【文章內(nèi)容簡介】 ∴ b ? G a ? c Condorcet函數(shù)值還可以用下法求得 : 根據(jù)各方案成對比較結果列出表決矩陣 33 25 矩陣中各行最小元 素 : 25 N = 27 42 27 35 18 18 即 Condorcet函數(shù)值 . Condorcet函數(shù)滿足性質(zhì) 1~6. 2. Borda函數(shù) f b (x) = y A x??\{ } N( x ? iy ) f (x) 即表決矩陣中 x 各元素之和 , f b ( .) 值愈大愈優(yōu) . 例 12. 6 中方案 a ,b ,c 的 Borda函數(shù)值分別是 58, 69, 53, ∴ b ? G a ? c Borda函數(shù)滿足性質(zhì) 1~6. 3. Copeland函數(shù) 根據(jù)各方案兩兩比較的勝負次數(shù)的差來定 fcp(x) = M{y: y ∈ A 且 x ? Gy} M{y: y ∈ A 且 y ? Gx} f ( .) 值愈大愈優(yōu) . 例 中方案 a ,b ,c 的 Copeland 函數(shù)值均為 0, 三者平局 . Copeland函數(shù)滿足性質(zhì) 1~6. 4. Nanson 函數(shù) 用 Borda函數(shù)求解 , 每次淘汰 Borda函數(shù)值最小的方案 : 即 : A 1 = A , Aj?1 = Aj\{ x∈ Aj。 f b (x) ≤ f b (y),且對某些 y f b (x) ＜ f b (y) } 直到 Aj = Aj 為止 . 例 12. 6 中 f b (c) 的 Borda函數(shù)值最小 , ∴ A 2 = A 1 \{ c } = { a, b } A 3 = A 2\{ b } = { a } ∴ a ? G b ? c Nanson 函數(shù)不滿足性質(zhì) (4). 5. Dodgson 函數(shù) (, 英， 1832— 1898) 使某個候選人成為 Condorcet 候選人需要 N 中成員改變偏好的總選票數(shù) . N 個成員 ,m 個候選人 記 njk = N (aj ? i a k) n 為偶數(shù)時 0=n/2 n 為奇數(shù)時 0=(n+1)/2 njj = 0 f (aj) = | |( )nnnnjk jkm0 01 2????? j=1,… ,m 例 中 , a,b,c 的 Dodgson 函數(shù)值分別為 5, 3, 12, ∴ b ? G a ? c Dodgson 函數(shù) 不滿足 (4). 函數(shù) 使社會排序與各成員對方案的偏好序有最大的一致性 . 12 9 首先定義： ①社會選擇排序矩陣 L = {ljk} ? 1 aj ? G a k ljk=? 0 aj～ a ? 1 a k ? aj A 上的每一線性序都對應一個 L 記 njk = N (aj ? G a k) kj = N (a k ? aj) * = N (aj～ a k) ②比例矩陣 M = {mjk} mjk = (n+jk*/2)/n ③投票矩陣 E = MMT ejk = nnjk kj? 定義 E L = j?k ejk l 即 , 群中認為 aj ? a k 的成員的比例與群的排序 ljk的內(nèi)積 , 它反映群的排序與成員排序的一致性 . Kemeny 函數(shù) f k= max E L 。 7. CookSeiford 函數(shù) 設成員 i 把方案 j 排在 rij位 , 方案 j 的群體序為 K 則成員 I 與群體序的總偏差 : j?| rijK | 各成員排序與群體序的總偏差 djk= i j| rijK | 數(shù)學規(guī)劃 minjk d p s. t. j? pjk = 1 k pjk = 1 的解中 pjk = 1 表示方案 j 的群體序為 K 8. 本征向量函數(shù) Dodgson 矩陣 D = [ djk] 其中 : djk= n /nkj, 顯然 djk = 1/dkj , 但是 djk≠ djl * dlk , 可由 (D mI) W = 0 求得 W 后 .按各分量的大小排相應方案的次序 . 9. Bernardo 函數(shù) 上述各種方法只根據(jù)各成員對各方案的總體優(yōu)劣集結成群體序 .對某些多人多準則問題 , 尤其是實際工程問題 , 應該根據(jù)每個準則下各方案的優(yōu)劣次序集結成群體序 . 一般的多準則社會選擇問題可以表述為 : 對有限方案集 A={ a 1, … ,a m}, 由委員 會 N={ 1, 2,… ,n } 根據(jù)準則集 (即評價指標體系 ) C={c1, c1, … ,cr} 來確定各方案的優(yōu)先 12 10 次序 . 在求解問題時 , 首先要根據(jù) r 種不同的準則中的每一種準則 ,分別描述各方案 aj的優(yōu)劣 . 為了集結各成員的意見 ,可以用協(xié)商矩陣∏表示 委員會對各方案優(yōu)劣的總體感覺 . ∏是 mm 方陣 , 其元素?jk表示將方案 aj排在第 k 位的成員人數(shù) . 為了反映各準則的重要性 , 可以對各準則加權 . 權向量 W={w1, w2, … , wr}. 設根據(jù)準則 cl, 有xjkl位成員將 aj 排在第 k 位 , 則jk=wlr1?.xjkl , Bernardo 定義一個 01 矩陣 P, 其每 行、每列只有一個元素為 1,余者均為 0. 使jk,pjk 極大 , 即 max ?jk jkkj p? . pjkjm?1=1 k=1,2, … ,m jkkm??1=1 j=1,2, … ,m pjk∈ {0,1} P 中的非 0 元素jk=1 表示方案 aj應該排在 k 位 . 167。 社會福利函數(shù) (Social Welfare Function) 一、 社會福利 (Social Welfare) 1. 福利經(jīng)濟學是經(jīng)濟學中的一個學派，主要研究社會的福利與福利的判斷問題； 2. 福利經(jīng)濟學家 (例 Bergson, Samulson 等 )認為： 社會福利是一種可以測度的量，人們可據(jù)以判斷一種社會狀況是優(yōu)于， 無差異于還是劣于另一種社會狀況。即可以用 Social welfare function 來度量社會福利。 定義： SWF 是社會狀態(tài) x 的實值函數(shù)，是社會福利的測度，記作 W(x)=G(w 1 (x),… ,w n (x)) Note: ①社會福利是社會中各成員所享受福利的綜合，而非總和 。 ②個人的福利 wi(x)與該成員對社會的貢獻、地位、個人的興趣、愛好等多種因素 有關 . 3. 若用 u i(x)表示社會狀態(tài) x 帶給成員 i 的福利，則 W(x)=G(u 1 (x),… ,u n(x)), 在相互效用獨立時 G 可表示為加性，即 W(x)= ?in iiux??1 () 但是，由于存在不確定性 , 設導致 xj的自然狀態(tài)θj的概率為π (θj) 故應 有： max{ E?[W(x)] = Wxjj j( ) ( )???}, 所以社會福利的判斷極其復雜 . 即使對確定性的 x a)各成員間的效用并不獨立：不患寡而患不均 。 b)兩個人的福利相加并無意義 (一個人享受雙分福利與二人各享受一份絕不等價 ), 所以加性社會福利函數(shù)并無實際意義 . 而且使用 SWF 存在如下問題 : ①各成員的福利 (效用 )函數(shù)如何確定 ? ②人與人間的福利函數(shù)如何校定基準值與比例尺，即如何進行效用的人際比較 ? ③ 由誰評價 ? 怎樣評價 ? 即個人的誠實性與評價的公平性如何檢驗 ? 12 11 社會福利函數(shù)的實質(zhì)：是一種規(guī)則，是潛在的群決策過程 , 是從個人對社會狀況的排序得出社會總體排序的方法 . 二、 偏好斷面 (profile of preference ordering)(偏好分布 ) 1 (1) 二個方案 x ? y , x ? y , x ?y (2) 三個方案 R1: x ? y ? z , R2: x ? z ? y , … , R13: x ? y ? z 記各方案間可能的偏好序集合 r = { R1, R2,… , RS},則可能的偏好序種類 S 為 : 方案數(shù) m 2 3 4 5 7 8 只考慮強序時 m! 2 6 24 120 720 5040 全部 S 3 13 75 541 4386 46033 2 記成員 i 的排序為 Oi , Oi∈ r 偏好斷面 P = ( O1,O2, … ,On) P ∈ r()n 社會福利函數(shù) f : P → r 3. 可能的社會福利函數(shù) 2 個成員 , 2 個方案成員的偏好序 S=3 時 ,f 的定義域即偏好分布有 32= 9 種 , f 的值域即群的排序為 3, 因 此 , f 的可能形式有 39=19683 種 . 3 個成員 , 2 個方案時 , f 的可能形式有 327= 1012種 . 2 個成員 , 3 個方案時 , f 的可能形式有 13169= 10188種 . 3 個成員 , 3 個方案 , 只考慮強序時 , f 的可能形式有 6216= 10168種 . 在這許多可能形式中 ,哪些比較合理呢 ? K. J. Arrow 研究了社會福利函數(shù)應當滿足的條件 . 三、 Arrow 的條件 (即社會福利函數(shù)應當具有的性質(zhì) ) 條件 1. 完全域 (廣泛性 ) Universality a). m ≥ 3 b). N ≥ 2 c). 社會福利函數(shù)定義在所有可能的個偏好分布上 。 條件 2. 社會與個人價值的正的聯(lián)系 (Positive association of social and individual value) 若對特定 P,①原來有 x ?G y，則在 P 作如下變動后仍有有 x ?G y i. 對除 x 以外的方案成對比較時偏好不變 ii. x 與其他方案比較時或者偏好不變，或者有利于 x。 (有利于 x 是指 x ?i y → x ?i y 或者 y ?i x→ x ? i y 或 x ?i y) ②原來有 x ? G y, 則在 P 作如上變動后仍有 x ? G y 或 x ?G y 條件 3 無關方案獨立性 (Independence of Irrelevant Alternatives) i. A1?A , A1∪1 = A 對 中方案的偏好變化不影響 A1中方案的排序 ,換言之 ii. x , y 的優(yōu)劣不因 z 的加入而改變 . 條件 4. 非強加性 (公民主權 Citizen’ sovereignty) 總要有某些成員認為 x ?i y 時，才能有 x ?G y. 條件 5. 非獨裁性 ( NonDictatorship ) 群中任一成員 i 都沒有這樣的權力 : x ?i y→ x ?G y 此外，個人和群的優(yōu)先序應滿足連通性 (可比性 )，傳遞性 . 條件 2 加條件 4 即 Pareto 條件 . 12 12 四、 Arrow 的可能性定理 定理 1(m=2 的可能性定理 ) 若方案總數(shù)為 2,過半數(shù)決策方法是一種滿足條件 1～ 5 的社會選擇函數(shù)，它能對每一偏好分布產(chǎn)生一個社會排序。 定理 2 (一般可能性定理 )即 Arrow 不可能定理 若 m≥ 3，社會中的成員可以對方案以任何方式自由排序，則滿足