84直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-06-08 12:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 平面 BCE . 方法三 如圖，在平面 ABEF 內(nèi)，過點 P 作PM ∥ BE ，交 AB 于點 M ，連接 QM . ∴ PM ∥ 平面 BCE ， 又 ∵ 平面 ABEF ∩ 平面 BCE ＝ BE ， ∴ PM ∥ BE ， ∴APPE＝AMMB， 又 AE ＝ BD ， AP ＝ DQ ， ∴ PE ＝ BQ ， ∴APPE＝DQBQ， ∴AMMB＝D B， ∴ MQ ∥ AD ，又 AD ∥ BC ， ∴ MQ ∥ BC ， ∴ MQ ∥ 平面 BCE ，又 PM ∩ MQ ＝ M ， ∴ 平面 P M Q ∥ 平面 BCE ，又 PQ ? 平面 P MQ . ∴ PQ ∥ 平面 BCE . 探究提高 判斷或證明線面平行的常用方法有： (1) 利用線面平行的定義 ( 無公共點 ) ； (2) 利用線面平行的判定定理 ( a ? α ， b ? α ，a ∥ b ? a ∥ α ) ； (3) 利用面面平行的性質(zhì)定理( α ∥ β ， a ? α ? a ∥ β ) ； (4) 利用面面平行的性質(zhì) ( α ∥ β ， a ? β ， a ∥ α ? a ∥ β ). 變式訓(xùn)練 1 如圖， PA ⊥ 平面 ABCD ， 四邊形 ABCD 是矩形， E 、 F 分別是 AB 、 PD 的中點，求證： AF ∥平面 PC E . 證明 取 PC 的中點 M ， 連接 ME 、 MF ，則 FM ∥ CD 且 FM＝12CD . 又 ∵ AE ∥ CD 且 AE ＝12CD ， ∴ FM // AE ，即四邊形 AF ME 是平行四邊形 . ∴ AF ∥ ME ，又 ∵ AF ? 平面 PC E ， EM ? 平面PC E ， ∴ AF ∥ 平面 PC E . 題型二 平面與平面平行的判定與性質(zhì) 例 2 如圖所示，三棱柱 ABC — A1B1C1， D 是 BC 上一點， 且 A1B ∥ 平面 AC1D ， D1是 B1C1的中點，求證：平面 A1BD1∥ 平面 AC1D . 思維啟迪： 由面面平行的判定定理知只需證BD 1 、 A 1 B 平行于平面 ADC 1 ，已知 A 1 B ∥ 平面AC 1 D ，則只需證 BD 1 ∥ 平面 ADC 1 . 連接 A1C 交 AC1于點 E ， ∵ 四邊形 A1ACC1是平行四邊形， ∴ E 是 A1C 的中點，連接 ED ， ∵ A1B ∥ 平面 AC1D ， 平面 A1BC ∩ 平面 AC1D ＝ ED ，∴ A1B ∥ ED ， ∵ E 是 A1C 的中點， ∴ D 是 BC 的中點 . 又 ∵ D1是 B1C1的中點， ∴ BD1∥ C1D ，又 ∵ C1D ? 平面 AC1D ， BD1? 平面 AC1D ， ∴ BD1∥ 平面 AC1D ，又 A1B ∩ BD1＝ B ， ∴ 平面 A1BD1∥ 平面 AC1D . 探究提高 證明面面平行的方法有： (1) 面面平行的定義； (2) 面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行； (3) 利用垂直于同一條直線的兩個平面平行； (4) 兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行； (5) 利用 “ 線線平行 ” 、 “ 線面平行 ” 、 “ 面面平行 ” 的相互轉(zhuǎn)化 . 變式訓(xùn)練 2 如圖，在三棱柱 ABC —
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