【文章內(nèi)容簡介】 )3321031(20721)3311032(1 6 07211)231332(201211EIEIEIΔ????????????????????????????????????圖 (k N .m ))e( FM圖 (m))d( 2M圖 (m))c( 1MF= 4） 解方程求多余未知力 。 將求得的系數(shù)和自由項代入力法方程 ， 消去 后得 解得 ， ， 21EI0144504 21 ?? XX031 4 4 8 032 2 7 01 4 4 21 ???? XXkN9 2 ?X ?X 5） 繪制內(nèi)力圖 。 利用疊加公式 ， 繪出彎矩圖如圖 （ f） 所示 。 F2211 MXMXMM ???（ f） M 圖 （ kN﹒ m） 4. 超靜定組合結(jié)構 組合結(jié)構是由梁式桿和鏈桿共同組成的結(jié)構 。在組合結(jié)構中 ， 梁式桿主要承受彎矩 ， 同時也承受剪力和軸力；而鏈桿只承受軸力 。 在計算力法方程中的系數(shù)和自由項時 ， 對梁式桿通常只考慮彎矩的影響 ， 忽略軸力和和剪力的影響 。 對于鏈桿只考慮軸力的影響 。 【 例 】 加勁梁如圖所示 。 已知鏈桿的拉壓剛度 EA為常數(shù) ， 橫梁的彎曲剛度 EI=9EA。 試繪制梁的彎矩圖 ， 并計算各鏈桿軸力 。 【 解 】 1） 選取基本結(jié)構 。 原結(jié)構為一次超靜定結(jié)構 。 設切斷 CD桿 ，以多余未知力 X1代替 ， 得到如圖 （ b） 所示的基本結(jié)構 。 （ b）基本結(jié)構 （ a）原結(jié)構 2） 建立力法方程 。 根據(jù)切口處兩側(cè)截面軸向相對位移為零的條件建立力法方程為 01F111 ?? ???3） 計算系數(shù)和自由項 。 分別繪出基本結(jié)構在單位力 X1＝ 1及荷載作用下的彎矩圖 和 MF圖 ， 并計算出各鏈桿的軸力如圖（ c， d） 所示 。 圖 (k N .m ))d( FMN1圖 (m ),)c( FM1M計算系數(shù)和自由項如下： ? ?EAEAEAEAEI32515193631253)25(1233263211 2211?????????????????????????????? ? EAEIEI 600540002)385636032(11F ?????????? 圖 (k N .m ))d( FMN11圖 (m )，)c( FM4） 解方程求多余未知力 。 將求得的系數(shù)和自由項代入力法方程 ， 解得 ， ， 2 5 . 2 4 2 k N/ /60011F11 ?????? EAEAX??5） 繪制橫梁最后彎矩圖和并求各鏈桿的軸力 。 由疊加公式 FN11NNF11Χ FFFMMM????? 所求橫梁最后彎矩圖和各鏈桿的軸力如圖 （ e）所示 。 )kN(圖 ( k N .m ) ，)e( NFM5. 支座移動時超靜定結(jié)構的內(nèi)力 圖 (a)所示簡支梁 ， 支座 B有微小位移 ΔB， 沉降到 B1。 因簡支梁無多余約束 ， 在支座 B位移到 B1的過程中 ， 支桿 B不起約束作用 ， 梁可以繞 A點自由轉(zhuǎn)動 ， 在支座移動過程中 ， 梁發(fā)生剛體位移 ， 不產(chǎn)生內(nèi)力 。 B1 A B Δ B (a) B1 A端固定的一次超靜定梁 ， 如圖 (b)所示 ， 支座B發(fā)生與圖 (a)同樣的位移 。 因有多余約束存在 ， 在支座 B移動的過程中 ， 梁不能發(fā)生自由轉(zhuǎn)動 ， 梁軸線有彎曲變形 ， 梁中產(chǎn)生內(nèi)力 。 A B Δ B B1 (a) A B Δ B (b) 用力法計算支座移動引起的超靜定結(jié)構的內(nèi)力 ，與上述計算類似 ， 唯一區(qū)別是力法方程中的自由項的計算不同 ， 下面通過例題說明 。 【 例 】 一單跨超靜定梁如圖所示 ， 已知固定支座 A發(fā)生轉(zhuǎn)角 ， 試繪制梁的彎矩圖 。 ?【 解 】 1） 選取基本結(jié)構 。 去掉 B支座處的約束 ， 代之以相應的多余未知力 X1， 得到如圖 (b)所示的基本結(jié)構 。 （ b）基本結(jié)構 （ a）原結(jié)構 X1 2） 建立力法方程 。 基本結(jié)構在多余未知力及支座移動共同作用下在 B支座處引起的位移應與原結(jié)構相同 ， 因此力法方程為 0c1111 ??? Δ? （ b）基本結(jié)構 X1 3） 計算系數(shù)和自由項 。 系數(shù)的計算與前述完全相同 。 自由項 Δ1c則表示基本結(jié)構由于 A支座發(fā)生轉(zhuǎn)角 所引起的沿 X1方向上的位移 ， 可由上一章介紹的位移公式計算 ， 即 繪出基本結(jié)構在單位力 X1＝ 1作用下的 圖并求出相應的反力 [圖 (c)]。 1M??? cRΔ1c?由 圖自乘 ， 可得 1M（ a）原結(jié)構 EIlllllEI332211311??????????????自由項則為 ??llcRΔ??????? ? )(1c（ b）基本結(jié)構 X1 X1 圖)c( 1M4） 解方程求多余未知力 。 將系數(shù)和自由項代入力法方程 ， 解得 ， ?? 311c113lEIΔX ???5） 繪制內(nèi)力圖 。 由于基本結(jié)構是靜定結(jié)構 ， 支座移動在基本結(jié)構中不引起內(nèi)力 ， 內(nèi)力完全由多余未知力引起 。彎矩疊加公式為 。 繪出彎矩圖如圖 （ d）所示 。 11 XMM ?（ d） M圖 對于圖 (a)所示的超靜定梁 ， 若去掉 A支座處限制轉(zhuǎn)動的約束 ， 代之以相應的多余未知力 ， 則得到的基本結(jié)構為如圖所示的簡支梁 。 （ a）原結(jié)構 基本結(jié)構 相應的力法方程則是由基本結(jié)構在多余未知力及支座移動共同作用下在 A支座處引起的轉(zhuǎn)角應與原結(jié)構相同的條件建立的 ， 即力法方程為 ?? ?111 X繪出基本結(jié)構在單位力 X1 ＝ 1 作 用 下 的 圖 ， 由 圖自乘 ， 可得 1M1MEIllEI 313221111 ??????? ?????圖1M將系數(shù)代入力法方程 ， 解得 按同樣的方法繪制彎矩圖如圖 (d)所示 。 ?? lEIΔX 311c11 ???（ d） M圖 通過以上分析可以看出 ， 與載荷作用相比用力法計算由支座移動引起的超靜定結(jié)構內(nèi)力有以下幾個特點： (1) 選取不同的基本結(jié)構時 ， 力法方程的形式有所不同 ， 方程等號右邊可以不為零 。 (2) 力法方程的自由項是由支座移動在基本結(jié)構中產(chǎn)生的位移 ， 可由靜定結(jié)構支座移動的位移公式確定 。 (3) 由于沒有載荷作用 ， 所以結(jié)構的內(nèi)力全部由多余未知力產(chǎn)生 。 (4) 由計算結(jié)果及內(nèi)力圖可以看出 ， 支座移動時引起的超靜定結(jié)構的內(nèi)力與結(jié)構彎曲剛度 EI的絕對值成正比 。 ， 超靜定結(jié)構的位移計算 超靜定結(jié)構的位移計算和靜定結(jié)構的位移計算方法相同 ， 即采用單位荷載法 。 由力法計算可知 ， 當多余未知力解出后 ， 靜定的基本結(jié)構在多余未知力和荷載共同作用下的內(nèi)力和變形是與原結(jié)構的受力與變形完全一致的 。 因此 ， 超靜定結(jié)構的位移計算問題可以轉(zhuǎn)化為基本結(jié)構的位移計算問題 ， 即靜定結(jié)構的位移計算問題 。 由于超靜定結(jié)構的內(nèi)力不隨力法計算所選的基本結(jié)構不同而異 ， 所以 ， 最后的內(nèi)力圖可以認為是由與原結(jié)構對應的任意基本結(jié)構求得的 。 故在計算超靜定結(jié)構的位移時 ， 虛擬單位力可以施加在其中任何一種形式的基本結(jié)構作為虛擬狀態(tài) 。因此 ， 為使計算簡化 ， 可選取單位內(nèi)力圖較簡單的基本結(jié)構來施加虛擬單位力 。 綜合以上分析 ， 可以得出超靜定結(jié)構位移計算的步驟如下： (1)用力法求解超靜定結(jié)構 ， 求出其最后內(nèi)力或繪出內(nèi)力圖 ， 以此作為實際狀態(tài)； (2)將單位力施加在基本結(jié)構上作為虛擬狀態(tài) ， 并求出相應的內(nèi)力或繪出內(nèi)力圖； (3)按位移公式或圖乘法求超靜定結(jié)構的位移 。 下面舉例說明超靜定結(jié)構由于荷載作用引起的位移計算 。 【 例 】 求圖 （ a） 所示剛架橫梁中點 D的豎向位移 。 (a) 【 解 】 1） 用力法求解 ， 作出最后彎矩圖如圖 （ b） 所示 。 2) 選取懸臂剛架為基本結(jié)構 ， 將單位力施加在基本結(jié)構上 ， 繪出 圖如圖 （ c） 所示 。 1M )mkN(圖)b( ?M 圖)c( 1M 由 M圖與 圖相乘 ， 可得 1M3） 按圖乘法求結(jié)構的位移 。 EIEIΔ D20)24203224602124202123221021221210(1V???????????????????????（ ?） )mkN(圖)b( ?M m))c( 圖 (1M 若取圖 (d)所示基本結(jié)構 ， 在 D點施加豎向單位力 F=l作為虛擬狀態(tài)并繪圖 。 將 M圖與 圖進行圖乘得 1MEIEID20)104121(1V ??????（ ?） 圖 (m))d( 1M)mkN(圖)b( ?M 以上選取不同的兩種基本結(jié)構作為虛擬狀態(tài) ，計算結(jié)果則完全相同 ， 顯然后者計算較為簡單 。 最后需要說明的是 ， 在計算超靜定結(jié)構的過程中 ， 經(jīng)過的計算步驟和數(shù)學運算較多 ， 比較容易發(fā)生錯誤 。 為保證最后結(jié)果的正確性 ， 校核工作是十分重要的 。 最后內(nèi)力圖的校核 ， 應從平衡條件和變形條件兩個方面進行： 正確的內(nèi)力圖首先要滿足平衡條件 。 平衡條件的校核就是檢驗超靜定結(jié)構的最后內(nèi)力圖是否完全滿足靜力平衡條件 ， 即結(jié)構的整體或任意取出結(jié)構的一部分都應滿足平衡條件 。 正確的內(nèi)力圖還應該滿足變形條件 。 因為計算超靜定結(jié)構內(nèi)力時 ， 除平衡條件外 ， 還應用了變形條件 。 特別是在力法中 ， 多余未知力是由變形條件求得的 ， 因此 ， 校核工作應以變形條件為重點 。 校核變形條件的一般作法是 ， 任意選取基本結(jié)構 ， 任意選取一個多余未知力 Xi， 然后根據(jù)最后的內(nèi)力圖算出沿 Xi方向的位移 △ i， 并檢查 △ i是否與原結(jié)構中的相應位移 (給定值 )相等 。 對稱性的利用 用力法計算超靜定結(jié)構時 ， 要建立和解算力法方程 ， 結(jié)構的超靜定次數(shù)愈高 ， 需要計算力法方程中的系數(shù)和自由項的工作量就愈大 。 為了簡化力法計算 ， 可根據(jù)結(jié)構特點恰當選取基本結(jié)構 ，盡可能使力法方程中的副系數(shù)為零 ， 這樣就可以減少計算工作量 ， 從而達到簡化計算的目的 。 在工程實際中 ， 許多結(jié)構都具有對稱性 ， 利用結(jié)構的對稱性可以簡化力法計算 。 1. 對稱性的概念 （ 1） 結(jié)構的對稱性 結(jié)構的對稱性 ， 是指結(jié)構對某一軸的對稱 。 即對稱結(jié)構必須有對稱軸 。 而且必須滿足以下兩個條件： 1） 結(jié)構的幾何形狀 、 尺寸和支承情況對某一軸對稱； 2） 桿件截面的形狀 、 尺寸和材料性質(zhì)也對此軸對稱 。 因此 ， 對稱結(jié)構繞對稱軸對折后 ， 對稱軸兩邊的結(jié)構圖形完全重合 。 如圖所示的兩個結(jié)構均為對稱結(jié)構 。 其中圖（ a） 所示的剛架 ， 有一根對稱軸 。 而圖 （ b） 所示的箱形結(jié)構則有兩根對稱軸 。 （ a） （ b） （ 2） 荷載的對稱性 作用在對稱結(jié)構上的任何荷載 ［ 圖 （ a）］ 都可以分解為對稱荷載 ［ 圖 （ b）］ 和反對稱荷載［ 圖 （ c）］ 兩種 。 所謂對稱荷載是指繞對稱軸對折后 ， 對稱軸兩邊的荷載完全重合 。 即力的大小 、 方向相同 ， 力的作用點相對應 ［ 圖 （ b）］ 。 反對稱荷載 ， 是指繞對稱軸