短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型(編輯修改稿)
2025-01-24 12:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x) ? C、 復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布具有可加性 ()E S E N E X BE NX? ? ????? ? ?????22（ ） （ ） （ ） （ ） ( 其 中 B 為 常 數(shù) 索 賠 額 ）S 的 方 差 為 ： Var(S)=E(E(S,N)) =E Var(N)+E(N) Var(X) =B Var(N)而 總 索 賠 額 的 分 布 函 數(shù) 為 ：x F(x)=P(S x)=P(BN x)=P NB1niiSS??? ? 所以 S的分布仍是復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布，參數(shù)為 nk和 P，個(gè)別索賠額的密度函數(shù)仍為 ?(x)，因此 A、 B、 D正確。 i1XiXi S l n ( )X SP D . S1 qM ( )P E. S1 qM ( ) SP()1 1 qM ( ) ( ) ( ) ( ) XniinkkKKMttStsttPtqe tEt E e E e?????????????????????????? ??????的 矩 母 函 數(shù) 為 ：的 矩 母 函 數(shù) 為 ：解 矩 母 函 數(shù) 為 ： M正 確 。 MitSX =( E( e ) ) ( ( ) )P =1 qM ( )innSnkMtt??????? ? 但是，上述結(jié)果并不意味著復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布與復(fù)合泊松分布具有一樣的可加性。如果 Si不獨(dú)立同分布， S的矩母函數(shù)為： ? 也就是說，如果負(fù)二項(xiàng)分布參數(shù) qi不一樣，即使 K、 MX（ t）對(duì)每個(gè) Si都相同，復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布也沒有可加性，但是 P和 MX（ t）對(duì)每個(gè) Si 都相同， K參數(shù)對(duì)每個(gè) Si 具有不同的 ki時(shí)，復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布是具有可加性的。因?yàn)? 1i Sni Si= 1 1 iX()X( ) ( ) ( )P = ( )1 q M ( )1 Q 1 Q M ( )niitStskniRkt E e E ettt???????? ??????? ??????MM1 S S1 XP( ) ( )1 qM ( )niiknitt t ??????? ?????MM ? 所以，綜合以上分析，此題的答案應(yīng)選 C。 ? 例 4 保險(xiǎn)人提供具有如下情形的三種保險(xiǎn)： ? 對(duì)于每一個(gè)保險(xiǎn)標(biāo)的，方差和期望的索賠金額是相等的，對(duì)于每一類型的保單，保費(fèi)是按（ 1+θ ）倍的期望值收取，求 θ ，使總索賠額超過總保費(fèi)的概率為 。 ? A. B. C. ? 解 期望的總索賠額是： 種類 保單數(shù) 索賠概率 期望索賠金額 1 2 3 500 1000 500 5 10 5 31( ) ( ) ( ) =50 0 5+1 000 10+ 500 5=1 5 00iiE S E N E X??? ? ? ? ? ?? ? 總索賠額的方差是： 321( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] =500 [ 25 + 5 5] +1000 [ 100 + 10] +500 [ 25 + 5 5] =12687 .5 1+ E SiiiVar S E X Var N E N Var X??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??由 題 意 有 ： =P(S （ ） （ ） )S =P(()1500 1 1 ( ) ( ) = =, = ESD?????????? ? ? ? ???????E(S)Var(S) Var(S)選 。 ? 這道題可用個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)模型解決，兩種方法難度相當(dāng)；由于保單數(shù)量較多，正態(tài)分布近似總是不錯(cuò)的選擇。 ? 例 5 具有正整數(shù)個(gè)別索賠額的復(fù)合泊松分布的總索賠額隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)如下： ? 已知索賠總額的數(shù)學(xué)期望為 ，求期望的索賠次數(shù)。 ? A. B. C. D. [ ( 1 ) ( 2) + ( 3 ) ] ( 1 , 2 , 3 , ... )f f x k f xf x x? ? ???1（ x ） =x1() ( ) ( )3xiiP if x f x ixC????????????????????????解由 代 定 系 數(shù) 法 可 知 ：P(1)=2 P(2)=K P(3)=E(S)= (1 P(1)+2 P(2)+3 P(3))= P(1)+P(2)+P(3)=1解 得 ：選 。 ? 例 6 S是具有下列特征的復(fù)合泊松分布； ① 個(gè)別索賠額為 1，2或 3； ② E（ S） =56； ③ Var（ S） =126；④ λ =29。決定索賠額為 2時(shí)的期望索賠次數(shù)是多少？ ? 12222 1 1 E ( S ) =E ( N ) E( X ) = P = ( P ( 1) +2P ( 2) +3P ( 3) ) =56 ( 1) V a r =E ( ) V
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