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正文內(nèi)容

84直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(編輯修改稿)

2025-06-08 12:52 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 平面 BCE . 方法三 如圖,在平面 ABEF 內(nèi),過點 P 作PM ∥ BE ,交 AB 于點 M ,連接 QM . ∴ PM ∥ 平面 BCE , 又 ∵ 平面 ABEF ∩ 平面 BCE = BE , ∴ PM ∥ BE , ∴APPE=AMMB, 又 AE = BD , AP = DQ , ∴ PE = BQ , ∴APPE=DQBQ, ∴AMMB=D B, ∴ MQ ∥ AD ,又 AD ∥ BC , ∴ MQ ∥ BC , ∴ MQ ∥ 平面 BCE ,又 PM ∩ MQ = M , ∴ 平面 P M Q ∥ 平面 BCE ,又 PQ ? 平面 P MQ . ∴ PQ ∥ 平面 BCE . 探究提高 判斷或證明線面平行的常用方法有: (1) 利用線面平行的定義 ( 無公共點 ) ; (2) 利用線面平行的判定定理 ( a ? α , b ? α ,a ∥ b ? a ∥ α ) ; (3) 利用面面平行的性質(zhì)定理( α ∥ β , a ? α ? a ∥ β ) ; (4) 利用面面平行的性質(zhì) ( α ∥ β , a ? β , a ∥ α ? a ∥ β ). 變式訓(xùn)練 1 如圖, PA ⊥ 平面 ABCD , 四邊形 ABCD 是矩形, E 、 F 分別是 AB 、 PD 的中點,求證: AF ∥平面 PC E . 證明 取 PC 的中點 M , 連接 ME 、 MF ,則 FM ∥ CD 且 FM=12CD . 又 ∵ AE ∥ CD 且 AE =12CD , ∴ FM // AE ,即四邊形 AF ME 是平行四邊形 . ∴ AF ∥ ME ,又 ∵ AF ? 平面 PC E , EM ? 平面PC E , ∴ AF ∥ 平面 PC E . 題型二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 例 2 如圖所示,三棱柱 ABC — A1B1C1, D 是 BC 上一點, 且 A1B ∥ 平面 AC1D , D1是 B1C1的中點,求證:平面 A1BD1∥ 平面 AC1D . 思維啟迪: 由面面平行的判定定理知只需證BD 1 、 A 1 B 平行于平面 ADC 1 ,已知 A 1 B ∥ 平面AC 1 D ,則只需證 BD 1 ∥ 平面 ADC 1 . 連接 A1C 交 AC1于點 E , ∵ 四邊形 A1ACC1是平行四邊形, ∴ E 是 A1C 的中點,連接 ED , ∵ A1B ∥ 平面 AC1D , 平面 A1BC ∩ 平面 AC1D = ED ,∴ A1B ∥ ED , ∵ E 是 A1C 的中點, ∴ D 是 BC 的中點 . 又 ∵ D1是 B1C1的中點, ∴ BD1∥ C1D ,又 ∵ C1D ? 平面 AC1D , BD1? 平面 AC1D , ∴ BD1∥ 平面 AC1D ,又 A1B ∩ BD1= B , ∴ 平面 A1BD1∥ 平面 AC1D . 探究提高 證明面面平行的方法有: (1) 面面平行的定義; (2) 面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行; (3) 利用垂直于同一條直線的兩個平面平行; (4) 兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行; (5) 利用 “ 線線平行 ” 、 “ 線面平行 ” 、 “ 面面平行 ” 的相互轉(zhuǎn)化 . 變式訓(xùn)練 2 如圖,在三棱柱 ABC —
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