)為 2,過(guò)半數(shù)決策方法是一種滿足條件 1～ 5 的社會(huì)選擇函數(shù)，它能對(duì)每一偏好分布產(chǎn)生一個(gè)社會(huì)排序。 定理 2 (一般可能性定理 )即 Arrow 不可能定理 若 m≥ 3，社會(huì)中的成員可以對(duì)方案以任何方式自由排序，則滿足