【正文】 荷載 ［ 圖 （ a）］ 都可以分解為對稱荷載 ［ 圖 （ b）］ 和反對稱荷載［ 圖 （ c）］ 兩種 。 梁的切口兩側(cè)有三對大小相等而方向相反的多余未知力 ， 其中 X X2是對稱力 ， X3為反對稱力 。 由此得出結(jié)論： 對稱的超靜定結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下 ， 反對稱的多余未知力必為零 ， 只存在對稱的多余未知力 。 這是一個(gè)三次超靜定對稱剛架 ， 荷載為任意荷載 。 3） 建立力法方程 。 位移法的基本概念 位移法是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量 ，由平衡條件建立位移法方程求解結(jié)點(diǎn)位移 ， 利用桿端位移和桿端內(nèi)力之間的關(guān)系計(jì)算桿件和結(jié)構(gòu)的內(nèi)力 ， 從而把超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為單跨超靜定梁的計(jì)算問題 。 B?B?B?B?下面分為四步討論如何計(jì)算轉(zhuǎn)角 的問題 。 (b) 第三步 ， 施加力偶 ， 使基本結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn) B產(chǎn)生角位移 Z1如圖 (c)所示 。Z1+ R1F =0 上式稱為 位移法方程 。 （ 4） 原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力是荷載和結(jié)點(diǎn)位移共同下 ，在基本結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的內(nèi)力 。 在結(jié)構(gòu)中 ， 一般情況下剛結(jié)點(diǎn)的角位移數(shù)目和剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目相同 ， 但結(jié)構(gòu)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目則需要分析判斷后才能確定 。 例如圖 (a)所示結(jié)構(gòu) ， 鉸化結(jié)點(diǎn)后增加一根鏈桿可變?yōu)閹缀尾蛔凅w系 [圖 (b)]， 所以結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的數(shù)目為一 ， 整個(gè)結(jié)構(gòu)的基本未知量為兩個(gè)角位移和一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移 。 雖然它們的形式不同 ，但都是原結(jié)構(gòu)的代表 ， 其受力和變形與原結(jié)構(gòu)是一致的 。 使基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn) B發(fā)生單位轉(zhuǎn)角 Z1=1， 但結(jié)點(diǎn) C仍被鎖住 。 根據(jù)以上各種因素引起的附加約束上的約束力疊加后應(yīng)與原結(jié)構(gòu)一致 ，即各附加約束上的總約束力應(yīng)等于零的條件 。 在位移法計(jì)算中 ， 由于位移條件自然滿足 ， 所以只需校核平衡條件 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) z1 F 2) 建立位移法方程 。 F11 MZMM ??(e)M圖 (f)FS 圖 6） 校核 。 由剛結(jié)點(diǎn) 2處附加剛臂約束力矩總和分別為零 ， 建立位移法方程為 r11Z1+r12Z2+R1F=0 r21Z1+r22Z2+R2F=0 (b)基本結(jié)構(gòu) z2 z1 3) 求系數(shù)和自由項(xiàng) 。 01 ?? M 02 ?? M0760710071601 ????? M07207202 ???? M 可知計(jì)算無誤。 因此 ， 基本未知量為結(jié)點(diǎn) 1處的轉(zhuǎn)角 Z1和結(jié)點(diǎn) 2的水平位移 Z2。 分別繪出 Z1。 【 解 】 1)確定基本未知量 ， 形成基本結(jié)構(gòu) 。 在位移法計(jì)算中 ， 只需作平衡條件校核 。因此 ， 基本未知量為結(jié)點(diǎn) 1和 2處的轉(zhuǎn)角 Z1和 Z2，基本結(jié)構(gòu)如圖 (b)所示 。 由疊加公式 ， 求各桿端彎矩繪出最后 M圖 ， 如圖 (e)所示 。 此超靜定梁有一個(gè)剛結(jié)點(diǎn) B， 無結(jié)點(diǎn)線位移 。 2． 位移法計(jì)算舉例 上面討論了用位移法典型方程解算超靜定結(jié)構(gòu)的解題思路和方法 ， 根據(jù)前面所述 ， 用位移法解超靜定結(jié)構(gòu)的步驟可歸納如下： （ 1） 首先確定基本未知量 ， 增加阻止剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動和結(jié)點(diǎn)移動的附加約束 ， 從而形成基本結(jié)構(gòu)； （ 2） 使基本結(jié)構(gòu)承受原荷載 ， 并令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移 ， 根據(jù)附加約束上的反力矩或反力等于零的條件 ， 建立位移法的典型方程； （ 3） 繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖 圖與荷載彎矩圖 MF圖 ， 利用平衡條件求系數(shù)和自由項(xiàng)； （ 4） 解算典型方程 ， 求出各基本未知量； iM （ 5） 按疊加公式 繪出最后彎矩圖 ， 然后根據(jù)最后彎矩圖作出剪力圖并根據(jù)剪力圖繪出軸力圖 。 于是我們把圖 (c)擴(kuò)大 Z2倍 ， 即乘以 Z2 。 先求出各桿的桿端力 ， 然后求約束中存在的約束力 R1F、 R2F[圖 (a)]。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) 需要強(qiáng)調(diào)說明：力法中的基本結(jié)構(gòu)是從原結(jié)構(gòu)中拆除多余約束而代之以多余未知力的靜定結(jié)構(gòu) 。 若此體系是幾何不變體系 ， 則由此知道結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點(diǎn)均無獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移 。 轉(zhuǎn)角以順時(shí)針轉(zhuǎn)動為正 ，反之為負(fù) 。 （ 2） 以增加附加約束后的一系列單跨超靜定梁的組合體作為位移法的基本結(jié)構(gòu) 。 如在圖 (c)中令 r11表示當(dāng) Z1=1時(shí)附加剛臂上的約束力矩 ， 即 R11= r11 B?第二步 ， 在基本結(jié)構(gòu)中 ， 只有荷載 q的作用 ，無轉(zhuǎn)角 Z1影響 ， 如圖 (b)所示 。 B?B?B?B?因此 ， 如把結(jié)點(diǎn) B的轉(zhuǎn)角 作為支座移動看待 ，則上述連續(xù)梁可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)單跨超靜定梁 。 F11 MXMM ??4166 Fh????416 26 Fh?????F 位移法 力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)是以多余未知力為基本未知量 ， 當(dāng)結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)較高時(shí) ， 用力法計(jì)算比較麻煩 。 由于荷載是反對稱的 ， 在橫梁中點(diǎn)切口的兩側(cè)截面上彎矩和軸力 ， 都是對稱未知力 ， 所以均為零 。 【 例 】 繪制圖示單跨對稱剛架的彎矩圖 。 = (a)MF圖 (b)MF圖 0d33F ?? ? ? sEI MMΔlF當(dāng)結(jié)構(gòu)上的荷載為對稱荷載時(shí) ， 荷載作用于基本結(jié)構(gòu)的 MF圖為對稱的如圖 （ a） 所示 。 2. 對稱性的應(yīng)用 （ 1） 選取對稱的基本結(jié)構(gòu) 當(dāng)結(jié)構(gòu)對稱時(shí) ， 應(yīng)考慮選取對稱的基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算 。 其中圖（ a） 所示的剛架 ， 有一根對稱軸 。 對稱性的利用 用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí) ， 要建立和解算力法方程 ， 結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)愈高 ， 需要計(jì)算力法方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)的工作量就愈大 。 最后需要說明的是 ， 在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的過程中 ， 經(jīng)過的計(jì)算步驟和數(shù)學(xué)運(yùn)算較多 ， 比較容易發(fā)生錯(cuò)誤 。 綜合以上分析 ， 可以得出超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的步驟如下： (1)用力法求解超靜定結(jié)構(gòu) ， 求出其最后內(nèi)力或繪出內(nèi)力圖 ， 以此作為實(shí)際狀態(tài)； (2)將單位力施加在基本結(jié)構(gòu)上作為虛擬狀態(tài) ， 并求出相應(yīng)的內(nèi)力或繪出內(nèi)力圖； (3)按位移公式或圖乘法求超靜定結(jié)構(gòu)的位移 。 (3) 由于沒有載荷作用 ， 所以結(jié)構(gòu)的內(nèi)力全部由多余未知力產(chǎn)生 。 將系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法方程 ， 解得 ， ?? 311c113lEIΔX ???5） 繪制內(nèi)力圖 。 【 例 】 一單跨超靜定梁如圖所示 ， 已知固定支座 A發(fā)生轉(zhuǎn)角 ， 試?yán)L制梁的彎矩圖 。 圖 (k N .m ))d( FMN1圖 (m ),)c( FM1M計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)如下： ? ?EAEAEAEAEI32515193631253)25(1233263211 2211?????????????????????????????? ? EAEIEI 600540002)385636032(11F ?????????? 圖 (k N .m ))d( FMN11圖 (m )，)c( FM4） 解方程求多余未知力 。 已知鏈桿的拉壓剛度 EA為常數(shù) ， 橫梁的彎曲剛度 EI=9EA。 圖 (k N .m ))e( FM圖 (m))d( 2M圖 (m))c( 1MF= 利用圖乘法計(jì)算 ， 由 圖自乘 ， 可得 1M22111504)6326621(1)6326621(1EIEIEI ????????????圖 (m))c( 1M由 圖自乘 ， 可得 2M2212232 2 7 0)3321031(3721)3311032(107212)3323321(2EIEIEI???????????????????????????圖 (m))d( 2M 由 圖與 圖互乘 ， 可得 1M 2M2221121 4 4)4311032(66211EIEI ????????????????? ??圖 (m))d( 2M圖 (m))c( 1M 由 圖與 MF圖互乘 ， 可得 1M由 圖與 MF 圖互乘 ， 可得 2M01F ?Δ2212F31 4 4 8 0)3321031(20721)3311032(1 6 07211)231332(201211EIEIEIΔ????????????????????????????????????圖 (k N .m ))e( FM圖 (m))d( 2M圖 (m))c( 1MF= 4） 解方程求多余未知力 。 【 例 】 試用力法計(jì)算圖示鉸接排架 ， 并繪制彎矩圖 。 將求得的系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法方程 ， 求得 ， ， （壓力）21 FX ?? 5)計(jì)算各桿最后軸力 。 【 例 】 試計(jì)算圖示超靜定桁架各桿的軸力 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) X2 X1 F F 2) 建立力法方程 。 因此力法方程為 ?????????00F2222121F1212111ΔΧΧΔΧΧ???? 3) 計(jì)算方程的系數(shù)和自由項(xiàng) 。 用疊加法繪制原結(jié)構(gòu)的彎矩圖 ， 進(jìn)而根據(jù)平衡條件確定剪力圖和軸力圖 。 去掉原結(jié)構(gòu)的多余約束 ，以相應(yīng)的未知力代替多余約束的作用 。具體形式如下： ????????????????????????????000Fi22112F2i2222121F11i1212111nnnnninnnninniΔΧXΧΧΔΧXΧΧΔΧXΧΧ???????????????????????????????????????? 在力法典型方程的前面 n項(xiàng)中 ， 位于從左上方至右下方的一條主對角線上的系數(shù) δii稱 為主系數(shù) ，它表示 Xi=1時(shí) ， 引起的基本結(jié)構(gòu)上沿 Xi方向上的位移 ， 它可利用 圖自乘求得 ,其值恒為正值；主對角線兩側(cè)的系數(shù) δij(i≠j)稱為 副系數(shù) ， 它表示 Xj =1時(shí) ，引起的基本結(jié)構(gòu)上沿 Xi方向上的位移 ， 它可利用 圖與 圖互乘求得 。 F11 MXMM ??1M（ c） 綜上所述 ， 力法是以多余未知力作為基本未知量 ， 以去掉多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu) ，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余約束處與原結(jié)構(gòu)完全相同的位移條件建立力法方程 ， 求解多余未知力 ， 從而把超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題 。 因?yàn)?δ11和 Δ1F均為已知力作于靜定結(jié)構(gòu)時(shí) ， 引起的 B點(diǎn)沿 X1方向上的位移 ， 所以由靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算方法可以求得 。 (b)基本結(jié)構(gòu) X1 在圖 (b)所示的基本結(jié)構(gòu)上 ， 多余未知力 X1是代替原結(jié)構(gòu)支座 B的作用 。 力法 力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu) ， 是以靜定結(jié)構(gòu)為計(jì)算對象 ， 把多余未知力作為基本未知量 ， 根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立力法方程 ， 從而把計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)多余未知力的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的問題 。 如圖 (a)所示的剛架 ， 如果去掉一個(gè)支座處的豎向支桿 ， 即變成了如圖 (b)所示瞬變體系 ， 這是不允許的 。 X1 (a) (b) X1 X2 ， 相當(dāng)于去掉兩個(gè)約束 ， 如圖所示 。 圖 （ b） 所示的剛架是一個(gè)超靜定結(jié)構(gòu) ， 有四個(gè)反力 ， 卻只能列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程 ， 它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一確定 。 圖 （ a） 所示的剛架是一個(gè)靜定結(jié)構(gòu) ， 它的支座反力和各截面的內(nèi)力都可以由靜力平衡條件唯一確定 。 通常情況下 ， 從超靜定結(jié)構(gòu)中去掉多余約束的方式有如下幾種： 根支桿 ， 相當(dāng)于去掉一個(gè)約束 ， 如圖所示 。 即去掉多余約束后 ， 體系