【正文】 1M 2M由 圖自乘 ， 可得 2M1MEIaaaEI 3)3221(1 3211 ????EIaaaEIaaEI 67)(1)3221(21 32222 ???????EIaaaEI 2)21(1 322112 ??????? ??A C a 圖)d( 1M11?XA B C a a a 圖)e( 2M12 ?X由 圖與 MF圖互乘 ， 可得 1M由 圖與 MF 圖互乘 ， 可得 2MEIFaFaaEIΔ 4)221(1 321F ???EIFaaFaEIaaFaEIΔ 9653)2(1)652221(21 322F ?????????A B C 圖)c( FMF 2Fa2Fa2FaA C a 圖)d( 1M11?XA B C a a a 圖)e( 2M12 ?X4) 解方程求多余未知力 。 如圖所示的單跨廠房排架結(jié)構(gòu) ， 它是由屋架(或屋面大梁 )、 柱子和基礎(chǔ)所組成的結(jié)構(gòu) 。 F2211 MXMXMM ???（ f） M 圖 （ kN﹒ m） 4. 超靜定組合結(jié)構(gòu) 組合結(jié)構(gòu)是由梁式桿和鏈桿共同組成的結(jié)構(gòu) 。 )kN(圖 ( k N .m ) ，)e( NFM5. 支座移動時超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力 圖 (a)所示簡支梁 ， 支座 B有微小位移 ΔB， 沉降到 B1。 繪出彎矩圖如圖 （ d）所示 。 (a) 【 解 】 1） 用力法求解 ， 作出最后彎矩圖如圖 （ b） 所示 。 1. 對稱性的概念 （ 1） 結(jié)構(gòu)的對稱性 結(jié)構(gòu)的對稱性 ， 是指結(jié)構(gòu)對某一軸的對稱 。 根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在切口兩側(cè)截面的相對水平位移 、相對豎向位移以及相對轉(zhuǎn)角應(yīng)為零的條件 ， 得到力法方程如下： ?????????????????0003F3332321312F3232221211F313212111ΔΧΧΧΔΧΧΧΔΧΧΧ?????????基本結(jié)構(gòu)在各單位多余未知力作用下的彎矩圖和變形圖如圖 （ b～ d） 所示 。 為使計算簡化 ， 將圖 （ a） 所示的荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載圖 （ b， c） 兩種情況 。 。 在 B端發(fā)生轉(zhuǎn)角 Z1的支座移動 ，其彎矩圖可由力法計算得到 ， 如圖 (c)所示 ， 在附加剛臂上產(chǎn)生的約束力矩為 R11 。 在位移法計算中 ， 要用力法對每個單跨超靜定梁的桿端彎矩和桿端剪力進(jìn)行計算 。 2. 位移法基本結(jié)構(gòu) 由前述可知 ， 用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)時 ， 是以一系列單跨超靜定梁的組合體作為基本結(jié)構(gòu)的 。 這時 ， 可求出基本結(jié)構(gòu)在桿件 AB、 BC和 CD的桿端力 ， 以及在兩個約束中分別存在的約束力 r11和 r21[圖 (b)]。 FMZMM ii ?? ? 1. 無結(jié)點線位移結(jié)構(gòu)的計算 當(dāng)剛架的結(jié)點上只有角位移 、 無線位移時 ，稱為 無側(cè)移剛架 。 在位移法計算中 ， 只需作平衡條件校核 。 當(dāng)剛架中的結(jié)點有線位移時 ， 稱其為 有側(cè)移剛架 。 (b)基本結(jié)構(gòu) Z1 Z2 3) 求系數(shù)和自由項 。 F2211 MZMZMM ???73407160710072076073071060 2 1 )mkN(圖)d( ?MA B C 6） 校核 。 將系數(shù)和自由項代入位移法方程 ， 得 解方程得 iqlZ5621 ??08721 ??qliZ5） 繪內(nèi)力圖 。 式中的 rii0稱為 主系數(shù) ， 其物理意義為 Zi=1時 ，基本結(jié)構(gòu)中附加約束 i上的反力 ， 它恒為正值； rij稱為 副系數(shù) ， 其物理意義為 Zj=1時 ， 基本結(jié)構(gòu)中附加約束 i上的反力 ， 副系數(shù)可為正 、 可為負(fù)或為零；由反力互等定理且有 rij=rji； RiF為 自由項 ， 其物理意義為荷載作用于基本結(jié)構(gòu)上時 ， 附加約束 i上的反力 ，自由項可為正 、 為負(fù)或為零 。 (1) 計算基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨作用時各附加約束上的約束力 。 即在確定結(jié)構(gòu)獨立的結(jié)點線位移時 ，先把所有的結(jié)點和支座都換成鉸結(jié)點和鉸支座 ， 得到一個鉸結(jié)體系 。 A B C 82ql282ql142ql(d) 總結(jié)以上分析過程 ， 可以把位移法計算的解題思路歸納如下： （ 1） 以獨立的結(jié)點位移作為位移法的基本未知量 。 在基本結(jié)構(gòu)上受外荷載作用 ， 并使 B點附加剛臂轉(zhuǎn)過與實際變形相同的轉(zhuǎn)角 Z1= ， 使基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)取得一致 [圖 (a)]， 進(jìn)而用基本結(jié)構(gòu)代替原結(jié)構(gòu)的計算 。 由疊加法 繪出彎矩圖如圖所示 。 這樣一來 ， 原來的高階聯(lián)立方程組就分解成兩個獨立的低階方程組 ， 從而使計算得到簡化 。 利用結(jié)構(gòu)的對稱性和荷載的對稱性可以簡化力法計算 。 校核變形條件的一般作法是 ， 任意選取基本結(jié)構(gòu) ， 任意選取一個多余未知力 Xi， 然后根據(jù)最后的內(nèi)力圖算出沿 Xi方向的位移 △ i， 并檢查 △ i是否與原結(jié)構(gòu)中的相應(yīng)位移 (給定值 )相等 。因此 ， 為使計算簡化 ， 可選取單位內(nèi)力圖較簡單的基本結(jié)構(gòu)來施加虛擬單位力 。 1M??? cRΔ1c?由 圖自乘 ， 可得 1M（ a）原結(jié)構(gòu) EIlllllEI332211311??????????????自由項則為 ??llcRΔ??????? ? )(1c（ b）基本結(jié)構(gòu) X1 X1 圖)c( 1M4） 解方程求多余未知力 。 分別繪出基本結(jié)構(gòu)在單位力 X1＝ 1及荷載作用下的彎矩圖 和 MF圖 ， 并計算出各鏈桿的軸力如圖（ c， d） 所示 。 分別繪出基本結(jié)構(gòu)在單位力 X1＝ X2＝ 1及荷載作用下的彎矩圖 ［ 圖 （ c～ e）］ 。 1NF系數(shù)和自由項計算如下： ? ? )22(22)2(11(2 2222 1N11 ?????????? ? EA aaaaEAEA lF?? ?)222(2)2()2(111N1N1F?????????????? ?EAFaaFaFaFEAEAlFFΔ F4) 解方程求多余未知力 。 該剛架為二次超靜定結(jié)構(gòu) ， 去掉 B支座處的兩個約束 ， 代之以相應(yīng)的多余未知力 X X2， 得到圖 (b)所示基本結(jié)構(gòu) 。 （ 5） 繪制原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖 。 對于 n次超靜定結(jié)構(gòu) ， 用力法分析時 ， 去掉 n個多余約束 ， 代之以 n個多余未知力 ， 當(dāng)原結(jié)構(gòu)在去掉多余約束處的已知位移為零時 ， 采用上面同樣的方法可以得到 n個方程 ， 稱為 力法典型方程 。 X1 +Δ1F =0 上式稱為 力法方程 ， 而 δ11稱為方程的 系數(shù) ， Δ1F稱為方程的 自由項 。 力矩分配法是在位移法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種漸近解法 ， 它不需計算結(jié)點位移 ， 而是直接分析結(jié)構(gòu)的受力情況 ， 通過代數(shù)運算直接得到桿端彎矩值 。 通常情況下 ， 從超靜定結(jié)構(gòu)中去掉多余約束的方式有如下幾種： 根支桿 ， 相當(dāng)于去掉一個約束 ， 如圖所示 。 圖 （ b） 所示的剛架是一個超靜定結(jié)構(gòu) ， 有四個反力 ， 卻只能列出三個獨立的平衡方程 ， 它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一確定 。 如圖 (a)所示的剛架 ， 如果去掉一個支座處的豎向支桿 ， 即變成了如圖 (b)所示瞬變體系 ， 這是不允許的 。 (b)基本結(jié)構(gòu) X1 在圖 (b)所示的基本結(jié)構(gòu)上 ， 多余未知力 X1是代替原結(jié)構(gòu)支座 B的作用 。 F11 MXMM ??1M（ c） 綜上所述 ， 力法是以多余未知力作為基本未知量 ， 以去掉多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu) ，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余約束處與原結(jié)構(gòu)完全相同的位移條件建立力法方程 ， 求解多余未知力 ， 從而把超靜定結(jié)構(gòu)的計算問題轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)的計算問題 。 去掉原結(jié)構(gòu)的多余約束 ，以相應(yīng)的未知力代替多余約束的作用 。 因此力法方程為 ?????????00F2222121F1212111ΔΧΧΔΧΧ???? 3) 計算方程的系數(shù)和自由項 。 【 例 】 試計算圖示超靜定桁架各桿的軸力 。 【 例 】 試用力法計算圖示鉸接排架 ， 并繪制彎矩圖 。 已知鏈桿的拉壓剛度 EA為常數(shù) ， 橫梁的彎曲剛度 EI=9EA。 【 例 】 一單跨超靜定梁如圖所示 ， 已知固定支座 A發(fā)生轉(zhuǎn)角 ， 試?yán)L制梁的彎矩圖 。 (3) 由于沒有載荷作用 ， 所以結(jié)構(gòu)的內(nèi)力全部由多余未知力產(chǎn)生 。 最后需要說明的是 ， 在計算超靜定結(jié)構(gòu)的過程中 ， 經(jīng)過的計算步驟和數(shù)學(xué)運算較多 ， 比較容易發(fā)生錯誤 。 其中圖（ a） 所示的剛架 ， 有一根對稱軸 。 = (a)MF圖 (b)MF圖 0d33F ?? ? ? sEI MMΔlF當(dāng)結(jié)構(gòu)上的荷載為對稱荷載時 ， 荷載作用于基本結(jié)構(gòu)的 MF圖為對稱的如圖 （ a） 所示 。 由于荷載是反對稱的 ， 在橫梁中點切口的兩側(cè)截面上彎矩和軸力 ， 都是對稱未知力 ， 所以均為零 。 B?B?B?B?因此 ， 如把結(jié)點 B的轉(zhuǎn)角 作為支座移動看待 ，則上述連續(xù)梁可轉(zhuǎn)化為兩個單跨超靜定梁 。 如在圖 (c)中令 r11表示當(dāng) Z1=1時附加剛臂上的約束力矩 ， 即 R11= r11 轉(zhuǎn)角以順時針轉(zhuǎn)動為正 ，反之為負(fù) 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) 需要強(qiáng)調(diào)說明：力法中的基本結(jié)構(gòu)是從原結(jié)構(gòu)中拆除多余約束而代之以多余未知力的靜定結(jié)構(gòu) 。 于是我們把圖 (c)擴(kuò)大 Z2倍 ， 即乘以 Z2 。 此超靜定梁有一個剛結(jié)點 B， 無結(jié)點線位移 。因此 ， 基本未知量為結(jié)點 1和 2處的轉(zhuǎn)角 Z1和 Z2，基本結(jié)構(gòu)如圖 (b)所示 。 【 解 】 1)確定基本未知量 ， 形成基本結(jié)構(gòu) 。 因此 ， 基本未知量為結(jié)點 1處的轉(zhuǎn)角 Z1和結(jié)點 2的水平位移 Z2。 由剛結(jié)點 2處附加剛臂約束力矩總和分別為零 ， 建立位移法方程為 r11Z1+r12Z2+R1F=0 r21Z1+r22Z2+R2F=0 (b)基本結(jié)構(gòu) z2 z1 3) 求系數(shù)和自由項 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) z1 F 2) 建立位移法方程 。 根據(jù)以上各種因素引起的附加約束上的約束力疊加后應(yīng)與原結(jié)構(gòu)一致 ，即各附加約束上的總約束力應(yīng)等于零的條件 。 雖然它們的形式不同 ，但都是原結(jié)構(gòu)的代表 ， 其受力和變形與原結(jié)構(gòu)是一致的 。 在結(jié)構(gòu)中 ， 一般情況下剛結(jié)點的角位移數(shù)目和剛結(jié)點的數(shù)目相同 ， 但結(jié)構(gòu)獨立的結(jié)點線位移的數(shù)目則需要分析判斷后才能確定 。Z1+ R1F =0 上式稱為 位移法方程 。 B?B?B?B?下面分為四步討論如何計算轉(zhuǎn)角 的問題 。 3） 建立力法方程 。 由此得出結(jié)論： 對稱的超靜定結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下 ， 反對稱的多余未知力必為零 ， 只存在對稱的多余未知力 。 （ a） （ b） （ 2） 荷載的對稱性 作用在對稱結(jié)構(gòu)上的任何荷載 ［ 圖 （ a）］ 都可以分解為對稱荷載 ［ 圖 （ b）］ 和反對稱荷載［ 圖 （ c）］ 兩種 。 最后內(nèi)力圖的校核 ， 應(yīng)從平衡條件和變形條件兩個方面進(jìn)行： 正確的內(nèi)力圖首先要滿足平衡條件 。 ， 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算和靜定結(jié)構(gòu)的位移計算方法相同 ， 即采用單位荷載法 。 去掉 B支座處的約束 ， 代之以相應(yīng)的多余未知力 X1， 得到如圖 (b)所示的基本結(jié)構(gòu) 。 【 解 】 1） 選取基本結(jié)構(gòu) 。 【 解 】 1） 選取基本結(jié)構(gòu) 。 【 解 】 1) 選取基本結(jié)構(gòu) 。 1M 2MFMA B A B q A B 1 1 圖)c( 1M圖)d( 2M圖)e( FM82q