短期聚合風(fēng)險模型(參考版)
2025-01-08 12:45本頁面
【正文】 ? 這是一道沒有全額賠付的例題 ,這有點像再保險情況下的一些數(shù)字特征或分布函數(shù)的有關(guān)計算 ,這種例子在實務(wù)中的應(yīng)用非常普遍 ,下面再看一道類似的例題 ,望讀者能歸納出這類題的解題方案 . ? 例 12 保險公司承保的風(fēng)險服從泊松參數(shù)為 100的復(fù)合泊松分布 .個體索賠額服從均值為 500的指數(shù)分布 ,該保險人進行了比例再保險 ,自留額為 80％ ,求在這種情況下保險人和再保險人的年個別索賠額的分布 ,并求出原保險人和再保險人索賠總額隨機變量的期望與方差 . ? 解 由于是比例再保險 ,原保險人和再保險人的泊松參數(shù)不會發(fā)生變化 ,改變的只是個別理賠額的分布 . ? 原保險人的個別索賠額隨機變量 Y=,X為沒有再保險情況下的個別索賠額隨機變量 ,再保險人的索賠額的隨機變量 R=. Y1500 0. 8 4001 1 x500 0. 2 100 P ( Y x) =F ( ) ( ) ( ) =1 e 1 Y( ) ( ) ( ) ( ) =1 e 1 e Rxxxxx P x x P Xexx P R x P X x P X???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ???R服 從 均 值 為 400 的 指 數(shù) 分 布 。 sN M ( t)= M ( l n ( ) )1 ( )1113 = =2 3 2 ( ) 31 ( ) 3 23 tXXXXPMtqM ttM t tMt?? ????? ? ????解 ? 例 10 沒有再保險時的總索賠分布為復(fù)合泊松分布 ,如果用平移伽馬分布來近似 ,則平移伽馬分布的參數(shù)為 (α =, β =5,x0=40).如果有 50％ 的比例再保險 ,也用平移伽馬分布來近似 ,求有再保險時的平移伽馬分布的有關(guān)參數(shù) . ? = 20, α = 20, β = 10 ? B. x0 = 40, α = 40, β = 20 ? C. x0 = 20, α = 20, β = 20 ? D. x0 = 10, α = 10, β = 10 ? E. x0 = 20, α = 20, β = 30 ? 解 依題在沒有再保險時有 : S M () 3 33 E?????????? 選 。對 于 選 項 （ 3 ） ： 2222) ( ) ( ) = ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 3) BVa r X E X E NE X E N E N Va r X E N Va r X??? ? ???（ ）錯 誤 。當 （ ） （ ） 時 ； ? 例 9 對復(fù)合負二項分布，參數(shù) r=1， p=1/3，個別索賠額服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布，已知 Ms（ 1， 0） =3，求 λ 。當然這種計算讀者會感到很無聊，如果給出一些特殊的值，此題便立刻具有了靈性。 ? 由于復(fù)合分布的重要性，再看如下的例子： ? 例 7 對于泊松參數(shù) λ 為 6的復(fù)合泊松分布，個別索賠額的分布為 ? ,另外，還已知索賠總 ? 額的一些如下概率值： x 1 2 4 P 1/3 1/3 1/3 S … 3 4 5 6 7 … P … 2 15 1 P(6) 0 … ? 求 P（ 6） ? ? 1i12341 ( ) ( ) ( ) ( )1 6 ( 1 ) 6 231 6 ( 2) 6 23 6 ( 3 ) 6 0 01 6 ( 4) 6 231( ) [ 2 ( 1 ) 2 2 ( 2) 2 4 ( 4) ] xif x iP i f x ixPiPPPPf x f x f x f xx???????????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??解而1 = [ 2 ( 1 ) 4 ( 2) 8 ( 4) ]1( 7 ) [ 2 ( 6) 4 ( 5 ) 8 ( 3 ) ]71 = ( 2 ( 6) 4 8 )7 =( 6) f x f x f xxf f f fffD? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???? 選 。 ? 此例和上例也有相似之處，對于復(fù)合泊松分布、 λ （泊松參數(shù)）、個別索賠的正整數(shù)值及對應(yīng)的概率值，這兩個量已知，所有未知的量即可求出；或知道其余的一些量就可求出另外一些量，但此題也可推廣到其他一些情況，譬如索賠次數(shù)分布改為負二項分布或二點分布時， λ 已知改為負二項分布的參數(shù) k與 p已知或二項分布的參數(shù) n與 p已知，再計算本題。 ? 例 6 S是具有下列特征的復(fù)合泊松分布； ① 個別索賠額為 1，2或 3； ② E（ S） =56； ③ Var（ S） =126；④ λ =29。 ? 例 5 具有正整數(shù)個別索賠額的復(fù)合泊松分布的總索賠額隨機變量的概率密度函數(shù)如下： ? 已知索賠總額的數(shù)學(xué)期望為 ，求期望的索賠次數(shù)。 ? A. B. C. ? 解 期望的總索賠額是： 種類 保單數(shù) 索賠概率 期
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